Signum (wiskunde)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Signumkromme. Merk de nulwaarde in de oorsprong op

Het signum is een eenvoudige wiskundige functie, die, zoals de naam al zegt, eigenlijk het teken van het argument aangeeft. Dus:

 \sgn(x) = 
\begin{cases} 
-1 & \mbox{als  } x < 0 \\
 0 & \mbox{als  } x = 0 \\
 1 & \mbox{als  } x > 0 
\end{cases}

Eigenschappen[bewerken]

Elk reëel getal kan uitgedrukt worden als het product van zijn absolute waarde en zijn signumfunctie:

 x = \sgn(x) \cdot |x|

Voor x ≠ 0 geldt:

\sgn(x)=\frac{x}{|x|}

of

\sgn(x)=\frac{\sqrt{x^2} }{x}

Voor x ≠ 0 is de signumfunctie de afgeleide van de absolute waarde.

Behalve voor x = 0 is de signumfunctie differentieerbaar met overal afgeleide 0.

Voorbeeld[bewerken]

Een voorbeeld van het gebruik van het signum is de volgende functie: 
f(x)=(-\sgn(x)+x-1)^{0.5\cdot \sgn(x)+1.5} \cdot (2.5-1.5 \cdot \sgn(x))-2 \cdot \sgn(x)-2

Deze functie is hetzelfde als


f(x)=
\begin{cases} 
4 \cdot x & \mbox{als  } x < 0 \\
 0 & \mbox{als  } x = 0 \\
 (x-2)^{2}-4 & \mbox{als  } x > 0 
\end{cases}

De grafiek ziet er zo uit:

Grafiek met signum

Afleiding[bewerken]

Dat beide expressies aan elkaar gelijk zijn wordt hieronder toegelicht.
Merk op dat

(-\sgn(x)+x-1)=x-0 voor x negatief

(-\sgn(x)+x-1)=x-2 voor x positief

0.5\cdot \sgn(x)+1.5=1 voor x negatief

0.5\cdot \sgn(x)+1.5=2 voor x positief

(2.5-1.5 \cdot \sgn(x))=4 voor x negatief

(2.5-1.5 \cdot \sgn(x))=1 voor x positief

2 \cdot \sgn(x)=-2 voor x negatief

2 \cdot \sgn(x)=2 voor x positief

De formule voor de functie is dus te interpreteren als:

f(x)=(x- \mbox{''0 of 2''})^{\mbox{''1 of 2''}} \cdot (\mbox{''4 of 1''}) - \mbox{''-2 of 2''} - 2

Dus als x negatief is, is de functie: f(x)=(x-0)^{1} \cdot (4)+2-2

of korter: f(x)=x\cdot 4

Als x positief is, is de functie: f(x)=(x-2)^{2} \cdot (1)-2-2

of korter: f(x)=(x-2)^{2}-4

Derhalve kunnen we de functie noteren als:


f(x)=
\begin{cases} 
4 \cdot x & \mbox{als  } x < 0 \\
 0 & \mbox{als  } x = 0 \\
 (x-2)^{2}-4 & \mbox{als  } x > 0 
\end{cases}