Ellips (wiskunde)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie

Ellips als kegelsnede.

Een ellips (Grieks ἔλλειψις, het tekortschieten) is in de wiskunde een meetkundig lichaam. In de meetkunde is het een tweedimensionale figuur, een kegelsnede, gevormd door de snijlijn van een kegel of een cilinder met een plat vlak. Het platte vlak moet hierbij de kegelas respectievelijk de cilinderas snijden. Bij het snijden met de kegel moet de hoek tussen de kegelas en het platte vlak groter zijn dan de helft van de openingshoek van de kegel.

[bewerken] Andere definities

[bewerken] Definitie uitgaande van de brandpunten

Ellips met assen en brandpunten.

Bollen van Dandelin.

Een ellips in de meetkunde is een twee-dimensionale figuur die de meetkundige plaats is van alle punten waarvoor de som van de afstanden (rode lijn in de figuur) tot twee gekozen punten, de brandpunten (f1 en f2 in de figuur), een vaste waarde heeft. Een ellips heeft twee assen: het lijnstuk door de brandpunten die tegenovergelegen punten van de ellips verbindt heet de lange as of grote as en het overeenkomstige lijnstuk loodrecht daarop door het midden van de lange as heet korte as of kleine as.

Dat deze meetkundige plaats inderdaad een kegelsnede is kan worden ingezien met de bollen van Dandelin (vernoemd naar Germinal Pierre Dandelin), waar gebruik wordt gemaakt van het feit dat alle raaklijnen vanuit een punt aan een bol even lang zijn. De bollen die in de kegel zijn geplaatst raken de ellips in de brandpunten (zie figuur).

[bewerken] Definitie uitgaande van brandpunt en richtlijn

Een ellips is de meetkundige plaats van de punten in het plat vlak waarbij de verhouding van de afstand tot een willekeurig punt, brandpunt geheten, tot de afstand tot een willekeurige rechte, richtlijn geheten, constant is. Deze constante verhouding heet excentriciteit, wordt voorgesteld door ε en er moet gelden ε<1.

[bewerken] Vergelijkingen

[bewerken] Middelpuntsvergelijking

De wiskundige vergelijking voor de punten (x,y) in een klassiek xy-assenstelsel die een ellips vormen met als middelpunt het punt (x₀,y₀), als lange (horizontale) as 2a en als korte (verticale) as 2b is:

$(\frac{ x - x_0 } { a })^2 + (\frac{ y - y_0 } { b })^2 = 1$

Als het middelpunt van de ellips de oorsprong is, dan vereenvoudigt zich dit tot:
$(\frac{ x } { a })^2 + (\frac{ y } { b })^2 = 1$ (afleiden middelpuntsvergelijking)

De excentriciteit e van de ellips is gedefinieerd als:

$e = \sqrt{1 - {b^2 \over a^2}}$

Als de twee brandpunten samenvallen, is sprake van een cirkel, en zijn a en b allebei gelijk aan de straal r. De excentriciteit is dan nul.

[bewerken] Parametervergelijking

De parametervergelijking luidt:

x (t) = a cos(t)

,

y (t) = b sin(t)

.

In vectorvorm: $[a cos(t), b sin(t)]$ |}

[bewerken] Constructie van een ellips

[bewerken] Tuinmansellips

Een ellips kan worden getekend als volgt:

Druk twee punaises in de brandpunten (of sla twee spijkers in een plank)
Maak een lus van een draadje en leg die lus rond de punaises.
Zet een potlood tegen het draadje aan en trek het strak.
Teken met het potlood de ellips, er daarbij voor zorgend dat het draadje strak blijft.

Het draadje zorgt ervoor dat de som van de afstand tot de brandpunten vanaf elk punt van de ellips constant is, namelijk gelijk aan de lengte van het draadje minus de afstand tussen de punaises. Het op deze wijze construeren van een ellips wordt ook wel tuinmansellips genoemd, omdat men zo de randen van ellipsvormige perken aanlegt (uiteraard met piketten in plaats van punaises). Deze methode is in de praktijk onnauwkeurig. Varianten op de tuinmansmethode kunnen gebruikt worden om diverse ovalen te construeren.

Ellipspasser

Indien de gewenste afmetingen van het perk bekend zijn (2 maal as a breed, 2 maal as b hoog, waarbij a groter dan b wordt verondersteld) leidt dit tot de volgende afstand tussen de piketten:

$2\sqrt{a^2-b^2}$

De lengte van het touw wordt dan: $2 a$

De oppervlakte van een ellips is gegeven door: $π. a . b$

[bewerken] Ellipspasser

De Nederlandse wiskundige Frans van Schooten bedacht in de 17e eeuw twee typen ellipspassers. De gebruikelijkste is een kruisvormige, de andere hanteert een variant van de tuinmansmethode. Van de bekende ellipsconstructies die met eenvoudige mechanische middelen te maken zijn, is de kruisvormige passer in de praktijk de nauwkeurigste.

[bewerken] Constructie van Graves

Bij een gegeven ellips kun je met een lus van draad, langer dan de omtrek van de gegeven ellips, een nieuwe ellips construeren: span met een potlood de lus strak om de ellips, en teken zo rondgaand de nieuwe figuur. Je krijgt een tweede ellips met dezelfde brandpunten als de gegeven ellips. Dit wordt de constructie van Graves genoemd.

[bewerken] Constructie uitgaande van de parametervergelijking

Een andere manier om een ellips te tekenen gaat uit van de ingeschreven en omgeschreven cirkel en de parametervergelijking. De straal(radius)van de omgeschreven cirkel is gelijk aan de langste halve as a van de ellips, en die van de ingeschreven cirkel is gelijk aan de kortste halve as b van de ellips. Deze cirkels zijn concentrisch (zij hebben hetzelfde middelpunt). Trek nu vanuit het gemeenschappelijk middelpunt van de cirkels stralen naar buiten toe (zie animatie, in het rood). Vanuit het punt waar een straal de ingeschreven cirkel snijdt, trek je een lijn naar buiten toe (fig.: goud) en evenwijdig met de langste as van de te bekomen ellips, en waar de straal de omgeschreven cirkel snijdt, trek je een lijn naar binnen toe en evenwijdig met de kortste as van de te bekomen ellips. Waar beide lijnen elkaar snijden, bevindt zich een nieuw punt van de ellips (fig.: paars).

[bewerken] Eigenschappen

De raaklijn is buitenbissectrice van hoek brandpunt-raakpunt-brandpunt.

De ellips is op te vatten als conflictlijn tussen een punt en een cirkel, die dan richtcirkel wordt genoemd. De twee brandpunten zijn dan het gegeven punt en het middelpunt van de gegeven cirkel.

[bewerken] Raaklijn

Een raaklijn van een ellips is een buitenbissectrice van de hoek brandpunt-raakpunt-brandpunt.

[bewerken] Afleiden vergelijkingen

[bewerken] Middelpuntsvergelijking

[bewerken] Bepaling

Ellips

a > 0

0

≤

c

<

a

c 2 = a 2

-

b 2

r 1

+

r 2 =

2 a

Een ellips

met lange as $2 a$ ,
korte as $2 b$ ,
middelpunt in de oorsprong $O$ van een orthogonaal assenstelsel $O x y$ ,
en brandpunten op de $x$ -as
voldoet aan de volgende vergelijking:
$x 2 / a 2$ $+$ $y 2 / b 2 = 1$ .

Dit is de middelpuntsvergelijking van de ellips.

[bewerken] Afleiding

[bewerken] Gebruikte termen

Term	Omschrijving
$\varepsilon \,$	een willekeurige ellips in het platte vlak
$F 1$ , $F_{2} \,$	de brandpunten van $\varepsilon \,$
$O x y$	•een orthogonaal assenstelsel •met als oorsprong $O$ het midden van het lijnstuk $F_{1}F_{2} \,$ •de $x \,$ -as wijst van $F_{1} \,$ naar $F_{2} \,$
$2 c$	brandpuntsafstand van $\varepsilon \,$ , per definitie de afstand tussen $F_{1} \,$ en $F_{2} \,$
$P \,$	een willekeurig punt van $\varepsilon \,$
$x \,$	de $x \,$ -coördinaat van $P \,$
$y \,$	de $y \,$ -coördinaat van $P \,$
$r_{1} \,$	de lengte van de voerstraal van $P \,$ vanuit $F_{1} \,$
$r_{2} \,$	de lengte van de voerstraal van $P \,$ vanuit $F_{2} \,$
$2a \,$	de lengte van de lange as van $\varepsilon \,$
$2b \,$	de lengte van de korte as van $\varepsilon \,$

[bewerken] Afleiden $r_{1} \,$ en $r_{2} \,$ als lineaire functies van $x \,$

Stap	Maak gebruik van	Er geldt dan
$s.1 \,$	definitie ellips	$r_{1} + r_{2}= 2a\,$
$s.2 \,$	stelling van Pythagoras	$r_{1}^2=(x+c)^2+y^2 \,$
$s.3 \,$	stelling van Pythagoras	$r_{2}^2=(x-c)^2+y^2 \,$
$s.4 \,$	$s.2-s.3 \,$	$r_{1}^2-r_{2}^2=((x+c)^2+y^2))-((x-c)^2+y^2)) \,$
$s.5 \,$	$s.4 \,$ • merkwaardig product	$(r_{1}+r_{2})(r_{1}-r_{2})=4cx \,$
$s.6 \,$	$s.1 \,$ $s.5 \,$	$2a(r_{1} - r_{2})=4cx \,$
$s.7 \,$	$s.6 \,$	$r_{1} - r_{2}=\frac{2cx}{a} \,$
$s.8 \,$	$\frac{s.1 + s.7}{2} \,$	$r_{1}=a+\frac{cx}{a} \,$
$s.9 \,$	$\frac{s.1 - s.7}{2} \,$	$r_{2}=a-\frac{cx}{a} \,$

[bewerken] Afleiden van het kwadratisch verband tussen $x\,$ en $y\,$

Stap	Maak gebruik van	Er geldt dan
$s.10\,$	$(s.8)^2 + (s.9)^2 \,$	$r_{1}^2+r_{2}^2=\left(a+\frac{cx}{a}\right)^2+\left(a-\frac{cx}{a}\right)^2 \,$
$s.11 \,$	$s.10 \,$ • merkwaardig product	$r_{1}^2+r_{2}^2=2\left[a^2+\left(\frac{cx}{a}\right)^2\right] \,$
$s.12 \,$	$s.2 + s.3 \,$	$r_{1}^2+r_{2}^2=(x+c)^2+(x-c)^2+2y^2 \,$
$s.13 \,$	$\frac{s.11-s.12}{2} \,$ • merkwaardig product	$a^2+\left(\frac{cx}{a}\right)^2=x^2+c^2+y^2 \,$
$s.14 \,$	$s.13 \,$	$a^2=(1-\left(\frac{c}{a}\right)^2)x^2+c^2+y^2 \,$
$s.15 \,$	$s.14 \,$	$a^2-c^2=\left(\frac{1}{a^2}\right)(a^2-c^2)x^2 + y^2 \,$
$s.16 \,$	betrekking tussen brandpuntsafstand, lange as en korte as	$c^2=a^2 - b^2\,$
$s.17 \,$	$s.15 \,$ en $s.16 \,$	$b^2=\left(\frac{b^2}{a^2}\right)x^2 + y^2\,$
$s.18 \,$	$\frac{s.17}{b^2} \,$	$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} =1\,$