Parametervergelijking

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Een parametervergelijking is een wiskundige vergelijking, waarin een aantal waarden, meestal 2 of 3 (de x-, y-, en eventuele z-waarde), afhankelijk zijn van één of meerdere parameters. Met andere woorden, meestal worden x-, y-, en z-waarden uitgedrukt als functie van de parameter(s). Als er maar één parameter is, hoort bij elke parameterwaarde één punt. Dit punt zal een kromme beschrijven als die parameter vloeiend verandert, mits het continue functies zijn. Met twee parameters verkrijgt men op analoge wijze een oppervlak.

Voorbeelden[bewerken]

Ellips[bewerken]

Constructie ellips.gif

Een voorbeeld van een parametervergelijking is de volgende:

\,
x = 3 \cos(t)
\,
y = \sin(t)

Als t vloeiend verandert, beschrijft het punt P(x,y) een vaste ellips.

Een categorie bijzondere parameterkrommen zijn de zogenaamde Lissajousfiguren, waarin het punt dat de kromme doorloopt onderhevig is aan zowel een horizontale als een verticale harmonische trilling. Een voorbeeld hiervan is het hierboven gegeven voorbeeld van de ellips.

Grafiek[bewerken]

De grafiek van een functie kan wiskundig gezien opgevat worden als een parametervergelijking met x =t. Door dit te stellen, zal y, een functie van t zijnde, tegelijkertijd een functie van x worden. De parametervergelijking

\,
x = t
\,
y = 2t

met t van -6 tot 6. komt dus overeen met de functie

\,y = 2x

met x van -6 tot 6.

Sfeer (boloppervlak)[bewerken]

parametrisering van een boloppervlak, θ en φ zijn de parameters

De algemene cartesiaanse vergelijking van een boloppervlak of sfeer met straal r en middelpunt in \,(x_0,y_0,z_0) wordt gegeven door

\, (x - x_0 )^2 + (y - y_0 )^2 + ( z - z_0 )^2 = r^2

Door substitutie in de cartesiaanse vergelijking kan men aantonen dat volgende uitdrukkingen een parametervoorstelling leveren voor hetzelfde boloppervlak:

\, x = x_0 + r \sin \theta \; \cos \varphi
\, y = y_0 + r \sin \theta \; \sin \varphi \qquad (0 \leq \varphi \leq 2\pi \mbox{ en } 0 \leq \theta \leq \pi ) \,
\, z = z_0 + r \cos \theta \,


Algemeen[bewerken]

Een parametervergelijking is een vectorfunctie van Rm naar Rn, met m het aantal parameters en n het aantal coördinaten. In wiskundige notatie wordt dit

\,\overrightarrow P(t_1,t_2,...,t_m)=(x_1(t_1,t_2,...,t_m),x_2(t_1,t_2,...,t_m),...,x_n(t_1,t_2,...,t_m))

Belangrijkste gevallen[bewerken]

Voor een kromme in 2D, een vlakke kromme, wordt dit

\,\overrightarrow P(t)=(x(t),y(t))

En dus specifiek voor de grafiek van een functie van R naar R

\,\overrightarrow P(t)=(t,f(t))

Voor een kromme in 3D, een ruimtekromme wordt dit

\,\overrightarrow P(t)=(x(t),y(t),z(t))

Voor een oppervlak in 3D wordt dit

\,\overrightarrow P(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))

En dus specifiek voor de grafiek van een functie van R2 naar R

\,\overrightarrow P(u,v)=(u,v,f(u,v))

Zie ook[bewerken]