Wortel (wiskunde)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Een wortel van een wiskundige vergelijking is een waarde voor de onbekende zodat de vergelijking een gelijkheid wordt. Een andere veelgebruikte term hiervoor is oplossing. Het woord wortel wordt ook gebruikt voor een vierkantswortel.

Volgens de hoofdstelling van de algebra heeft een algebraïsche vergelijking van de n-de graad n wortels in de complexe getallen. Zo heeft de vergelijking x2 − 25 = 0 de wortels +5 en −5. Wel kunnen sommige van die n wortels meervoudig zijn. Zo lijkt de vergelijking x3+x2 − x − 1 = 0 slechts de wortels +1 en −1 te hebben, maar de vergelijking kan geschreven worden als (x+1)(x+1)(x−1) = 0, waaruit blijkt dat de wortel −1 gezien kan worden als twee wortels met dezelfde waarde.

De wortels van de vergelijking z4 + 16 = 0 zijn (1+i)√2, (−1+i)√2, −(1+i)√2 en (1−i)√2.

Alle wortels van een tweedegraadsvergelijking kunnen worden bepaald met de wortelformule.

Zie ook nulpunt.

Wortel uit een getal[bewerken]

de wortelknop op een rekenmachine

De wortel (volledige naam: positieve vierkantswortel) uit een positief getal a is het positieve getal waarvan het kwadraat gelijk is aan het getal a. Het symbool hiervoor is √. Het proces om een wortel te berekenen heet worteltrekken. Worteltrekken is een rekenkundige bewerking van de derde orde. Als w een positieve vierkanswortel is uit een getal a dan is het kwadraat van (-w) ook a. Daarom heet (-w) de negatieve vierkantswortel uit a. 0 is de enige (vierkants)wortel uit 0.

Als generalisatie is er ook het begrip ne-machtswortel uit een getal. Een ne-machtswortel uit een getal a is een getal w zodat wn = a.

Als n even is spreekt men van een evenmachtswortel, is n oneven dan spreekt men van een onevenmachtswortel. Positieve reële getallen hebben twee tegengestelde evenmachtswortels en juist één positieve onevenmachtswortel . Negatieve reële getallen hebben geen (reële) evenmachtswortel en juist één onevenmachtswortel welke negatief is. Men kan ook volgende notatie gebruiken voor de positieve ne-machtswortel van een positief getal a of voor de onevenmachtswortel van een negatief getal a :

\sqrt[n]{a}.

Dan is

\sqrt[n]{a} = w \Leftrightarrow  w^n = a .

Voorbeelden[bewerken]

De positieve tweedemachts- of vierkantswortel van 25 is 5, want 5 > 0 en 52 = 25, dit wordt genoteerd als \sqrt{25}=5.

De negatieve tweedemachts- of vierkantswortel van 25 is -5, want -5 < 0 en (-5)2 = 25, dit wordt genoteerd als  -\sqrt{25}=-5 .

De positieve 4e-machtswortel van 16 is 2, want 2 > 0 en 24 = 16. Dit wordt genoteerd als \sqrt[4]{16}=2.

De 3e-machtswortel van -8 is -2, want (-2)3 = -8. Dit wordt genoteerd als \sqrt[3]{-8}=-2.

Breuken als exponent[bewerken]

Wortelvormen kunnen genoteerd worden door middel van gebroken exponenten op voorwaarde dat het grondtal a positief is.

\sqrt{a}=a^\frac 12

en algemener:

\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}

Dan geldt:

a^{\frac{m}{n}}a^{\frac{p}{q}} = a^{\frac{m}{n} + \frac{p}{q} }
\frac{a^{\frac{m}{n}} }{ a^{\frac{p}{q}} }= a^{\frac{m}{n} - \frac{p}{q} }
(a^{\frac{m}{n}})^{\frac{p}{q}} = a^{\frac{m p}{n q}}

Eigenschap[bewerken]

Voor alle ne-machtswortels geldt:

\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}

Immers:

\left(\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}\right)^n = \left(\sqrt[n]{a}\right)^n \left(\sqrt[n]{b}\right)^n = a b

Wortelvrij maken van de noemer van een breuk[bewerken]

Om wortelvormen weg te werken uit de noemer van een breuk, kunnen volgende formules nuttig zijn.

\,\sqrt{ \frac ab} = \frac {\sqrt{ab}}{|b|}
\,\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \frac {\sqrt{ab}}{b}
\,\frac{a}{\sqrt{b}-\sqrt{c}} = \frac {a (\sqrt{b}+\sqrt{c})}{b-c}
\,\frac{a}{\sqrt{b}+\sqrt{c}} = \frac {a (\sqrt{b}-\sqrt{c})}{b-c}
\,\frac{a}{\sqrt[3]{b}-\sqrt[3]{c}} = \frac {a (\sqrt[3]{b^2}+\sqrt[3]{bc}+\sqrt[3]{c^2})}{b-c}
\,\frac{a}{\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}} = \frac {a (\sqrt[3]{b^2}-\sqrt[3]{bc}+\sqrt[3]{c^2})}{b+c}

Complexe wortels[bewerken]

Met behulp van de opvatting van worteltrekken als machtsverheffen kunnen ook wortels uit complexe getallen gedefinieerd worden.

Algemeen geldt voor twee complexe getallen z en w:

\,z^w = e^{w\log(z)}

Daarmee laat zich de ne-machtswortel van z definiëren door:

\,\sqrt[n]{z} = e^{\frac 1n \log(z)}.

De wortel is op deze wijze dubbelzinnig bepaald. Er zijn in het algemeen n ne-machtswortels van de vorm:

e^{\frac{\log(a)+ 2 \pi i k}{n}} voor k=1, ...,n.

Neemt men echter de hoofdwaarde van de logaritme, dan is de wortel niet dubbelzinnig bepaald.

Voor de zo eenduidig bepaalde complexe wortels geldt niet meer algemeen de eigenschap:

\sqrt[n]{z_1}\sqrt[n]{z_2} = \sqrt[n]{z_1z_2}

Het volgende tegenvoorbeeld laat dit zien:

\sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} = i \cdot i = -1 ,

terwijl

\sqrt{-1 \cdot -1} = \sqrt {1} = 1

In het algemeen geldt voor complexe getallen a en b en de met de hoofdwaarde bepaalde wortel:

\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = e^{\frac 12 \log(a)}e^{\frac 12 \log(b)}=e^{\frac 12(\log(a)+\log(b))}.

Anderzijds is:

 \sqrt{ab}=e^{\frac 12 \log(a b)} .

Hierin stelt log de hoofdwaarde van de logaritme voor. Omdat niet noodzakelijk geldt dat log(a) + log(b) = log(ab), is de genoemde eigenschap niet geldig voor willekeurige complexe getallen.

Op analoge wijze kunnen ook wortels uit een quaternion q gedefinieerd worden. De verzameling van de ne-machtswortels van q is:

\left \{e^{\frac{\ln(q)+ 2 \pi l k}{n}} \right\}

waarbij k een willekeurig geheel getal voorstelt en l een willekeurige wortel van −1 is, zodanig dat l^2=-1. Er hoeft dus niet langer te gelden dat l = i = \sqrt{-1}. Meer bepaald geldt nu:  l = \frac{a - \Re(a)}{|a - \Re(a)|}.

Verband tussen wortels en nulpunten[bewerken]

Met een nulpunt van een functie f bedoelt men een wortel van de vergelijking f(x) = 0.

Herkomst √-teken[bewerken]

Leonhard Euler dacht dat het teken ontstaan was uit de r van radix (wortel). Later wees Duits onderzoek uit dat het wortelteken in Duitse handschriften rond 1500 is afgeleid uit een punt met een haal omhoog.[1] Het teken verscheen het eerst in druk voor een vierkantswortel in 1525 in Die Coss van de Duitse wiskundige Christoph Rudolff, waar ook de tekens '+' en '−' in druk opdoken.[2]

Zie ook[bewerken]

Bronnen, noten en/of referenties
  1. (en) Cajori, Florian, A History of mathematical notations, Dover, New York, 1993 p. 367 op Google books
  2. Manguel, Alberto, The Life of Numbers, Hoofdstuk Done on paper: the dual nature of numbers and the page, 2006, ISBN 8486882141