Parabool (wiskunde)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Een parabool met vergelijking y = x²

Een parabool, van het Grieks παραβολή, vergelijking, is een vlakke tweedegraadskromme die de meetkundige plaats is van punten met dezelfde afstand d tot een gegeven lijn m, de richtlijn, en een gegeven punt F, het brandpunt. De wiskundige vergelijking die een parabool beschrijft is van de tweede graad. Een parabool kan ook beschouwd worden als een kegelsnede waarvan het snijvlak evenwijdig is met een beschrijvende van de kegel.

De eenvoudigste vergelijking van een parabool is y = x². Het brandpunt van deze parabool is het punt (0, 1/4) en de richtlijn is de lijn y = –1/4.

Wiskundige definitie[bewerken]

In het platte vlak[bewerken]

De parabool is de doorsnede van een kegel en een plat vlak, een kegelsnede.

Een parabool is de meetkundige plaats van punten die dezelfde afstand d hebben tot een gegeven lijn m, de richtlijn, en een gegeven punt F, het brandpunt. De parabool is de conflictlijn tussen de richtlijn en het brandpunt.

De parabool wordt beschreven door een kwadratische vergelijking. Voor een parabool met horizontale richtlijn y=-c en brandpunt F=(0,c), die beschreven wordt door de functie y=f(x) kan dit als volgt ingezien worden. Er geldt dat de afstand van het punt (x,f(x)) tot het brandpunt gelijk is aan

\sqrt{x^2+(f(x)-c)^2}

en de afstand tot de richtlijn

| f(x)+c \,|.

Deze afstanden zijn gelijk, dus

\sqrt{x^2+(f(x)-c)^2}=| f(x)+c \, |,

waaruit volgt:

f(x)=\frac{1}{4c}x^2

In de driedimensionale ruimte[bewerken]

De parabool is de doorsnede van een vlak met een kegel, vandaar dat de parabool een kegelsnede is, zie de figuur.

Cartesiaanse vergelijking[bewerken]

De grafiek van een tweedegraadsfunctie, die de volgende algemene vergelijking heeft:

f(x) = ax^2 + bx + c

is een parabool.

Als a>0 spreken we van een dalparabool, de bolle kant wijst naar beneden. Als a<0 hebben we te maken met een bergparabool, de bolle kant wijst naar boven. De nulpunten van deze parabool worden gegeven door de wortelformule.

Deze formule kan ook geschreven worden als:

f(x) = k(x-e)^2 + f

waarbij

k = a
e = \frac{-b}{2a}
f = \frac{4ac - b^2}{4a}

De symmetrieas van de parabool is de lijn: x = e

Het minimum of maximum van de parabool is het punt (e , f)

Door verschuiven van de assen verkrijgt men de standaardvorm: f(x) = c \cdot x^2

Vergelijking in poolcoördinaten[bewerken]

Een parabool met de oorsprong als brandpunt en een negatieve x-coordinaat van de top, wordt in de poolcoördinaten r en \theta beschreven door de vergelijking:

r (1 - \cos \theta) = d

Hierbij is d de afstand van het brandpunt tot een van de twee punten van de parabool op de y-as.

Top[bewerken]

Een schuin naar boven gerichte waterstraal uit een fontein vormt onder invloed van de zwaartekracht een parabool van water.

De coördinaten van de top van een parabool met vergelijking y = ax^2+bx+c zijn

 ( \frac{-b}{2a} , \frac{4ac-b^2}{4a} )

Als a > 0 , bij een dalparabool, dan is dit een minimum, als a < 0 , bij een bergparabool, is het een maximum.

Brandpunt en richtlijn[bewerken]

Het brandpunt F van een parabool met vergelijking y = ax^2+bx+c heeft als coördinaten:

F=(\frac{-b}{2a}; c-\frac{b^2-1}{4a})

De bijbehorende richtlijn m heeft als vergelijking y = c - \frac{b^2 + 1}{4a}.

Paraboloïde[bewerken]

De driedimensionale figuur die ontstaat wanneer een parabool rond zijn as wordt gewenteld heet een paraboloïde.

Toepassingen[bewerken]

Het deeltje volgt een parabolische baan
  • Een kogelbaan is een parabolische baan, op voorwaarde dat de kromming van de aarde, de draaiing van de aarde en de wrijving van de lucht te verwaarlozen zijn. De maximale hoogte en afstand hangen af van de lanceerhoek, ook wel elevatie genoemd, in de figuur φ. De schietafstand is in dit theoretische geval maximaal wanneer φ gelijk is aan 45°.
  • Bijvoorbeeld de baan van een sateliet langs de zon, waarvan de snelheid zo groot is dat die niet weer in het zwaartekrachtveld van de zon terugkeert, is een parabolische baan.