Traagheidsmoment

Een object met een zekere uitgebreidheid ten opzichte van een gekozen rotatie-as, verzet zich tegen verandering van de draaisnelheid om die as. De mate waarin dit gebeurt wordt uitgedrukt in het traagheidsmoment (massatraagheidsmoment) ten opzichte van die rotatie-as. Om de snelheid van draaien te veranderen moet een draaimoment worden uitgeoefend. De verhouding tussen dit draaimoment en de resulterende hoekversnelling is het traagheidsmoment ten opzichte van de rotatie-as.

$\vec{T}=I \vec{\alpha}$

waarin

• $\vec{T}$: draaimoment, een vector [eenheid N.m]
• $I\,$: traagheidsmoment, een getal [eenheid kg.m²]
• $\vec{\alpha}$: hoekversnelling, een vector [eenheid rad/s²]

Het traagheidsmoment is het analogon (overeenkomstig begrip) van het begrip trage massa, dat de mate van verzet tegen lineaire versnelling uitdrukt, zoals weergegeven in de tweede wet van Newton: $\vec{F}=m \vec{a}$. Het traagheidsmoment is zowel afhankelijk van de totale massa als van de verdeling van deze massa; hoe verder een deel van de massa verwijderd is van de rotatie-as, hoe groter de bijdrage van dat deel aan het traagheidsmoment. Voor puntmassa's m_i op respectievelijk afstanden r_i van de rotatie-as is het traagheidsmoment I de som van de aparte traagheidsmomenten:

$I = \sum_{i} m_ir_i^2$.

Nu zijn puntmassa's meestal slechts idealiseringen en wordt een object beschreven door zijn massaverdeling m(r) (de massa als functie van de plaats r) of door de dichtheid ρ, die ook van r kan afhangen. Het traagheidsmoment is dan gegeven door:

$\, I=\int_V r^2 \operatorname{d}m = \int_V r^2\rho \operatorname{d}V$

waarbij r steeds de loodrechte afstand tot de draaias voorstelt en de gemiddelde dichtheid ρ gelijk is aan

$\rho = \frac{m}{V}$

Verband met het impulsmoment

Het impulsmoment van een star, roterend object verandert volgens

$\frac{\operatorname{d}\vec{L}}{\operatorname{d}t}=\vec{T}$

met het verband tussen de hoekversnelling en hoeksnelheid $\vec{\omega}$

$\vec{\alpha}=\frac{\operatorname{d} \vec{\omega}}{\operatorname{d}t}$

volgt door gelijkstellen aan de uitdrukking voor het draaimoment

$\vec{L}=I\vec{\omega}$

waarin:

• $\vec{L}$: impulsmoment, een vector [N.m.s]
• $t$: tijd [s], een scalar
• $\vec{T}$: draaimoment, een vector [N.m]
• $\vec{\alpha}$: hoekversnelling, een vector [rad/s²]
• $\vec{\omega}$: hoeksnelheid, een vector [rad/s]

Zie ook rotatie (eendimensionaal)

Traagheidsmoment als tensor

Als de rotatieas een as van rotatiesymmetrisch is, zoals in bovenstaande uitdrukking voor het impulsmoment, dan is het traagheidsmoment een scalar, dat wil zeggen een evenredigheidsfactor tussen de impulsmoment-vector $\vec{L}$ en de rotatie-vector $\vec{\omega}$, die parallel staan.

Roteert het lichaam niet ten opzichte van de traagheidsas, dan moet het verband tussen impulsmomentvector en de rotatievector uitgedrukt worden als een traagheidstensor, kan men het traagheidsmoment voor elke willekeurige draairichting in één grootheid uitdrukken:

$\vec{L}=\mathbf{I} \cdot \vec{\omega}$

Deze traagheidstensor kan voor bewegingen in drie dimensies geschreven worden als een tensor bestaande uit 3×3=9 getallen en geeft dan de drie componenten van het traagheidsmoment L in het gekozen assenstelsel.

$\mathbf{I} = \begin{bmatrix} I_{11} & I_{12} & I_{13} \\ I_{21} & I_{22} & I_{23} \\ I_{31} & I_{32} & I_{33} \end{bmatrix}$,

waarbij in een cartesisch coördinatenstelsel met het zwaartepunt van het lichaam als oorsprong voor een star lichaam, bestaande uit N puntmassa’s:

$I_{11} = I_{xx} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \sum_{k=1}^{N} m_{k} (y_{k}^{2}+z_{k}^{2}),\,\!$

$I_{22} = I_{yy} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \sum_{k=1}^{N} m_{k} (x_{k}^{2}+z_{k}^{2}),\,\!$

$I_{33} = I_{zz} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \sum_{k=1}^{N} m_{k} (x_{k}^{2}+y_{k}^{2}),\,\!$

$I_{12} = I_{xy} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ -\sum_{k=1}^{N} m_{k} x_{k} y_{k},\,\!$

$I_{13} = I_{xz} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ -\sum_{k=1}^{N} m_{k} x_{k} z_{k},\,\!$

$I_{23} = I_{yz} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ -\sum_{k=1}^{N} m_{k} y_{k} z_{k},\,\!$

Altijd geldt: $\ I_{12}=I_{21}$, $\ I_{13}=I_{31}$, en $\ I_{23}=I_{32}$.

$\ I$ is dus een symmetrische tensor. Voor continue massaverdelingen moeten deze sommaties vervangen worden door integralen. Vallen de gekozen coördinaatassen samen met de traagheidsassen (waarvan er altijd minstens drie bestaan), dan zijn de niet-diagonale elementen van de tensor gelijk aan nul resulteert het product van de diagonale tensor I en de rotatievector $\vec{\omega}$ in een $\vec{L}$ de parallel is aan $\vec{\omega}$. Een rotatiesymmetrieas is altijd een traagheidsas.

Zie ook rotatie (algemeen)

Traagheidsmomenten van diverse lichamen

Afbeelding	Beschrijving	Traagheidsmoment(en)
	Een puntmassa op afstand $r$ van de draaias.	$I = m \cdot r^2$
	Een cilindermantel die om zijn (cilinder)as draait.	$I = m \cdot r^2$
	Een massieve cilinder (staaf, schijf) die om zijn as draait.	$I = \tfrac12 m \cdot r^2$
	Een holle cilinder, die om zijn as draait.	$I = \tfrac12 m \cdot (r_2^2+r_1^2)$ (m: massa van de holle cilinder)
	Een massieve cilinder, die roteert om de symmetrieas die de cilinderas in het midden loodrecht doorsnijdt.	$I = \tfrac14 m \cdot r^2 + \tfrac{1}{12} m \cdot l^2$
	Een cilindermantel, die roteert om de symmetrieas die de cilinderas in het midden loodrecht doorsnijdt.	$I = \tfrac12 m \cdot r^2 + \tfrac{1}{12} m \cdot l^2$
	Een dunne staaf die draait om de symmetrieas die de cilinderas in het midden loodrecht doorsnijdt. (Merk op dat deze formule een benadering is van de cilinder met de aanname dat $r\ll l$)	$I = \tfrac{1}{12} m \cdot l^2$
	Een dunne staaf die draait om een van zijn uiteinden.	$I = \tfrac13 m \cdot l^2$
	Een holle bol, met verwaarloosbare dikte en een willekeurige draaias door het middelpunt.	$I = \tfrac23 m \cdot r^2$
	Een massieve bol, met een willekeurige draaias door het middelpunt.	$I = \tfrac25 m \cdot r^2$
	Een plaat met lengtes a en b, met draaias loodrecht op de plaat (vergelijk dunne ronde staaf).	$I = \tfrac{1}{12} m \cdot (a^2 + b^2)$
	Dunne schijf, straal r en massa m (gelijk aan massieve cilinder).	$I_z = \tfrac{1}{2} mr^2$ $I_x = I_y = \tfrac{1}{4} m(r^2)$
	Circulaire kegel, straal r, hoogte h, en massa m.	$I_z = \tfrac{3}{10} mr^2 \,\!$ $I_x = I_y = \tfrac35 m(\tfrac14 r^2+h^2) \,\!$
	massieve balk, hoogte h, breedte b, diepte d en massa m (vergelijk plaat).	$I_h = \tfrac{1}{12} m(b^2+d^2)$ $I_b = \tfrac{1}{12} m(h^2+d^2)$ $I_d = \tfrac{1}{12} m(h^2+b^2)$

Het traagheidsmoment om een andere as kan bepaald worden via de stelling van Steiner.

Voorbeelden van berekeningen

Massieve cilinder

Traagheidsmoment van een massieve cilinder

Het traagheidsmoment van een massieve cilinder om zijn as wordt gevonden door de formule te gebruiken

$\, I=\int_V r^2 \operatorname{d}m = \int_V r^2\rho \operatorname{d}V$

met $\!r$ de afstand tot de as. Om de integraal uit te rekenen, bekijken we het volume van een koker met schildikte $\! \mathrm{d}r$ en omtrek $\!2 \pi r$. Het volume-element is $\!\mathrm{d}V = 2 \pi r L \mathrm{d}r$, met $\!L$ de lengte van de massieve cilinder. De integraal wordt

$I = \int_0^R \!\! r^2 \cdot \rho \cdot 2\pi r L \mathrm{d}r = 2\pi\rho L \int_0^R r^3 \mathrm{d}r = \rho\cdot 2\pi L \cdot \frac{R^4}{4}$

De massa van de massieve cilinder bedraagt

$\!\!\ m = \rho V = \rho \pi R^2 L$

Samen levert dit op

$I = \tfrac12 m R^2$

Dunne staaf en draaiingsas haaks op midden

Traagheidsmoment van een dunne staaf met haakse draaiingsas

Een staaf ter lengte $\!L$ en doorsneeoppervlak $\!S$ kunnen we als een rol koekjes opgebouwd denken uit schijfjes en volume-element $\!\mathrm{d}V = S \mathrm{d}r$. Het traagheidsmoment vinden we door

$\, I= \int_V r^2\rho \operatorname{d}V$

uit te rekenen met een integraal over de volume-elementen van het ene naar het andere uiteinde van de staaf:

$I = \int_{-L/2}^{L/2} \!\! r^2 \cdot \rho \cdot S \mathrm{d}r = \rho \cdot S \int_{-L/2}^{L/2} r^2 \mathrm{d}r = \rho \cdot S \cdot \frac{L^3}{12}$

De massa van de massieve staaf bedraagt

$\!\!\ m = \rho V = \rho S L$

dus

$I = \frac{1}{12} m L^2$

Massieve bol

Traagheidsmoment van een bal

Het traagheidsmoment van een massieve bol met massa m en straal R om een willekeurige as door het middelpunt wordt als volgt gevonden. Stel dat Oz de draaiingsas is. De afstand van het punt r = (x,y,z) tot de as Oz is

d(r)² = x² + y².

Voor het traagheidsmoment om de z-as I_z moeten we de integraal over

∭(x² + y²) dV

uitrekenen. Dat kan eenvoudig door te bedenken dat we bolsymmetrie hebben, zodat de traagheidsmomenten om alle assen gelijk zijn:

I_x = I_y = I_z.

Dan

$I = \frac13(I_x + I_y + I_z) = \frac13 \iiint \rho\cdot(y^2+z^2 + x^2+z^2 + x^2+y^2)\,\mathrm{d}V = \frac23\,\rho \int r^2 \,\mathrm{d}V,$

met r² = x² + y² + z² de afstand van het punt r tot de oorsprong. De integratie is het makkelijkst in bolcoordinaten. Het volume-element is gelijk aan

dV = πr²dr,

terwijl r van 0 tot R loopt. Dan krijgen we

$I = \frac23\,\rho \int_0^R \!\!4\pi r^4\,\mathrm{d}r = \frac23\,\rho\cdot4\pi\frac{R^5}{5} = \frac{m}{\frac43\pi R^3}\cdot\frac{8\pi R^5}{15} = \frac25\,mR^2.$

Oppervlaktetraagheidsmoment

De term traagheidsmoment wordt ook wel gebruikt voor het oppervlaktetraagheidsmoment dat de weerstand tegen doorbuiging bepaalt. Het oppervlaktetraagheidsmoment (dimensie lengte⁴) wordt gebruikt bij sterkteberekeningen aan constructies.

Referenties