Signum (wiskunde)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Signumkromme. Merk de nulwaarde in de oorsprong op

Het signum is een eenvoudige wiskundige functie, die, zoals de naam al zegt, eigenlijk het teken van het argument aangeeft. Dus:

 \sgn(x) = 
\begin{cases} 
-1 & \mbox{als  } x < 0 \\
 0 & \mbox{als  } x = 0 \\
 1 & \mbox{als  } x > 0 
\end{cases}

Eigenschappen[bewerken]

Elk reëel getal kan uitgedrukt worden als het product van zijn absolute waarde en zijn signumfunctie:

 x = \sgn(x) \cdot |x|

Voor x ≠ 0 geldt:

\sgn(x)=\frac{x}{|x|}

of

\sgn(x)=\frac{\sqrt{x^2} }{x}

Voor x ≠ 0 is de signumfunctie de afgeleide van de absolute waarde.

Behalve voor x = 0 is de signumfunctie differentieerbaar met overal afgeleide 0.

Toepassingen[bewerken]

Het signum wordt veelal gebruikt bij functies zoals de signumkromme. Maar ook bij andere functies kan dit van pas komen.

Neem nu deze functie: 
f(x)=(-\sgn(x)+x-1)^{0.5\cdot \sgn(x)+1.5} \cdot (2.5-1.5 \cdot \sgn(x))-2 \cdot \sgn(x)-2

Is juist hetzelfde als


f(x)=
\begin{cases} 
4 \cdot x & \mbox{als  } x < 0 \\
 0 & \mbox{als  } x = 0 \\
 (x-2)^{2}-4 & \mbox{als  } x > 0 
\end{cases}

De grafiek ziet er zo uit:

Grafiek met signum

Uitleg[bewerken]

Misschien kunt u moeilijk de functie linken aan de grafiek. Hieronder staat alles uitgelegd:


(-\sgn(x)+x-1)=x-0 (x=negatief) 
(-\sgn(x)+x-1)=x-2 (x=positief)


0.5\cdot \sgn(x)+1.5=1 (x=negatief) 
0.5\cdot \sgn(x)+1.5=2 (x=positief)


(2.5-1.5 \cdot \sgn(x))=4 (x=negatief)


(2.5-1.5 \cdot \sgn(x))=1 (x=positief)


-2 \cdot \sgn(x)-2=0 (x=negatief)


-2 \cdot \sgn(x)-2=-4 (x=positief)

Dan krijgen we de functie:


f(x)=(x-0 of 2)^{1of2} \cdot (4of1)-0of4

Dus als x negatief is, is de functie:


f(x)=(x-0)^{1} \cdot (4)-0

of korter


f(x)=x\cdot 4

Als x positief is, is de functie:


f(x)=(x-2)^{2} \cdot (1)-4

Of korter: 
f(x)=(x-2)^{2}-4

Tezamen kunnen we de functie noteren als:


f(x)=
\begin{cases} 
4 \cdot x & \mbox{als  } x < 0 \\
 0 & \mbox{als  } x = 0 \\
 (x-2)^{2}-4 & \mbox{als  } x > 0 
\end{cases}