Traagheidsmoment

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Het (massa)traagheidsmoment geeft de mate van verzet tegen verandering van draaisnelheid van een lichaam met een zekere massa.

Een object met een zekere uitgebreidheid ten opzichte van een gekozen rotatie-as, verzet zich tegen verandering van de draaisnelheid om die as. De mate waarin dit gebeurt wordt uitgedrukt in het (massa)traagheidsmoment ten opzichte van die rotatie-as.

Om de snelheid van draaien te veranderen moet een draaimoment worden uitgeoefend. De verhouding tussen dit draaimoment en de resulterende hoekversnelling is het massatraagheidsmoment ten opzichte van de rotatie-as.

\vec{T}=I \vec{\alpha}

waarin

  • \vec{T}: draaimoment, een vector [eenheid N.m]
  • I: massatraagheidsmoment, een getal [eenheid kg.m²]
  • \vec{\alpha}: hoekversnelling, een vector [eenheid rad/s²]

Het traagheidsmoment is het analogon (overeenkomstig begrip) van het begrip 'trage massa', dat de mate van verzet tegen lineaire versnelling uitdrukt, zoals weergegeven in de tweede wet van Newton: \vec{F}=m \vec{a}. Het traagheidsmoment is zowel afhankelijk van de totale massa als van de verdeling van deze massa; hoe verder een deel van de massa verwijderd is van de rotatie-as, hoe groter de bijdrage van dat deel aan het traagheidsmoment. Voor puntmassa's mi op respectievelijk afstanden ri van de rotatie-as is het traagheidsmoment I de som van de aparte traagheidsmomenten:

I = \sum_{i} m_ir_i^2.

Nu zijn puntmassa's meestal slechts idealiseringen en wordt een object beschreven door zijn massaverdeling m(r) (de massa als functie van de plaats r) of door de dichtheid ρ, die ook van r kan afhangen. Het traagheidsmoment is dan gegeven door:

I=\int_V r_{\perp}^2 \operatorname{d}m = \int_V r_{\perp}^2\rho(r) \operatorname{d}V

waarbij r_\perp steeds de loodrechte afstand tot de draaias voorstelt en \rho(r) de massadichtheid is.


Verband met het impulsmoment[bewerken]

Het impulsmoment van een star, roterend object verandert volgens

\frac{\operatorname{d}\vec{L}}{\operatorname{d}t}=\vec{T}

met het verband tussen de hoekversnelling en hoeksnelheid \vec{\omega}

\vec{\alpha}=\frac{\operatorname{d} \vec{\omega}}{\operatorname{d}t}

volgt door gelijkstellen aan de uitdrukking voor het draaimoment

\vec{L}=I\vec{\omega}

waarin:

  • \vec{L}: impulsmoment, een vector [N.m.s]
  • t: tijd [s], een scalar
  • \vec{T}: draaimoment, een vector [N.m]
  • \vec{\alpha}: hoekversnelling, een vector [rad/s²]
  • \vec{\omega}: hoeksnelheid, een vector [rad/s]
  • I:traagheidsmoment, een scalar [kg.m²]

Zie ook rotatie (eendimensionaal)

Traagheidsmoment als tensor[bewerken]

Als de rotatieas een as van rotatiesymmetrie is, zoals in bovenstaande uitdrukking voor het impulsmoment, dan is het traagheidsmoment een scalar, dat wil zeggen een evenredigheidsfactor tussen de impulsmoment-vector \vec{L} en de rotatie-vector \vec{\omega}, die parallel staan.

Roteert het lichaam niet ten opzichte van de traagheidsas, dan moet het verband tussen impulsmomentvector en de rotatievector uitgedrukt worden als een traagheidstensor en kan men het traagheidsmoment voor elke willekeurige draairichting in één grootheid uitdrukken:

 \vec{L}=\mathbf{I} \cdot \vec{\omega}

Deze traagheidstensor kan voor bewegingen in drie dimensies geschreven worden als een tensor bestaande uit 3×3=9 getallen en geeft dan de drie componenten van het traagheidsmoment L in het gekozen assenstelsel.


\mathbf{I} = \begin{bmatrix}
I_{11} & I_{12} & I_{13} \\
I_{21} & I_{22} & I_{23} \\
I_{31} & I_{32} & I_{33}
\end{bmatrix}
,

waarbij in een cartesisch coördinatenstelsel met het zwaartepunt van het lichaam als oorsprong voor een star lichaam, bestaande uit N puntmassa’s:

I_{11} = I_{xx} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \sum_{k=1}^{N} m_{k} (y_{k}^{2}+z_{k}^{2}),\,\!
I_{22} = I_{yy} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \sum_{k=1}^{N} m_{k} (x_{k}^{2}+z_{k}^{2}),\,\!
I_{33} = I_{zz} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \sum_{k=1}^{N} m_{k} (x_{k}^{2}+y_{k}^{2}),\,\!
I_{12} = I_{xy} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ -\sum_{k=1}^{N} m_{k} x_{k} y_{k},\,\!
I_{13} = I_{xz} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ -\sum_{k=1}^{N} m_{k} x_{k} z_{k},\,\!
I_{23} = I_{yz} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ -\sum_{k=1}^{N} m_{k} y_{k} z_{k},\,\!

Altijd geldt: \ I_{12}=I_{21}, \ I_{13}=I_{31}, en \ I_{23}=I_{32}.

\ I is dus een symmetrische tensor. Voor continue massaverdelingen moeten deze sommaties vervangen worden door integralen. Vallen de gekozen coördinaatassen samen met de traagheidsassen (waarvan er altijd minstens drie bestaan), dan zijn de niet-diagonale elementen van de tensor gelijk aan nul. Het product van de diagonale tensor I en de rotatievector \vec{\omega} resulteert dan in een \vec{L} de parallel is aan \vec{\omega}. Een rotatiesymmetrieas is altijd een traagheidsas.

1rightarrow blue.svg Zie ook rotatie (algemeen)

Traagheidsmomenten van diverse lichamen[bewerken]

Afbeelding Beschrijving Traagheidsmoment(en)
Traegheit a punktmasse.png Een puntmassa op afstand r van de draaias. I = m \cdot r^2
Traegheit b zylindermantel.png Een cilindermantel die om zijn (cilinder)as draait. I = m \cdot r^2
Traegheit c vollzylinder.png Een massieve cilinder (staaf, schijf) die om zijn as draait. I = \tfrac12 m \cdot r^2
Traegheit d hohlzylinder2.png Een holle cilinder, die om zijn as draait. I = \tfrac12 m \cdot (r_2^2+r_1^2)[1]
(m: massa van de holle cilinder)
Traegheit e vollzylinder 2.png Een massieve cilinder, die roteert om de symmetrieas die de cilinderas in het midden loodrecht doorsnijdt. I = \tfrac14 m \cdot r^2 + \tfrac{1}{12} m \cdot l^2
Traegheit f zylindermantel 2.png Een cilindermantel, die roteert om de symmetrieas die de cilinderas in het midden loodrecht doorsnijdt. I = \tfrac12 m \cdot r^2 + \tfrac{1}{12} m \cdot l^2
Traegheit g stab1.png Een dunne staaf die draait om de symmetrieas die de cilinderas in het midden loodrecht doorsnijdt. (Merk op dat deze formule een benadering is van de cilinder met de aanname dat r\ll l) I \approx \tfrac{1}{12} m \cdot l^2
Traegheit h stab2.png Een dunne staaf die draait om een van zijn uiteinden. I \approx \tfrac13 m \cdot l^2
Traegheit i kugel1.png Een holle bol, met verwaarloosbare dikte en een willekeurige draaias door het middelpunt. I = \tfrac23 m \cdot r^2
Traegheit j kugel1.png Een massieve bol, met een willekeurige draaias door het middelpunt. I = \tfrac25 m \cdot r^2
Traegheit k quader.png Een plaat met lengtes a en b, met draaias loodrecht op de plaat (vergelijk dunne ronde staaf). I = \tfrac{1}{12} m \cdot (a^2 + b^2)
Dunne schijf, straal r en massa m (gelijk aan massieve cilinder). I_z = \tfrac{1}{2} mr^2
I_x = I_y = \tfrac{1}{4} m(r^2)
Cone (geometry).svg Circulaire kegel, straal r, hoogte h, en massa m. I_z = \tfrac{3}{10} mr^2 \,\!
I_x = I_y = \tfrac35 m(\tfrac14 r^2+h^2) \,\!
massieve balk, hoogte h, breedte b, diepte d en massa m (vergelijk plaat). I_h = \tfrac{1}{12} m(b^2+d^2)
I_b = \tfrac{1}{12} m(h^2+d^2)
I_d = \tfrac{1}{12} m(h^2+b^2)

Het traagheidsmoment om een andere as kan bepaald worden via de stelling van Steiner.

Voorbeelden van berekeningen[bewerken]

Massieve cilinder[bewerken]

Traagheidsmoment van een massieve cilinder

Een massieve, homogene cilinder heeft lengte L, straal R en dichtheid \rho. Het traagheidsmoment I om zijn as kan berekend worden door de bijdragen van de kokers met schildikte \mathrm{d}r en straal r te integreren. Voor het (infinitesimale) volume van zo'n koker geldt:

\operatorname{d}V(r)=2\pi\, r\, L\,\operatorname{d}r.

Het traagheidsmoment is dan:

 I=\rho \iiint r^2 \operatorname{d}V = \rho \int_0^R r^2 \operatorname{d}V(r) = 2\pi\rho L \int_0^R r^3 \mathrm{d}r = \rho\cdot 2\pi L \cdot \frac{R^4}{4}

De massa van de massieve cilinder bedraagt

m = \rho V = \rho \pi R^2 L

Samen levert dit op

I = \tfrac12 m R^2

Dunne staaf en draaiingsas haaks op midden[bewerken]

Traagheidsmoment van een dunne staaf met haakse draaiingsas

Een homogene staaf ter lengte L en doorsneeoppervlak S kunnen we als een rol koekjes opgebouwd denken uit schijfjes. Het traagheidsmoment I om de draaiingsas kan berekend worden door de bijdragen van de schijfjes met dikte \mathrm{d}r te integreren. Voor het (infinitesimale) volume van zo'n schijfje op een afstand r van de as geldt:

\mathrm{d} V(r) = S \mathrm{d}r .

Het traagheidsmoment is dan bij benadering:

I = \rho \iiint r^2\, \mathrm{d}r \approx \rho \int  r^2 \mathrm{d}V(r) = \rho \int_{-L/2}^{L/2} \, r^2 S\, \mathrm{d}r =\rho S \int_{-L/2}^{L/2} r^2 \mathrm{d}r = \rho  S \frac{L^3}{12}

De massa van de massieve staaf bedraagt

m = \rho V = \rho S L

dus

I \approx \frac{1}{12} m L^2

Massieve bol[bewerken]

Traagheidsmoment van een massieve bol

Het traagheidsmoment van een massieve bol met massa m en straal R om een willekeurige as door het middelpunt wordt als volgt gevonden. Stel dat Oz de draaiingsas is. Voor de afstand d_r van het punt r = (x,y,z) tot de as Oz geldt

d_r^2=x^2+y^2.

Het traagheidsmoment I_z om de z-as wordt gegeven door:

I_z=\iiint \rho(r)\,d_r^2\mathrm{d}V=\rho\iiint(x^2+y^2)\,\mathrm{d}V,

waarbij geïntegreerd wordt over de massieve bol. Dat kan eenvoudig door te bedenken dat we bolsymmetrie hebben, zodat de traagheidsmomenten om alle assen gelijk zijn:

I_x=I_y=I_z

Dan

 I = \frac13(I_x + I_y + I_z) = \frac13  \rho\iiint (y^2+z^2 + x^2+z^2 + x^2+y^2)\,\mathrm{d}V = \frac23\rho \int r^2 \,\mathrm{d}V,

met r^2=x^2+y^2+z^2 het kwadraat van de afstand van het punt r tot de oorsprong. De integratie is het makkelijkst in bolcoordinaten. Het volume-element is gelijk aan

\mathrm{d}V=4\pi r^2\mathrm{d}r

terwijl r loopt van 0 tot R. Dan volgt

I = \frac23\,\rho \int_0^R \!\!4\pi r^4\,\mathrm{d}r = \frac23\,\rho\cdot4\pi\frac{R^5}{5} = \frac{m}{\frac43\pi R^3}\cdot\frac{8\pi R^5}{15} = \frac25\,mR^2.

Oppervlaktetraagheidsmoment[bewerken]

De term traagheidsmoment wordt ook wel gebruikt voor het oppervlaktetraagheidsmoment dat de weerstand tegen doorbuiging bepaalt. Het oppervlaktetraagheidsmoment (dimensie lengte4) wordt gebruikt bij sterkteberekeningen aan constructies.

Bronnen, noten en/of referenties
  1. Het traagheidsmoment van een holle cilinder kan als volgt bepaald worden: I_\mathrm{hol}=I_\mathrm{gr}-I_\mathrm{kl}=\tfrac12 \rho \pi h r_2^4 - \tfrac12 \rho \pi h r_1^4 = \tfrac12 \rho \pi h (r_2^2-r_1^2)(r_2^2+r_1^2)= \tfrac12 m (r_2^2+r_1^2)