Kegel (ruimtelijke figuur)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Een kegel

Een kegel of conus is een ruimtelijke figuur. De figuur heeft een plat en een gekromd vlak (basis en zijde). De bodem is een cirkel. Het andere vlak heeft een punt op de lijn door het middelpunt van de cirkel, loodrecht op de cirkel en verbindt dat punt op de kortst mogelijke manier met de rand van de cirkel.

Kegelsneden[bewerken]

Nuvola single chevron right.svg Zie Kegelsnede voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

In de meetkunde wordt met een kegel ook wel de onbegrensde ruimtelijke figuur bedoeld, die vanuit de bovenstaande figuur kan worden gemaakt door het bodemvlak weg te nemen, en die boven het bovenste puntje omgekeerd wordt herhaald. Van deze dubbele oneindige kegel zijn snijvlakken met een plat vlak bekend als de kegelsneden: cirkel, ellips, parabool en hyperbool. Strikt genomen zijn geïsoleerde punten en tweetallen elkaar snijdende rechten ook kegelsneden, maar deze worden ontaard genoemd om ze van deze vier te onderscheiden.

Oppervlak en inhoud[bewerken]

De oppervlakte A van een kegel is: A = \pi r^2 + \pi r l .

Voor de inhoud V geldt: V = {\pi r^2 h \over 3}.

r de straal van de basis
h de hoogte van de kegel
l de lengte van het schuine oppervlak, van top tot cirkelrand  l = \sqrt{r^2+h^2}
\pi r^2 de oppervlak van de platte bodem.
 \pi r l het oppervlak van de mantel.

Minimum oppervlak van een kegel[bewerken]

Minimum oppervlakte van een kegel met een volume van 1000 cm3

Van alle denkbare kegels met gelijke inhoud V is een kegel met het kleinste oppervlak A de kegel waarvoor geldt dat  h = 2 r_ b \sqrt{2} , waarbij de straal r van de platte bodem is. De kegels, die congruent aan deze kegel zijn, zijn de kegels, waarvoor het isoperimetrisch quotiënt het grootst is: 0,5 of een half. In de figuur zijn uitgezet welke straal r en oppervlak A overeenkomen met een kegel met een inhoud van 1000 cm3.

Dit vraagt om enige toelichting in de vorm van een rekenvoorbeeld. Als uitgegaan wordt van een kegel met een inhoud van 1000 cm3 dan volgt hieruit, dat:

V  = 1000 = {\pi r^2 h \over 3},

waaruit volgt:

{r^2 h} = {3000\over \pi}

vast is. Hiermee is de kegel te berekenen met de kleinste oppervlak A. Het blijkt, dat het kleinste oppervlak:

A = \pi r (r + \sqrt{r^2+h^2}\!) ,

ligt bij r = 6,9632 cm, zoals ook de bijbehorende grafiek laat zien. Stralen groter of kleiner dan deze waarde leiden tot grotere oppervlakken. Uit de minimumwaarde voor r valt h af te leiden:

h = {3000 \over \pi r^2} = 19,695 \mathrm{cm} = 2 \sqrt{2} \times 6,9632 cm

De randvoorwaarde  h = 2r \sqrt{2} geldt voor iedere r > 0. Immers,

 h = {3V \over \pi r^2} (1) en dus  A = {\pi r^2} + {1 \over r} \sqrt{{\pi}^2 r^6 + 9V^2}

Deze functie heeft een minimum voor  {\mathrm{d} \over \mathrm{d}r} A = 0 en dat geldt bij

 r^3 = {3V \over 2\pi \sqrt{2}}  3V = 2 \pi r^3 \sqrt{2}

Boven, in (1) invullen geeft de randvoorwaarde.