Conflictlijn

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

De conflictlijn van twee disjuncte verzamelingen van punten in het platte vlak, is de lijn van punten die tot beide verzamelingen dezelfde afstand hebben.

Evenwijdige lijnen[bewerken]

Eenvoudig is in te zien dat twee evenwijdige lijnen als conflictlijn een lijn hebben evenwijdig aan de twee lijnen en midden tussen beide Daarom wordt deze lijn ook aangeduid als middenparallel. Dat kan als volgt bewezen worden:

Noem de lijnen l1 en l2.
Kies een assenstelsel met de lijnen evenwijdig aan de y-as, op afstanden c en -c.
De y-as is dan de conflictlijn.

Punt en lijn[bewerken]

De conflictlijn van een punt en een lijn niet door dat punt, is een parabool. Dit kan bewezen worden op onderstaande wijze.

Neem een punt P en de lijn l.
Kies een assenstelsel zo dat de coördinaten van het punt P P=(c,0)\! zijn en de lijn l evenwijdig en links van de y-as, op afstand c. Dus de vergelijking van l is x=-c\!.
P ligt niet op l, dus c \not= 0
Voor elk punt Q=(x,y)\! op de conflictlijn geldt: d(Q,P)=d(Q,l)\!
Nu is d(Q,P)=\sqrt{(x-c)^3+y^2} en d(Q,l)=c+x\!, zodat \sqrt{(x-c)^2+y^2}=c+x\!.
Dit is equivalent met: (x-c)^2+y^2= (c+x)^2\!
Uitwerken levert:y^2=4cx\! wat een parabool voorstelt.
Dit is een parabool met zijn 'opening' naar rechts gericht. Voor een parabool met de opening naar boven moeten x en y verwisseld worden. Voor een parabool naar links of onder moet er een minteken gezet worden voor de 4cx\! of 4cy\! respectievelijk.

Cirkel en lijn[bewerken]

De conflictlijn tussen een cirkel en een lijn in hetzelfde vlak, die de cirkel niet snijdt, is een parabool. Dit kan rechtstreeks bewezen worden zoals hieronder, maar ook door in te zien dat de bedoelde conflictlijn ook de conflictlijn is van het middelpunt van de cirkel en een lijn evenwijdig aan de gegeven lijn maar een afstand gelijk aan de straal van de cirkel verder van de cirkel verwijderd.

Noem de cirkel C met straal r en de lijn l.
Kies een assenstelsel met het middelpunt van C als oorsprong O en de lijn l evenwijdig met de x-as, op afstand c > 0.
De lijn l gaat niet door de cirkel, dus c >= r.
Voor een punt Q=(x,y)\! op de conflictlijn geldt: d(Q,l)=d(Q,C)\!
Nu is d(Q,l)=c-y\! en d(Q,C)=\sqrt{x^2+y^2}-r\!
Dit is equivalent met: x^2 + y^2 = (c-y+r)^2\!
Uitwerken levert, met c+r=d\!:  y=\frac{-1}{2d}x^2 + \frac{d}{2}, een parabool.

Punt en cirkel[bewerken]

De ellips als conflictlijn tussen een punt P en een cirkel met middelpunt M.

De conflictlijn van een cirkel \mathcal C(M,r) en een punt P in de cirkel is een ellips met brandpunten M en P. Stel je immers een punt Q voor op de conflictlijn. Teken de halfrechte beginnend in M door Q, die komt de cirkel tegen in een punt R. Duidelijk is dan dat QR=QP, en dus MQ+PQ = MQ+QR = r, dus Q ligt op de ellips die bestaat uit punten met som van afstanden tot brandpunten M en P gelijk aan r. Ook is duidelijk dat ieder punt Q van de ellips even ver van \mathcal C, namelijk van R, als van P afligt, zodat de conflictlijn uit de volledige ellips bestaat.