Archimedes

Schilderij van Archimedes door Domenico Fetti, 1620, Gemäldegalerie Alte Meister, Dresden. Er zijn geen contemporaine afbeeldingen of beelden van Archimedes bekend

Archimedes van Syracuse (Grieks: Ἀρχιμήδης ) (Syracuse, 287 v.Chr. – aldaar, 212 v.Chr.) was een Oud-Griekse wiskundige, natuurkundige, ingenieur, uitvinder en sterrenkundige.

Archimedes wordt algemeen beschouwd als de grootste wiskundige van de oudheid en een van de grootste wiskundigen aller tijden Hij introduceerde de uitputtingsmethode voor het berekenen van de oppervlakte onder de boog van een parabool door sommatie van een oneindige reeks. Ook gaf hij een opmerkelijk nauwkeurige benadering van pi. Hij definieerde ook de spiraal, die zijn naam draagt​​, formules voor de inhoud van rotatievlakken om een as en een ingenieus systeem voor het uitdrukken van zeer grote aantallen.

Inleiding

Hoewel er weinig details over zijn leven bekend zijn, wordt hij beschouwd als een van de belangrijkste wetenschappers uit de klassieke oudheid. Tot zijn bijdragen aan de natuurkunde behoren de grondslagen van de hydrostatica, de statica en de verklaring voor het beginsel van de hefboom. Aan hem wordt het ontwerp van een aantal innovatieve machines toegeschreven. Voorbeelden daarvan zijn belegeringswapens en de naar hem genoemde schroef van Archimedes. Er zijn moderne experimenten uitgevoerd om de oorlogsmachines die aan Archimedes worden toegeschreven te toetsen, zoals om aanvallende schepen uit het water te tillen en om schepen in brand te steken met spiegels. De spiegelmethode blijkt een mythe te zijn.

Hij wordt algemeen gezien als de grootste wiskundige uit de Hellenistische oudheid en als een van de grootste wiskundigen aller tijden. Hij gebruikte de uitputtingsmethode (exhaustiemethode) om de oppervlakte onder de boog van een parabool met de sommatie van oneindige rijen te berekenen en gaf een opmerkelijk nauwkeurige benadering van pi. Hij definieerde ook de naar hem genoemde Archimedes-spiraal, formules voor volumes van roterende oppervlakken en een ingenieus systeem voor het uitdrukken van zeer grote getallen.

Archimedes werd aan het eind van het Beleg van Syracuse gedood door een Romeinse soldaat, hoewel er bevelen waren uitgegaan hem ongedeerd gevangen te nemen. Cicero beschrijft een bezoek aan de graftombe van Archimedes, dat hij bijna tweehonderd jaar later aflegde. Op de graftombe stond een bol, ingeschreven in een cilinder. Archimedes had bewezen dat de inhoud van de bol twee derde van het volume en het oppervlak van de cilinder (met inbegrip van de grondvlakken van de cilinder) bedroeg en beschouwde dit bewijs als zijn grootste wiskundige prestatie.

In de klassieke oudheid waren zijn wiskundige geschriften, anders dan zijn uitvindingen, slechts weinig bekend. Hij werd weliswaar gelezen en geciteerd door wiskundigen uit Alexandrië, maar de eerste uitgebreide compilatie door Isidorus van Milete, een van de bouwers van de Hagia Sophia, verscheen pas in 530 n.Chr, in de vroeg-Byzantijnse periode, toen het Grieks het Latijn in het Oost-Romeinse rijk aan het verdringen was. De commentaren door Eutocius van Ascalon in de zesde eeuw na Christus brachten de werken van Archimedes voor de eerste keer onder de aandacht van een breder publiek. De relatief weinige kopieën en fragmenten van Archimedes’ werken die de Middeleeuwen overleefden waren tijdens de Renaissance een invloedrijke bron voor geleerden.

Persoonlijke biografie

Jeugd en afkomst

Archimedes werd rond ca. 287 v.Chr. geboren in de Siliciaanse havenstad Syracuse. Syracuse was op dat moment een zelfbesturende kolonie, die deel uitmaakte van Magna Graecia. Zijn geboortedatum is gebaseerd op een bewering van de Byzantijnse historicus Johannes Tzetzes, dat Archimedes 75 jaar oud werd. In De zandrekenaar geeft Archimedes de naam van zijn vader als Phidias, een astronoom over wie verder niets bekend is. Plutarchus schreef in zijn Parallelle Levens dat Archimedes gerelateerd was aan Koning Hiëro II, de heerser van Syracuse

Studie in Alexandrië

Zoals vele anderen in zijn tijd die kennis zochten werd hij aangetrokken door de roem van de wetenschappers in Alexandrië. Dit was de kosmopolitische hoofdstad van Egypte en tevens de voornaamste hellenistische 'universiteitsstad' met zijn befaamde bibliotheek. Archimedes ging er onder andere wiskunde studeren bij de leerlingen van Euclides zoals Conon van Samos en Eratosthenes van Cyrene. Waarschijnlijk heeft hij hier het principe van zijn waterschroef ontdekt of, als het al bestond, verder geperfectioneerd. Deze wordt nog steeds in Egypte gebruikt om de akkers te bevloeien.

Onderzoek in Syracuse

Archimedes heeft mogelijk zijn Wet gebruikt om vast te stellen of de dichtheid van de gouden kroon van Hiëro II minder was dan zuiver goud en dus andere stoffen bevatte.

Methode om een schip met spiegels in brand te steken, vaak ten onrechte toegeschreven aan Archimedes.

Voor de meeste tijdgenoten was Archimedes echter voornamelijk de uitvinder van allerhande oorlogsmachines, apparaten, hijskranen en katrollen. Na zijn studie keerde hij naar Syracuse terug en legde zich toe op alle onderdelen van de wiskunde en de fysica, van de zuivere wiskunde tot de praktische mechanica. Volgens de overlevering is Archimedes de rest van zijn leven nooit meer naar Alexandrië gereisd maar hij onderhield wel een levendige schriftelijke correspondentie met de geleerden en filosofen die er werkten. De resultaten van zijn onderzoeken beschreef Archimedes in een reeks monografieën, die opvallen door helderheid en oorspronkelijkheid. Tien van deze monografieën zijn bewaard gebleven.

Eureka!

De ontdekking van de naar hem genoemde wet van Archimedes (zie boven) stelde hem in staat te bewijzen dat een gouden kroon van Hiëro II door de edelsmid was vervalst door toevoeging van zilver. Een anekdote vertelt dat hij, toen hij het theoretische bewijs had gevonden toen hij in bad zat, enthousiast uit bad sprong en naakt de straat op liep en schreeuwde: "Eureka, eureka!" (Grieks: "εύρηκα!" = "Ik heb (het) gevonden!")

Wapengeleerde

In de Eerste Punische Oorlog koos Syracuse de zijde van de Romeinen. Toen echter Hieron II stierf koos zijn opvolger bij de Tweede Punische Oorlog, toen de Romeinen aanvankelijk aan de verliezende hand schenen te zijn, de zijde van Carthago, waarop Syracuse prompt door de Romeinen werd belegerd. Archimedes vervaardigde verschillende oorlogsmachines om de belegeraars buiten de deur te houden en wist zo een hele tijd de stad onneembaar te houden maar ten slotte werd de stad in 212 v.Chr. toch ingenomen.

Dood

Bij de inname van Syracuse werd hij door een Romeinse soldaat gedood. Een anekdote opgetekend door Livius en later Plutarchus vertelt dat Archimedes een wiskundig cirkeldiagram in het zand of op de vloer had getekend en hierover aan het denken was. De soldaat kwam binnen en liep over de tekening. Archimedes riep:

Verstoor mijn cirkels niet!

Hierop doodde de soldaat de toen hoogbejaarde Archimedes met zijn zwaard. Dit werd overigens betreurd door de Romeinse bevelvoerder Marcus Marcellus die een groot bewonderaar was van de bij zijn leven al beroemde Griekse geleerde. Marcellus had opdracht gegeven Archimedes levend gevangen te nemen om hem mee te nemen naar Rome. In plaats van Archimedes naar Rome te sturen werden nu alleen zijn geschriften en de in zijn opdracht vervaardigde natuurkundige modellen verzameld – waaronder het oudste bekende planetarium – en naar Rome gestuurd. Volgens verscheidene berichten van kroniekschrijvers waren deze daar nog lang te bezichtigen.

Graf

Archimedes’ lichaam werd begraven op de grote begraafplaats van Syracuse en nog eeuwen later werd zijn graf aan toeristen getoond. Zo is een verslag bekend van Cicero die op zoek was naar het graf toen hij Quaestor van Sicilië was. Op het graf stond een bol in een cilinder. Volgens Archimedes was zijn belangrijkste ontdekking de verhouding tussen het volume van de bol en de cilinder.

Ongepubliceerde ontdekkingen

Na Archimedes’ dood bleek overigens dat hij vaak had nagelaten de principes van zijn uitvindingen in geschriften vast te leggen. Dit geeft aan dat Archimedes meer geïnteresseerd was in ontdekkingen doen dan in eigen roem. Hij beschouwde zijn werk waarschijnlijk alleen als een aangenaam tijdverdrijf of als 'hobby', vooral zijn praktische werkzaamheden. In de Oudheid stond namelijk het praktische handwerk van de ambachtsman of 'ingenieur' of 'technicus' in laag aanzien en een 'heer van stand' hield zich daar verre van.

Wetenschappelijke biografie

Wiskunde

• Een goede benadering van π (pi) (223/71 < π < 22/7, » 3,1415).
• Bepaling van oppervlakten en volumes van diverse meetkundige figuren, zoals bol en cilinder (zie bespreking bij Geschriften). Hiervoor gebruikte hij de uitputtingstechniek, een voorloper van de integraalrekening. Deze techniek zou uitgevonden zijn door Eudoxus van Cnidus, maar Archimedes behaalde de beste resultaten.
• Axioma van Archimedes:
  • Als a < b, dan bestaat er een natuurlijk getal n zodat a*n > b
• Het zandgetal, een methode om zeer grote getallen te noteren, tevoren onmogelijk. Hiermee schatte hij de grootte van het heelal op 10⁶³ zandkorrels.
• Tweelingcirkels van Archimedes
• de Archimedische cirkel
• de Archimedes-spiraal
• het getal van de ossen

Natuurkunde

Archimedes zou gezegd hebben met betrekking tot de hefboom: Geef me een plaats om te staan en ik breng de aarde in beweging.

• De verklaring voor de werking van de hefboom: arm x gewicht = constant aan beide zijden van het draaipunt. Een beroemd citaat van Archimedes luidt:

Geef mij een plaats om te staan en ik beweeg de aarde (δος μοι που στω και κινω την γην, dos moi pou sto kai kino tèn gèn).

• Wet van Archimedes:
  • Een geheel of gedeeltelijk in een vloeistof gedompeld lichaam ondervindt een opwaartse kracht die gelijk is aan het gewicht van de verplaatste vloeistof.

Techniek

• De schroef van Archimedes is een uitvinding waarmee vloeistoffen, slurries of poeders kunnen worden getransporteerd. In een buis is een spiraalvormige schroef vast aan de buis gemonteerd. Zowel de buis als de schroef draaien dus rond. De verplaatsing is het gevolg van de draaiende beweging van de spiraalvormige schroef binnenin de buis. Het transport gebeurt meestal opwaarts, maar ook toepassingen voor horizontaal transport bestaan.
• Zonnespiegel: een methode om met spiegels schepen op afstand in brand te steken. Sinds René Descartes wordt de praktische mogelijkheid hiervan soms betwijfeld, soms bevestigd. Het schijnt een mythe te zijn uit de Byzantijnse tijd.
• De verbetering van de katapult, belegeringsgeschut, met name op het gebied van kracht en nauwkeurigheid.
• De klauw van Archimedes, een soort hijskraan als wapen tegen schepen. De schepen werden hierbij deels uit het water getild, waardoor ze kapseisden.
• Bouw van een schip van 130 meter, dat Archimedes eigenhandig te water zou hebben gelaten via een systeem van tandraderen en katrollen.
• Mogelijk is het Mechanisme van Antikythera ook van zijn hand, maar hieraan wordt getwijfeld.

Geschriften

Animatie van de schroef van Archimedes

• Het evenwicht van vlakken (twee delen)

• Over het meten van een cirkel

Dit is een kort werk, dat uit drie proposities bestaat. Het is in de vorm van een briefwisseling met Dositheus van Pelusium geschreven. Dositheus was een leerling van Conon van Samos. In de tweede proposition laat Archimedes zien dat de waarde van π (pi) groter is dan 223/71 en kleiner is dan 22/7. De laatste fractie werd gedurende de Middeleeuwen als een benadering van π gebruikt en wordt ook vandaag de dag nog gebruikt wanneer er slechts een ruwe schatting is vereist.

• Over spiralen

Dit werk van 28 proposities is eveneens aan Dositheus gericht. De verhandeling definieert wat nu de Archimedes-spiraal wordt genoemd. Het is de meetkundige plaats van punten die overeenkomen met de positie in de tijd van een punt dat zich met een constante snelheid van een vast punt af beweegt langs een lijn die met een constante hoeksnelheid roteert. Op gelijkwaardige wijze kan dit in poolcoördinaten (r, θ) worden uitgedrukt door de vergelijking

$\, r=a+b\theta$

waar a en b reële getallen zijn. Dit is een vroeg voorbeeld van een door een Griekse wiskundige beschouwde mechanische kromme (een kromme die wordt afgelegd door een bewegend punt).

• Bol en cilinder (twee delen)

In deze verhandeling, die Archimedes opdroeg aan ene Dositheus, behaalde hij het bewijs waar hij het trotst op was, namelijk de verhouding tussen bol en omgeschreven cilinder met dezelfde hoogte en diameter. De inhoud van de bol is 4/3 π r³, die van de cilinder is 2π r³ (moderne notatie). Het boloppervlak is 4π r² en het cilinderoppervlak is 6π r². Archimedes bewees dat de bol twee derde van de inhoud en twee derde van het oppervlak van de cilinder vertegenwoordigt. Op zijn verzoek toonde zijn graftombe het bewijs in reliëf.

• Over conoïden en spheroïden

Dit is een werk in 32 stellingen gericht aan Dositheus. In deze verhandeling berekent Archimedes de oppervlakten en volumina van doorsnedes van kegelsnedes, sferen en parabolen.

• Over drijvende lichamen (2 delen)

In het eerste deel van deze verhandeling legt Archimedes de evenwichtswet van vloeistoffen uit. Hij bewijst dat water een sferische vorm aanneemt rond een zwaartepunt. Dit is mogelijk een poging om de theorie van Griekse astronomen, zoals Eratosthenes, dat de aarde rond is, uit te leggen. De door Archimedes beschreven vloeistoffen oefenen geen zwaartekracht op elkaar uit, aangezien hij het bestaan van een punt veronderstelt waar alle dingen naar toe vallen om zo de bolvorm van de vloeistof af te leiden.

In het tweede deel berekent hij de evenwichtsposities van doorsnedes van paraboloïden. Dit was waarschijnlijk een idealisering van de vorm van een scheepsromp. Sommige van zijn doorsnedes drijven met de kiel onder water en de top boven water, vergelijkbaar met de manier, waarop ijsbergen drijven. Archimedes’ principe van drijfvermogen (wet van Archimedes) wordt in dit werk als volgt beschreven:

Elk lichaam dat geheel of gedeeltelijk is ondergedompeld in een vloeistof ervaart een opwaartse kracht die gelijk is aan, maar tegengesteld, aan het gewicht van de verplaatste vloeistof.

• De kwadratuur van de parabool

In dit werk van 24 stellingen gericht aan Dositheus, bewijst Archimedes met behulp van twee methodes dat het oppervlak van het gebied dat omsloten wordt door een parabool en een rechte lijn gelijk is aan 4/3 vermenigvuldigd met de oppervlakte van een driehoek met gelijke basis en hoogte. Archimedes slaagt hierin door de waarde van de meetkundige reeks te berekenen.

$\sum_{n=0}^\infty 4^{-n} = 1 + 4^{-1} + 4^{-2} + 4^{-3} + \cdots = {4\over 3}. \;$

• Stomachion (Griekse puzzel)
  

  

  Stomachion is een puzzel uit het Palimpsest van Archimedes.

• Het rundvee-probleem van Archimedes

Dit werk werd in 1773 in de Hertog August bibliotheek in Wolfenbüttel ontdekt door Gotthold Ephraim Lessing in een Grieks manuscript dat uit een gedicht van 44 regels bestond. Het werk is gericht aan Eratosthenes en de wiskundigen in Alexandrië. Archimedes daagde hen uit om het aantal runderen in de "kudde van de zonnegod" te tellen door een aantal simultane Diophantische vergelijkingen op te lossen. Er bestaat een moeilijkere versie van het probleem, waar men van sommige antwoorden op deze vraag vereist dat ze kwadraten zijn. Deze versie van het probleem werd in 1880 het eerst opgelost door A. Amthor. Het antwoord is een zeer groot getal, bij benadering 7,760271 x 10²⁰⁶⁵⁴⁴.

• De zandrekenaar

In deze verhandeling probeert Archimedes het aantal zandkorrels te tellen dat binnen het universum past. Dit boek gaat uit van de heliocentrische theorie van het zonnestelsel, zoals deze door Aristarchus van Samos werd voorgesteld, als ook van contemporaine ideeën over de grootte van de Aarde en de afstand tussen de verschillende hemellichamen. Door gebruik te maken van een getallensysteem dat gebaseerd is op machten van de myriade, komt Archimedes tot de conclusie dat het aantal zandkorrels nodig om het heelal te vullen gelijk is aan 8 x 10⁶³ in moderne getalnotatie. De inleidende brief vermeldt dat Archimedes’ vader een sterrenkundige was die Phidias heette. De zandrekenaar of Psammites is het enige overgebleven werk, waarin Archimedes zijn ideeën over de sterrenkunde bespreekt.

• De methode van mechanische stellingen

Deze verhandeling werd tot de herontdekking in 1906 van de Archimedes-palimpsest als verloren beschouwd. In dit werk maakt Archimedes gebruik van een eigen methode om met infinitesimalen te rekenen en laat hij zien hoe het opdelen van een figuur in een infinitesimaal aantal oneindig kleine delen gebruikt kan worden om een oppervlakte of het volume te bepalen. Mogelijk was Archimedes van mening dat deze methode niet precies genoeg was en maakte hij daarom, om zijn resultaten af te leiden, ook gebruik van de uitputtingsmethode. Net zoals in Het rundveeprobleem is De methode van mechanische stellingen geschreven in de vorm van een brief aan Eratosthenes in Alexandrië.

Archimedespalimpsest

Zie Archimedespalimpsest voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Het belangrijkste document dat werk van Archimedes bevat is de zogenaamde palimpsest van Archimedes, dat in 1906 in Constantinopel (het huidige Istanboel) door de Deense filoloog Johan Ludvig Heiberg werd ontdekt. De Archimedespalimpsest is een 174-pagina's tellend perkament van geitenvel, waarop gebeden uit de 13e eeuw staan geschreven. Hij ontdekte dat het een palimpsest was, een document met tekst, die op een gewist ouder werk was geschreven. Palimpsesten werden gemaakt door de inkt van bestaande werken af te schrapen om deze opnieuw te kunnen gebruiken. Dit was in de Middeleeuwen een gangbare praktijk aangezien vellum erg duur was. De oudere, afgeschraapte werken in het palimpsest werden door geleerden geïdentificeerd als 10e-eeuwse kopieën van voorheen onbekende verhandelingen van Archimedes. Het perkament bevond zich honderden jaren in een kloosterbibliotheek in Constantinopel. Na de ontdekking in 1906 raakte het in de jaren 1920 in particulier bezit. Op 29 oktober 1998 werd het Archimedes-palimpsest op een veiling in New York door een anonieme koper voor $ 2 miljoen gekocht.

Naar hem genoemd

• een inslagkrater op de Maan (29,7° N, 4,0° W)
• een bergketen op de Maan, Montes Archimedes (25,3° N, 4,6° W).
• een straat in Amsterdam Oost
• een straat in Barneveld
• een lerarenopleiding in Utrecht (Instituut Archimedes)

Fields medal

De Fields Medal met een gefantaseerd portret van Archimedes.

De Fields Medal, wel de Nobelprijs van de wiskunde genoemd, toont een portret van Archimedes, met zijn bewijs van bol en cilinder. De inscriptie rond zijn hoofd is een citaat dat aan hem wordt toegeschreven. Het luidt in het Latijn: Transire suum pectus mundoque potiri (Stijg boven jezelf uit en beheers de wereld).

Verder lezen

• Boyer, C.B.: A history of mathematics, New York, 1968
• Dijksterhuis, E.J.: Archimedes, 1938
• Netz, R. en Noel, W: De Archimedes Codex, 2007
• Struik, D.J.: Geschiedenis van de wiskunde, SUA Amsterdam, 1977

Externe links

• Archimedes’ ‘homepage’ met links naar zijn overgeleverde geschriften
• Artikel Archimedes op Engelse wikipedia

Zie ook

• Archimedes (inslagkrater)

Bronnen, noten en/of referenties

Mediabestanden

Meer mediabestanden die bij dit onderwerp horen, zijn te vinden op de pagina Archimedes op Wikimedia Commons.