Lijnstuk

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Rechte (boven), halfrechte (midden) en lijnstuk (onder).

Een lijnstuk is in de euclidische meetkunde een deel van een lijn die door twee afzonderlijke eindpunten begrensd wordt en die alle punten op die lijn tussen deze twee eindpunten bevat. Voorbeelden van lijnstukken zijn de zijden van een driehoek of een vierkant.

Liggen de beide eindpunten op een veelhoek, dan spreekt men van een zijde van die veelhoek, wanneer de eindpunten ervan samenvallen met naast elkaar gelegen hoekpunten van de veelhoek. Vallen de eindpunten samen met niet naast elkaar gelegen hoekpunten, dan heet het lijnstuk een diagonaal van de veelhoek.

Als beide eindpunten op een kromme liggen, zoals een cirkel, dan wordt het lijnstuk een koorde van die kromme genoemd.

Definitie[bewerken]

Als V\,\! een vectorruimte is over \mathbb{R} of \mathbb{C}, en L\,\! een deelverzameling is van V,\,\! dan is L\,\! een lijnstuk als L\,\! geparametriseerd kan worden als

 L = \{ \mathbf{u}+t\mathbf{v} \mid t\in[0,1]\}

voor enige vectoren \mathbf{u}, \mathbf{v} \in V\,\!, waar  \mathbf{v} \neq \mathbf{0},. In dat geval zijn de vectoren \mathbf{u} en \mathbf{u+v} de eindpunten van L.\,\!.

Soms wil men een onderscheid maken tussen een "open" en een "gesloten" lijnstuk. Dan definieert men een gesloten lijnstuk als hierboven en een open lijnstuk als een deelverzameling L\,\! die geparametriseerd kan worden als

 L = \{ \mathbf{u}+t\mathbf{v} \mid t\in(0,1)\}

voor enige vectoren \mathbf{u}, \mathbf{v} \in V\,\!, waar  \mathbf{v} \neq \mathbf{0}.

Een alternatieve, equivalente, definitie luidt als volgt: Een (gesloten) lijnstuk is een convex omhulsel van twee afzonderlijke punten.

Nog een alternatieve definitie is de volgende. In de meetkunde kan worden gedefinieerd dat een punt B ligt tussen twee andere punten A en C, indien de afstand AB plus de afstand BC gelijk is aan de afstand AC. Dus bijvoorbeeld in \mathbb{R}^2 is het lijnsegment met de eindpunten A = (ax, ay) en C = (cx, cy) de volgende verzameling punten:

\{ (x,y) | \sqrt{(x-c_x)^2 + (y-c_y)^2} + \sqrt{(x-a_x)^2 + (y-a_y)^2} = \sqrt{(c_x-a_x)^2 + (c_y-a_y)^2}\}.

Eigenschappen[bewerken]

Zie ook[bewerken]