Parametervergelijking

Een parametervergelijking is een wiskundige vergelijking, waarin een aantal waarden, meestal 2 of 3 (de x-, y-, en eventuele z-waarde), afhankelijk zijn van één of meerdere parameters (t,u,v ...). De x-, y-, en z-waarde zijn hierbij onafhankelijk van elkaar. Als er maar één parameter is, is het resultaat een punt dat met een zekere variabele snelheid een kromme doorloopt. Met twee parameters bekomt men analoog een oppervlak.

Voorbeelden

Ellips

Een voorbeeld van een parametervergelijking is de volgende:

$\, x = 2cos(t)$

$\, y = sin(t)$

Deze kromme beschrijft een ellips.

Een categorie bijzondere parameterkrommen zijn de zogenaamde Lissajousfiguren, waarin het punt dat de kromme doorloopt onderhevig is aan zowel een horizontale als een verticale harmonische trilling. Een voorbeeld hiervan is het hierboven gegeven voorbeeld van de ellips.

Grafiek

De grafiek van een functie kan wiskundig gezien opgevat worden als een parametervergelijking met x =t. Door dit te stellen, zal y, een functie van t zijnde, tegelijkertijd een functie van x worden. De parametervergelijking

$\, x = t$

$\, y = 2t$

met t van -6 tot 6. komt dus overeen met de functie

$\,y = 2x$

met x van -6 tot 6.

Sfeer (boloppervlak)

De algemene cartesiaanse vergelijking van een boloppervlak of sfeer met straal r en middelpunt in $\,(x_0,y_0,z_0)$ wordt gegeven door

$\, (x - x_0 )^2 + (y - y_0 )^2 + ( z - z_0 )^2 = r^2$

Door substitutie in de cartesiaanse vergelijking kan men aantonen dat volgende uitdrukking een parametervoorstelling levert voor hetzelfde boloppervlak:

$\, x = x_0 + r \sin \theta \; \cos \varphi$

$\, y = y_0 + r \sin \theta \; \sin \varphi \qquad (0 \leq \varphi \leq 2\pi \mbox{ en } 0 \leq \theta \leq \pi ) \,$

$\, z = z_0 + r \cos \theta \,$

Algemeen

Een parametervergelijking is een vectorfunctie van R^m naar Rⁿ, met m het aantal parameters en n het aantal coördinaten. In wiskundige notatie wordt dit

$\,\overrightarrow P(t_1,t_2,...,t_m)=(x_1(t_1,t_2,...,t_m),x_2(t_1,t_2,...,t_m),...,x_n(t_1,t_2,...,t_m))$

Belangrijkste gevallen

Voor een kromme in 2D, een vlakke kromme, wordt dit

$\,\overrightarrow P(t)=(x(t),y(t))$

En dus specifiek voor de grafiek van een functie van R naar R

$\,graf(f(x))=(x,f(x))$

Voor een kromme in 3D, een ruimtekromme wordt dit

$\,\overrightarrow P(t)=(x(t),y(t),z(t))$

Voor een oppervlak in 3D wordt dit

$\,\overrightarrow P(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$

En dus specifiek voor de grafiek van een functie van R² naar R

$\,graf(f(x,y))=(x,y,f(x,y))$

Zie ook

• Kromme
• Ruimtekromme
• Oppervlak
• Grafiek
• Raaklijn