Vierkantsvergelijking

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Plots van de reëelwaardige kwadratische functie ax2 + bx + c, waar elke coëfficiënt afzonderlijk wordt gevarieerd

In de wiskunde is een vierkantsvergelijking of kwadratische vergelijking of tweedegraadsvergelijking een vergelijking van de vorm:

\,ax^2 + bx + c = 0,

waarin a, b en c (reële of complexe) constanten zijn, met a \not = 0.

Het kan zijn dat de vergelijking niet meteen in deze vorm lijkt voor te komen, maar na het verplaatsen van alle termen naar het linkerlid voldoen alle tweedegraadsvergelijkingen aan bovenstaande algemene vorm. Let wel op, voor een vierkantsvergelijking kan eventueel wel b = 0 en/of c=0. Het oplossen van een vierkantsvergelijking is bijvoorbeeld aan de orde bij het bepalen van de nulpunten van een kwadratische functie.

Oplossingsmethode[bewerken]

\, D= b^2- 4ac

wordt de discriminant van de vergelijking genoemd. Voor vergelijkingen met reële coëfficiënten geeft de waarde van D de grootte aan van de reële oplossingsverzameling:

  • Als D > 0, zijn er twee verschillende reële oplossingen x1 en x2.
  • Als D = 0, zijn er twee gelijke reële oplossingen x1 = x2.
  • Als D < 0, zijn er geen reële oplossingen van de vergelijking.
Afhankelijk van de discriminant is er 2, 1, of geen enkele reële oplossing

De wortels of oplossingen kunnen bepaald worden met de zogenaamde wortelformule of abc-formule (zie aldaar voor de afleiding daarvan):

x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

ofwel:

x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}

Bij een negatieve discriminant zijn de oplossingen complexe getallen:

x_{1,2} = \frac{-b \pm i \sqrt{4ac-b^2}}{2a}

Formules van Viète[bewerken]

De twee oplossingen (al dan niet verschillend of complex) voldoen aan de zogenaamde formules van Viète, ook wel de som- en product-formules genoemd:

\, x_1 + x_2 = \frac{-b}{a}
\, x_1 x_2 = \frac{c}{a}

Dit volgt direct uit de bovengenoemde formule voor de oplossingen, maar is ook eenvoudig in te zien door te schrijven:

\,ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2),

waarna uitwerking van het rechterlid leidt tot:

\,a x_1 x_2=c

en

\,-a(x_1+x_2)=b.

Hierdoor kan het linker lid van de standaardvergelijking worden herschreven als

\, ax^2+bx+c = a(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}) = a(x^2-Sx+P)

met \,S de som van de oplossingen en \,P het product van de oplossingen.

Kwadraat afsplitsen[bewerken]

Een oplossingsmethode die uitermate geschikt is voor vierkantsvergelijkingen met hoogste coëfficiënt 1, is het "afsplitsen van een kwadraat". (Een niet-ontaarde vierkantsvergelijking kan altijd zo geschreven worden.) Deze methode is ook zeer geschikt voor vergelijkingen die geen reële oplossingen hebben, omdat na het afsplitsen van een kwadraat een vergelijking overblijft van de volgende vorm:

\,(x+u)^2 = w.

Het afsplitsen van een kwadraat gaat eenvoudigweg zo:

x^2+bx+c=x^2+2\tfrac b2 x + (\tfrac b2)^2 -(\tfrac b2)^2 + c = (x+\tfrac b2)^2  -\tfrac{b^2}4  +c.

Nulstellen levert de vergelijking:

(x+\tfrac b2)^2  =\tfrac{b^2}4  - c.

Voorbeeld[bewerken]

Oplossen volgens de abc-formule[bewerken]

Beschouw de volgende vergelijking:

\,x^2-1=0

Dan geldt a = 1, b = 0 en c = –1. Er volgt: D = 4 > 0. Er zijn twee oplossingen, die gegeven worden door:

x_{1,2} = \frac{ \pm \sqrt{4}}{2} = \pm 1.

Bovenstaande vergelijking kan ook worden geschreven als:

\,(x+1)(x-1)=0

Hieruit volgt ook dat:

\,x=-1 of \,x=1
Oplossen met kwadraat afsplitsen[bewerken]

Beschouw de volgende vergelijking

\,x^2+4x-5 = 0

Vervolgens splitsen we het kwadraat af volgens x^2+bx+c = (x+\frac{b}{2})^2-\frac{b^2}{4}+c = 0:

\,x^2+4x-5 = (x+2)^2-\frac{16}{4}-5 = (x+2)^2-9 = 0

Er geldt dus dat:

\,(x+2)^2 = 9

Hieruit volgt dat:

\,x_{1,2} = \pm\sqrt{9}-2

De wortels zijn dus:

\,x_1 = 1 en \,x_2 = -5