Parabool (wiskunde)

Een parabool met vergelijking y=x²

Een parabool (van het Grieks παραβολή) is een vorm die bepaald is door een wiskundige vergelijking. De simpelste parabool hoort bij de vergelijking y = x². Verder komt de vorm ook terug als één van de mogelijke kegelsneden, namelijk één waarbij het snijvlak parallel loopt met een lijn die aan de kegel raakt en tevens het toppunt snijdt.

Een parabool heeft één brandpunt. Het brandpunt is te vinden op het punt (0,p) indien de vergelijking de vorm 4py = x² heeft. Voor y = x² bevindt het brandpunt zich dus op het punt (0, 1/4).

Wiskundige definitie

parabool in het platte vlak

Parabool als kegelsnede

In het platte vlak

De parabool is de meetkundige plaats van alle punten die dezelfde afstand d hebben tot een gegeven lijn L en een gegeven punt (het brandpunt p). De parabool is in deze situatie de conflictlijn tussen de lijn L en het (brand)punt. De parabool wordt gevormd door een kwadratische vergelijking.

Het bewijs hiervoor is als volgt:

• Neem een nog nader te bepalen parabool y(x). Deze functie heeft op elk willekeurig punt dezelfde afstand tot richtlijn y = -p als tot het brandpunt F (0,p).
• De afstand van een willekeurig punt x op de richtlijn tot de parabool is gelijk aan y(x) + p
• De afstand van F tot de parabool kun je uitrekenen met de Stelling van Pythagoras en is gelijk aan √((y(x) - p)² + x²)

Dan krijg je de vergelijking y + p = √((y - p)² + x²)

Oplossen geeft 4py = x², waarmee dus aangetoond is dat een parabool beschreven wordt door een kwadratische vergelijking.

In de driedimensionale ruimte

De parabool is de doorsnede van de snijding van een vlak met een kegel, vandaar dat de parabool een "kegelsnede" is (zie figuur).

Cartesiaanse vergelijking

De parabool is de grafiek van een tweedegraadsfunctie, die de volgende algemene vergelijking heeft:

$\! f(x) = ax^2 + bx + c$

Als a>0 spreken we van een dalparabool (bolle kant wijst naar beneden). Als a<0 hebben we te maken met een bergparabool (bolle kant wijst naar boven).
De nulpunten van deze parabool worden gegeven door de wortelformule.

Deze formule kan ook geschreven worden als:

$f(x) = d(x-e)^2 + f \,$

waarbij

$d = a\,$

$e = \frac{-b}{2a} \,$

$f = \frac{4ac - b^2}{4a} \,$

De symmetrieas van de parabool wordt bepaald voor de rechts: $\! x = e$

Het minimum of maximum van de parabool is het punt met als coördinaat $\! (e , f)$

Door verschuiven van de assen krijgt men de standaardvorm: $\! f(x) = c \cdot x^2$

Vergelijking in polaire coördinaten

Een parabool met de oorsprong als brandpunt en een negatieve x-coordinaat van de top, wordt in de poolcoördinaten $r \,$ en $\theta \,$ beschreven door de vergelijking:

$r (1 - \cos \theta) = l \,$

Hierbij is l de afstand van het brandpunt tot een van de twee punten van de parabool op de y-as.

Top

Als $a \not = 0$, kunnen de x- en y-coördinaat van de top van een parabool met de volgende formules uitgerekend worden:

$\begin{align} x_{parabooltop} = \frac{-b}{2a}\end{align}$

$\begin{align} y_{parabooltop} = ax_{parabooltop}{^2} + bx_{parabooltop} + c\end{align}$

Brandpunt

Het brandpunt F van een parabool met vergelijking $y = ax^2+bx+c$ heeft als coördinaten:

$F=(\frac{-b}{2a}; c-\frac{b^2-1}{4a})$

Toepassingen

Het deeltje volgt een parabolische baan

• Een kogelbaan, dus de baan van een projectiel zonder eigen voortstuwing, dat bij het afschieten door bijvoorbeeld een kanon een bepaalde beginsnelheid en -richting krijgt een parabolische baan, op voorwaarde dat de kromming van de aarde en de wrijving van de lucht te verwaarlozen zijn. De maximale hoogte en afstand hangen af van de schietshoek, ook wel elevatie genoemd (in de figuur φ). De schietafstand is in dit theoretische geval maximaal wanneer φ gelijk is aan 45°.

• De baan van een puntmassa in een radieel zwaartekrachtveld, dus bijvoorbeeld een komeet, heeft bij een bepaald impulsmoment een parabolische baan. Zie ook: Keplerbanen.

• Aangezien straling die evenwijdig aan de as invalt op een parabool volledig gereflecteerd wordt door het brandpunt, bestaan "parabolische antennes", met de vorm van een paraboloïde (een rond zijn as geroteerde parabool). Op die manier worden de invallende stralen versterkt.

• Hetzelfde principe wordt gebruikt bij fietslampen en dergelijke. De lamp wordt in het brandpunt gezet van een omwentelingsparabool gemaakt van een spiegelende stof. Zo wordt al het licht dat niet rechtstreeks naar voren gaat, weerkaatst. Alle uitgaande lichtstralen zullen evenwijdig zijn.

• Het oppervlak van vloeistoffen in een dun cirkelvormig buisje nemen door capillariteit de vorm van een paraboloïde aan. Bij sommige vloeistoffen bemoeilijkt dit het aflezen van thermometer.

• Het oppervlak van vloeistoffen in een roterend vat neemt bij rotatie van dat vat een parabolische vorm aan, ten gevolge van de centrifugaalkracht.

Mediabestanden

Zie de categorie Parabolas van Wikimedia Commons voor meer mediabestanden.