Klassieke mechanica

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie

De klassieke mechanica, ook wel Newtonse mechanica genoemd, is de mechanica zoals geformuleerd door Isaac Newton en waarop later is voortgebouwd door onder anderen Joseph-Louis Lagrange en William Rowan Hamilton. Ze is van toepassing in 'alledaagse' situaties waarin alleen sprake van snelheden die klein zijn ten opzichte van de lichtsnelheid of al te sterke zwaartekrachtsvelden en waarin het gedrag van de materie op atomaire schaal te verwaarlozen is. Vanaf het begin van de 20e eeuw bleek de klassieke mechanica niet meer toereikend te zijn om alle waarnemingen te verklaren. Fundamentele uitbreiding bleken nodig met de relativiteitstheorie en de kwantummechanica.

Zie het artikel over mechanica voor een samenvatting van de geschiedenis van de klassieke mechanica.

[bewerk] Invalshoeken van de mechanica

Bij de bestudering van de mechanica, kunnen we 4 verschillende invalshoeken onderscheiden:

Dynamica
Kinematica
Statica
Sterkteleer

[bewerk] Dynamica

De dynamica bestudeert de werking van krachten op lichamen, en de invloed die deze krachten hebben op de beweging van het lichaam. Tot het onderzoeksgebied van de dynamica horen bijvoorbeeld:

impuls of stoot
botsing
massa-veersystemen

[bewerk] Kinematica

De kinematica bestudeert de beweging van lichamen. Het gaat om de plaats en snelheid van het lichaam in ruimte en tijd, en de veranderingen daarin.

Er wordt onderscheid gemaakt in verschillende soorten beweging:

Eenparige beweging: het lichaam beweegt met constante snelheid
Eenparig versnelde beweging: het lichaam ondergaat een constante versnelling
Niet-eenparige beweging: de snelheid verandert, de versnelling is niet constant

De kinematica houdt zich niet bezig met de oorzaak van de beweging, en de veranderingen die in bewegingen kunnen optreden: dat is het terrein van de dynamica.

[bewerk] Statica

Het evenwicht tussen krachten is het gebied van de statica. De statica onderzoekt bijvoorbeeld het krachtenspel in een brug, een gebouw, of een hijskraan.

[bewerk] Sterkteleer

In de sterkteleer wordt gekeken naar de materiaaleigenschappen en de belastingen. Belangrijke termen binnen de sterkteleer zijn sterkte, stijfheid en stabiliteit. De sterkteleer legt een verbining tussen materiaalkunde en de bovengenoemde onderdelen uit de mechanica.

[bewerk] Basisbegrippen

[bewerk] Plaats, snelheid en versnelling

De ruimte die door de klassieke mechanica beschreven wordt is de driedimensionale Euclidische ruimte. Met 'driedimensionaal' wordt bedoeld dat drie coördinaten nodig en voldoende zijn om een willekeurige locatie aan te geven; met 'Euclidisch' wordt bedoeld dat de ruimte 'vlak' is, dat wil zeggen dat ze niet, zoals in de algemene relativiteitstheorie, gekromd is. Bovendien zijn er beperkingen gesteld aan de keuze van dat driedimensionale Euclidische coördinatenstelsel. Het dient ook nog een inertiaalstelsel te zijn: het mag (in het algemeen) geen versnellend of draaiend stelsel zijn.

Het symbool x, een vector met drie componenten, wordt gebruikt om een positie aan te duiden. Verder is er sprake van een tijd, aangegeven met het symbool t, die voor alle waarnemers op dezelfde manier verloopt, onafhankelijk van hun snelheid of positie in de ruimte.

De snelheid v van een voorwerp is de mate waarin zijn positie in de loop van de tijd verandert. Preciezer gezegd: de snelheid is de afgeleide van de positie naar de tijd:

$v = \frac{\Delta x}{\Delta t}$

De mate waarin de snelheid in de loop van de tijd verandert wordt de versnelling genoemd en aangegeven met het symbool a. De versnelling is gedefinieerd als

$a = \frac{\Delta v}{\Delta t}$

Voor roterende bewegingen zijn de hoeksnelheid en de hoekversnelling respectievelijk gedefinieerd als

$\omega = \frac{\Delta v}{\Delta t}$ en $\alpha = \frac{\Delta \omega}{\Delta t}$

[bewerk] Massa, kracht en impuls

Alle voorwerpen hebben een massa, die meestal aangegeven wordt met m. De massa van een voorwerp is een maat voor de kracht die nodig is om het voorwerp een bepaalde versnelling te geven. Kracht, massa en snelheid zijn gerelateerd volgens de tweede wet van Newton:

$\mathbf{F}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(m\mathbf{v}).$

In het vaak voorkomende geval dat de massa onafhankelijk is van de tijd kunnen we de tweede wet van Newton ook schrijven als

$\mathbf{F}=m\mathbf{a}.$

De massa is overigens niet altijd onafhankelijk van de tijd; bij de lancering van een raket verliest de raket massa door de verbranding van brandstof. In zo'n geval kan de vereenvoudigde formule $\mathbf{F}=m\mathbf{a}$ niet gebruikt worden.

De grootheid $m\mathbf{v}$ wordt de impuls genoemd en geschreven als p. Een derde manier om de tweede wet van Newton te schrijven is dus

$\mathbf{F}=\frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t}.$

[bewerk] Arbeid en energie

Wanneer een voorwerp door een kracht beïnvloed wordt, verandert niet alleen de impuls maar (meestal) ook de energie van het voorwerp. De energie E is de som van kinetische energie $\, E_{\rm kin}$ en potentiële energie $\, E_{\rm pot}$ :

$\, E=E_{\rm kin}+E_{\rm pot}.$

De kinetische energie, ook wel bewegingsenergie genoemd, is gedefinieerd als

$E_{\rm kin}=\frac{1}{2}mv^2$

met m de massa en v de grootte van de snelheid (soms vaart genoemd). De kinetische energie voor een roterende beweging, is gedefinieerd als

$E_{\rm kin}=\frac{1}{2}I \omega^2$

met I het traagheidsmoment en ω de grootte van de hoeksnelheid (rad/s). De potentiële energie is het deel van de energie dat afhangt van de positie van het voorwerp. Zo zijn er bijvoorbeeld zwaarte-energie $E z = m g h$ , met g de zwaartekrachtsversnelling, en veerenergie $E_{\rm veer}=\frac{1}{2}Cu^2$ , met C de veerconstante en u de uitwijking van de veer. In tegenstelling tot voor de kinetische energie is er voor de potentiële energie geen algemeen geldende formule.

De verandering van de energie van een voorwerp wordt beschreven met behulp van het begrip arbeid, genoteerd als W. Dit is het product van de op het voorwerp werkende kracht vermenigvuldigd met de afstand Δx waarover het voorwerp in de richting van die kracht verplaatst wordt:

$W=\mathbf{F}\cdot\Delta\mathbf{x}.$

Als het voorwerp over een traject T wordt verplaatst terwijl de kracht niet overal op dit traject gelijk is, moeten we dit als een integraal schrijven:

$W=\int_T\mathbf{F}(\mathbf{r})\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}$

waarbij $\cdot$ staat voor het scalair product tussen kracht en verplaatsing.

We noemen F een conservatieve kracht als de verrichte arbeid niet afhangt van het gekozen traject, maar alleen van het begin- en eindpunt. Het verband tussen arbeid en energie is

$\, W=\Delta E,$

waarbij $\, \Delta E=E_{\rm eind}-E_{\rm begin}$ het verschil in energie tussen begin- en eindtoestand is.

[bewerk] Behoudswetten

Een belangrijk begrip in de mechanica (en in de natuurkunde in het algemeen) is dat van een behouden grootheid. De bekendste voorbeelden hiervan zijn behoud van energie en behoud van impuls. In de moderne natuurkunde volgt het behouden zijn van deze grootheden uit bepaalde symmetrieën: als een systeem invariant is onder het toepassen van een continue symmetrie, dan is er een behouden grootheid die geassocieerd is met deze symmetrie. Dit feit staat bekend als de stelling van Noether. De symmetrieën en behouden grootheden die in de klassieke mechanica een rol spelen zijn:

Invariantie onder translatie in de tijd: behoud van energie.
Invariantie onder translatie in de ruimte: behoud van impuls.
Invariantie onder rotaties in de ruimte: behoud van impulsmoment.

Deze behoudswetten maken het mogelijk om uitspraken te doen over processen zoals botsingen, waarbij we bijvoorbeeld door de in- en uitgaande energie en impuls gelijk te stellen kunnen berekenen wat de situatie na afloop van het proces is zonder de precieze details van alle interacties te kennen.

Het Hamiltonformalisme is een wiskundige formulering van de mechanica waarin behoudswetten een belangrijke plaats innemen. Een algemene grootheid G(q,p) van de positie q en de impuls p is een behouden grootheid als en slechts als haar Poissonhaak met de energiefunctie H(q,p) gelijk is aan nul. Men zicht van een dergelijke functie G dat ze met de Hamiltoniaan commuteert.