Lineaire vergelijking

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Grafische afbeelding van twee lineaire vergelijkingen, elk in twee variabelen.

Een lineaire vergelijking is een algebraïsche vergelijking, waarin elke term of een constante of het product van een constante en de (eerste macht) van een enkele variabele is. Lineaire vergelijkingen kunnen bestaan uit één, twee, drie of meer variabelen. Zij komen met grote regelmaat voor in de toegepaste wiskunde. Bij het modelleren van vele verschijnselen, zijn lineaire vergelijkingen zeer nuttig, aangezien veel niet-lineaire vergelijkingen kunnen worden gereduceerd tot lineaire vergelijkingen door aan te nemen dat de belangwekkende oplossingen slechts in beperkte mate variëren ten opzichte van een bepaalde algemene evenwichtstoestand.

Lineaire vergelijking in één variabele[bewerken]

Een lineaire vergelijking in een variabele x schrijft men als

\, ax+b=0

De oplossing van deze vergelijking is als volgt

\, x=\frac{-b}{a}, waar a \ne 0

Lineaire vergelijkingen in twee variabelen[bewerken]

Een gebruikelijke vorm van een lineaire vergelijking in twee variabelen x en y is

y = mx + b \,,

waar m en b constanten aanduiden (de variabele y wordt hier vermenigvuldigd met de impliciete constante 1). Elke oplossing (x,y) van een lineaire vergelijking kan opgevat worden als een stel coördinaten van een punt in een vlak voorzien van een cartesisch coördinatenstelsel. Met de oplossingsverzameling van de lineaire vergelijking correspondeert dan een rechte lijn in dat vlak (hier komt de naam "lineair" vandaan). In deze specifieke vergelijking bepaalt de constante m de helling of gradiënt van deze lijn; en de constante term b bepaalt het punt waar de lijn de y-as snijdt.

Aangezien de termen in lineaire vergelijkingen per definitie geen producten, machten (behalve de macht 1) of andere functies van verschillende of dezelfde variabelen kunnen bevatten, zijn vergelijkingen met termen als xy, x², y1/3, and sin(x) niet lineair.

Lineaire vergelijkingen in meer dan twee variabelen[bewerken]

Nuvola single chevron right.svg Zie Stelsel van lineaire vergelijkingen voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Een lineaire vergelijking kan betrekking hebben op meer dan twee variabelen. De algemene lineare vergelijking in n variabelen luidt:

a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots + a_n x_n = b.

In deze vorm zijn, a1, a2, …, an de coëfficiënten en zijn, x1, x2, …, xn de variabelen en is b de constante. Wanneer we te maken hebben drie of minder variabelen is het gebruikelijk om x1 te vervangen door alleen x, x2 door y, en x3 door z. Zo'n vergelijking zal een (n–1)-dimensionaal hypervlak in de n-dimensionale Euclidische ruimte weergeven (bijvoorbeeld een vlak in de 3-ruimte).

Zie ook[bewerken]