Wortelformule

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Met behulp van de wortelformule of abc-formule kunnen de oplossingen van een kwadratische of vierkantsvergelijking worden gevonden. De oplossingen worden ook de wortels van de vergelijking genoemd. Het zijn de nulpunten van de betrokken tweedegraadsveelterm.

Gebruik[bewerken]

Bij een gegeven vierkantsvergelijking:

ax^2 + bx + c = 0, a,b,c \in \mathbb{R}, a \ne 0,

met de discriminant

D=b^2 -4a c,

zijn er drie gevallen te onderscheiden, namelijk:

  1. D > 0: de vergelijking heeft twee verschillende reële oplossingen
  2. D = 0: de vergelijking heeft één reële oplossing (anders gezegd: twee samenvallende)
  3. D < 0: de vergelijking heeft geen reële oplossing

De oplossingen worden gegeven door de wortelformule:


x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.

In geval 2 (D=0) vallen de oplossingen samen tot de enige oplossing

x = \frac{-b}{2a}.

In geval 3 is er geen reële wortel. Binnen de complexe getallen zijn er wel twee wortels die met de wortelformule bepaald kunnen worden.

Afleiding van de wortelformule[bewerken]

Om de vergelijking op te lossen splitsen we een kwadraat af. Dat gaat het gemakkelijkst als de term met x2 als een eenvoudig kwadraat geschreven wordt en de term met het "dubbele product", dus met x, ook inderdaad een factor 2 heeft. Daarom herschrijven we:

\begin{array}{rcl}
  ax^2+bx +c & = & 0\\
  ax^2+bx & = & -c\\
  x^2+\dfrac{b}{a}x & = & -\dfrac{c}{a}\\
  x^2+2\dfrac{b}{2a}x & = & -\dfrac{c}{a}\\
  x^2+2\dfrac{b}{2a}x + \left(\dfrac{b}{2a}\right)^2 & = & \left(\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{c}{a} \\
  \left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2 & = & \dfrac{b^2-4ac}{4a^2} \\
  x+\dfrac{b}{2a} & = & \pm\sqrt{\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}} \\
  x_{1,2} & = & -\dfrac{b}{2a} \pm\dfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\
  x_{1,2} & = & \dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
\end{array}

Complexe oplossingen[bewerken]

Als de discriminant negatief is, zijn er geen reële oplossingen. Met complexe getallen worden de twee uitkomsten, die er toch zijn, geschreven als


x_{1,2} = \frac{-b \pm i\sqrt{4ac - b^2}}{2a}

Deze twee complexe oplossingen zijn elkaars complex geconjugeerde.

Alternatieve vorm[bewerken]

Een alternatieve vorm voor het schrijven van de oplossing is


x_{1,2} = \frac{2c}{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}.

Deze alternatieve vorm geeft, in het geval dat b2 veel groter is dan 4ac, op een rekenmachine of computer accuratere numerieke benaderingen dan de gewone vorm.

Aanverwante relaties[bewerken]