Wortelformule

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie

Ga naar: navigatie, zoeken

Met behulp van de wortelformule of abc-formule kunnen de oplossingen van een kwadratische, of vierkantsvergelijking worden gevonden. De oplossingen worden ook de wortels of nulpunten van de betrokken veelterm genoemd.

Bij een gegeven vierkantsvergelijking:

ax^2 + bx + c = 0, a,b,c \in \mathbb{R}, a \ne 0,

zijn er drie gevallen te onderscheiden, namelijk:

  1. b2 - 4ac > 0 met twee oplossingen
  2. b2 - 4ac = 0 met een oplossing (anders gezegd: twee dezelfde)
  3. b2 - 4ac < 0 met geen (reële) oplossing

Vaak wordt b2 - 4ac aangeduid met de term discriminant, afgekort als D. Als de discriminant kleiner is dan 0, zijn er geen reële wortels.

In het eerste geval heeft de vergelijking twee verschillende reële oplossingen, in het tweede geval heeft de vergelijking twee samenvallende reële oplossingen en in het derde geval geen reële oplossingen (wel complexe).

Voor de grafiek van de bij de formule behorende parabool betekent dit:

  1. D > 0: de parabool heeft twee snijpunten met de x-as
  2. D = 0: de top van de parabool ligt op de x-as
  3. D < 0: de parabool ligt in zijn geheel boven (dalparabool) of onder (bergparabool) de x-as

In geval 1 zijn de oplossingen te vinden met de formule:

x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a},

die wortelformule of abc-formule wordt genoemd.

In geval 2 (D=0) levert de wortelformule de enige oplossing

x = \frac{-b}{2a}.

In geval 3 is er geen reële wortel. Binnen de complexe getallen zijn er wel twee wortels die met de wortelformule bepaald kunnen worden.

Inhoud

[bewerken] Afleiding van de wortelformule

Om de vergelijking op te lossen splitsen we een kwadraat af. Dat gaat het gemakkelijkst als de term met x2 als een eenvoudig kwadraat geschreven wordt en de term met het "dubbele product", dus met x, ook inderdaad een factor 2 heeft. Daarom herschrijven we:

\begin{matrix} ax^2 + bx + c = 0 \\ 4a^2x^2 + 4abx + 4ac = 0 \\ 4a^2x^2 + 4abx + b^2 = b^2 - 4ac \\ (2ax + b)^2 = b^2 - 4ac \\ 2ax + b = \pm \sqrt{b^2 - 4ac} \\ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\end{matrix}


[bewerken] Complexe oplossingen

Als de discriminant negatief is, zijn er geen reële oplossingen. In dat geval zijn er, indien gewerkt wordt binnen de complexe getallen, wel zogenaamde 'complexe' oplossingen. Deze zijn te schrijven als

x_{1,2} = \frac{-b \pm i\sqrt{4ac - b^2}}{2a}

De twee complexe oplossingen zijn elkaars complex geconjugeerde.

[bewerken] Alternatieve vorm

Een alternatieve vorm voor het schrijven van de oplossing is

x_{1,2} = \frac{2c}{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}.

Deze alternatieve vorm geeft, in het geval dat b2 veel groter is dan 4ac, op een rekenmachine of computer accuratere numerieke benaderingen dan de gewone vorm.

[bewerken] Externe links

  • Abc formule Abc formule op je Ti-84/Ti-83, ook online oplosser
 
Persoonlijke instellingen
Boek maken