Wetten van Kepler

De wetten van Kepler zijn een drietal natuurkundige wetten die de bewegingen van de planeten beschrijven, opgesteld door Johannes Kepler. Ze maken deel uit van de klassieke mechanica. Kepler publiceerde de eerste twee wetten in zijn Astronomia nova seu Physica coelestis (Nieuwe Astronomie of Hemelphysica), van 1609, en de derde wet in Harmonice Mundi (Wereldharmonie), in 1619.

Eerste wet

De eerste wet van Kepler zegt dat alle planeten zich rond de zon bewegen in elliptische banen, waarbij de zon zich in een van de twee brandpunten van de ellips bevindt. Uit de eigenschappen van een ellips volgt dat de som van de afstanden van de planeet naar beide brandpunten overal op de ellips gelijk is.

Tweede wet

De perkenwet: als een planeet in dezelfde tijd van A naar B gaat als van C naar D, zijn de gearceerde oppervlakken even groot

De snelheid van een planeet in haar omloopbaan verandert zodanig dat in gelijke tijdsintervallen de oppervlakte, bestreken door de verbindingslijn (voerstraal) tussen de zon en de planeet, gelijk is. De voerstraal beschrijft dus per tijdseenheid een constant oppervlak, ook wel een perk genoemd, vandaar de naam perkenwet. In het getoonde voorbeeld is de gemiddelde baansnelheid (de tangentiële snelheid) van de planeet in het interval AB dus kleiner dan in het interval CD.

De perkenwet is een meetkundige formulering van de wet van behoud van impulsmoment. Als v de snelheidsvector van de planeet voorstelt, en s de positievector van de planeet ten opzichte van de zon, dan is het impulsmoment gelijk aan het vectoriële kruisproduct s × v. Het oppervlakte van het grijze segment in de figuur is evenredig met de integraal van dat impulsmoment over een gegeven tijdsinterval.

De perkenwet geldt bij elke centrale kracht, omdat een centrale kracht geen moment levert, en dus het impulsmoment niet verandert.

Het punt in de baan waar een planeet het dichtst bij de zon staat heet het perihelium. Het verste punt heet het aphelium.

Derde wet

Het kwadraat van de omlooptijd (T ) van een planeet is evenredig met de derde macht van haar gemiddelde afstand (r ) tot de zon ofwel:

$\frac{T^2}{r^3} = \mbox{ constant.}$

Deze wet wordt ook wel de harmonische wet genoemd. Kepler publiceerde de wet pas tien jaar na de andere twee.

Uit de wetten van Newton is de constante aan de rechterzijde te berekenen. Uit deze berekening blijkt de vermeende 'constante' niet helemaal constant te zijn, want de waarde is enigszins afhankelijk van de massa van de planeet. Alleen als de planeet veel lichter is dan de ster waarom zij draait, geldt de derde wet van Kepler als speciaal geval. Meer bepaald geldt dat:

$\frac{T^2}{a^3} = \frac{4 \pi^2}{G(M+m)}$

waarin M de massa van de ster is, m de massa van de planeet, G de universele gravitatieconstante, en a de halve lange as van de elliptische baan.

Indien de massa van de planeet te verwaarlozen is vergeleken bij de massa van de ster, en de baan cirkelvormig is met straal r, is de wet is als volgt te herleiden:

F_c = F_g

(met F_c = middelpuntzoekende kracht en F_g = gravitatiekracht), dus:

$\frac{mv^2}{r} = \frac{GmM}{r^2}$

(waarin v de snelheid van de planeet is.)

$\frac{v^2}{r} = \frac{GM}{r^2}$

dus:

$v^2 = \frac{GM}{r}$

$v^2r = GM$

$(\frac{2 \pi r}{T})^2 r = GM$ (substitueer: $v=\frac{2\pi r}{T}$)

$\frac{4 \pi^2 r^2}{T^2} r = GM$

$\frac{r^3}{T^2} =\frac{ GM}{4\pi^2}$

$\frac{T^2}{r^3} = \frac{4 \pi^2}{GM}$

Vergelijking van Kepler

Uit de eerste twee wetten leidde Kepler ook een praktische bewegingsvergelijking af, die in de hemelmechanica bekendstaat als de vergelijking van Kepler. Deze vergelijking verklaart de niet-uniforme beweging van de planeet in haar baan in termen van een wiskundige hulpgrootheid, de excentrische anomalie.

Resultaten

Kepler formuleerde de naar hem genoemde wetten op grond van uitsluitend empirisch onderzoek door hemzelf en door zijn voorganger en leermeester Tycho Brahe, die de nauwkeurigste waarnemingsinstrumenten van zijn tijd bezat. De wetten speelden een belangrijke rol in de acceptatie van het heliocentrisch wereldbeeld van Copernicus en betekenden bovendien een doorbraak in het denken over het heelal omdat het idee dat planeten zich altijd in cirkels bewogen werd verworpen.

Isaac Newton toonde later aan dat de wetten van Kepler verklaard konden worden met de naar hem genoemde Wetten van Newton, die de basis van de klassieke mechanica vormen, in combinatie met zijn gravitatietheorie, die postuleerde dat tussen twee voorwerpen een kracht bestaat, evenredig aan het product van de massa's, en omgekeerd evenredig aan het kwadraat van hun onderlinge afstand.

Zie ook

• Tweelichamenprobleem

Verder lezen

• Job Kozhamthadam The discovery of Kepler's laws: the interaction of science, philosophy, and religion, uitg. University of Notre Dame Press, Notre Dame (1994) ISBN 0-268-00868-X
• R. Hooykaas Geschiedenis der natuurwetenschappen-van Babel tot Bohr (div. uitg.)
• B. de Joode Natuurwetenschappen en Kepler
• Marcelo Gleiser Een scheurtje in de rand van de schepping (hoofdstuk 8+9)

Externe link

• (en) Planetary Orbit Simulator, University of Nebraska-Lincoln

Mediabestanden

Zie de categorie Kepler motions van Wikimedia Commons voor meer mediabestanden.