Som-product-methode

De som-product-methode of product-som-methode is een eenvoudige methode voor het ontbinden in factoren van een tweedegraads polynoom. Het is een snelle manier om de nulpunten van het polynoom te bepalen. Het is mede daarom dat deze methode samen met de merkwaardige producten aan het begin van de middelbare school bij wiskunde wordt onderwezen.

Principe

Ieder tweedegraadse polynoom $f$ in de variabele $x$ is te schrijven als

$f(x)=ax^{2}+bx+c$

De basisvariant van de som-product-methode gaat ervan uit dat $a=1$, zodat

$f(x)=x^{2}+bx+c$

De ontbinding van $f$ in lineaire factoren ziet eruit als

$f(x)=(x+w_{1})(x+w_{2})$

Gelijkstellen van deze twee vormen levert:

$x^{2}+bx+c=(x+w_{1})(x+w_{2})=x^{2}+(w_{1}+w_{2})x+w_{1}w_{2}$

De som-product-methode berust op het bepalen van $w_{1}$ en $w_{2}$ door het gelijkstellen van de coëfficiënten:

$w_{1}+w_{2}=b$

en

$w_{1}w_{2}=c$

Voor gehele $w_{1}$ en $w_{2}$ zijn deze in het algemeen met hoofdrekenen te achterhalen.

De methode kan bijvoorbeeld worden gebruikt om de nulpunten van het polynoom

$f(x)=x^{2}+bx+c$

te bepalen. Deze nulpunten zijn $-w_{1}$ en $-w_{2}$.

Voorbeeld

Voor het ontbinden van het polynoom

$f(x)=x^{2}+2x-15$

zoekt men twee getallen met som 2 en product –15. Getallen die hieraan voldoen zijn 5 en –3. Dus is

$x^{2}+2x-15=(x+5)(x-3)$

De nulpunten van $f$ zijn daarom $x=-5$ en $x=3$.

Uitbreiding

De som-product-methode kan worden aangepast voor het geval dat $a$ ongelijk is aan 1. Hiertoe herschrijft men de vergelijking:

$ax^{2}+bx+c=0$

tot

$a(ax^{2}+bx+c)=a^{2}x^{2}+abx+ac=(ax)^{2}+b(ax)+ac=0$

Gezocht worden twee getallen $w_{1}=ax_{1}$ en $w_{2}=ax_{2}$, waarvoor geldt:

$w_{1}+w_{2}=b$

en

$w_{1}w_{2}=ac$

Voorbeeld

Voor het oplossen van

$2x^{2}+7x+6=0$

herschrijven we de vergelijking als

$4x^{2}+14x+12=0$

We zoeken getallen $w_{1}$ en $w_{2}$, met

$w_{1}+w_{2}=7$

en

$w_{1}w_{2}=12$

De getallen 3 en 4 voldoen hieraan, dus is

$0=4x^{2}+14x+12=(2x+3)(2x+4)$

met als oplossingen:

$x_{1}=-{\tfrac {3}{2}}\$ en $\ x_{2}=-2$

Ingewikkeldere gevallen

Niet altijd kunnen de nulpunten van een tweedegraads polynoom gemakkelijk met de som-product-methode worden gevonden. Men gebruikt in dergelijke gevallen de abc-formule om de nulpunten te vinden.