Kegel (ruimtelijke figuur)

Een kegel

Een kegel of conus is een ruimtelijke figuur.

De oppervlakte A van een kegel, waarbij r de straal van de basis is en h de hoogte, is: $A = \pi r^2 + \pi r l$, waarbij l de lengte van het schuine oppervlak is, van top tot cirkelrand ($l = \sqrt{r^2+h^2}$). De eerste term ($\pi r^2$) is precies het oppervlak van de platte bodem, en de andere term ($\pi r l$) is het oppervlak van de puntvorm.

Voor de inhoud V geldt:

$V = {\pi r^2 h \over 3}$, anders gezegd ${1 \over 3}\cdot\mathrm{oppervlakte\ grondvlak}\cdot\mathrm{hoogte}$.

Kegelsneden

In de meetkunde wordt met een kegel ook wel de onbegrensde ruimtelijke figuur bedoeld die vanuit de bovenstaande figuur kan worden gemaakt door het bodemvlak weg te nemen, en die boven het bovenste puntje omgekeerd wordt herhaald. Van deze dubbele oneindige kegel zijn snijvlakken met een plat vlak bekend als de kegelsneden: cirkel, ellips, parabool en hyperbool.

Strikt genomen zijn geïsoleerde punten en tweetallen elkaar snijdende rechten ook kegelsneden; deze worden ontaard genoemd om ze te onderscheiden van cirkel, ellips, parabool en hyperbool, die in de analytische meetkunde een vergelijking F(x, y) = 0 hebben waarin de kwadratische veelterm F(x, y) niet in twee lineaire factoren ontbonden kan worden.

Minimum oppervlak van een kegel

Van alle denkbare kegels met gelijke inhoud V, is een kegel met het kleinste oppervlak A aanwezig, als voldaan wordt aan de randvoorwaarde $h = 2 r_ b \sqrt{2}$ , waarbij de straal r_b niet willekeurig is maar begrensd. Dit vraagt om enige toelichting in de vorm van een rekenvoorbeeld. Als uitgegaan wordt van een kegel met een inhoud van 1000 cm³ dan volgt hieruit, dat:

$V = 1000 = {\pi r^2 h \over 3}$,

waaruit volgt:

${3000\over \pi} = {r^2 h} = \mathrm{constant}$

Als voor r een begrensde reeks getallen wordt gekozen, dan is hieruit dus h en het oppervlak A te berekenen. Het blijkt, dat het kleinste oppervlak:

$A = \pi r (r + \sqrt{r^2+h^2}\!)$,

ligt bij r_b = 6,9632 cm, zoals ook de bijbehorende grafiek laat zien. Stralen groter of kleiner dan r_b leiden tot grotere oppervlakken. Uit de minimumwaarde r_b valt h af te leiden volgens

$h = {3000 \over \pi r^2} = 19,695 \mathrm{cm} = 2 r_b \sqrt{2}$

De randvoorwaarde $h = 2R \sqrt{2}$ geldt voor iedere R > 0. Immers,

$h = {3V \over \pi R^2}$ (1) en dus $A = {\pi R^2} + {1 \over R} \sqrt{{\pi}^2 R^6 + 9V^2}$

Deze functie heeft een minimum voor ${\mathrm{d} \over \mathrm{d}R} A = 0$ en dat geldt bij

$R^3 = {3V \over 2\pi \sqrt{2}}$ → $3V = 2 \pi R^3 \sqrt{2}$

Invullen in (1) levert de randvoorwaarde.

Zie ook

• Isoperimetrisch quotiënt

Mediabestanden

Zie de categorie Cones van Wikimedia Commons voor meer mediabestanden.

Externe link

• (en) ellipsoïde volume van een afgeknotte kegel