Bol (lichaam)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Een bol

Een bol is een driedimensionaal lichaam waarvan alle punten die het oppervlak vormen zich op exact dezelfde afstand van een punt genaamd het middelpunt bevinden. Deze afstand heet de straal. Een bol is het driedimensionale analogon van een cirkelschijf, en kan verkregen worden als omwentelingslichaam bij draaiing van een cirkelschijf om een middellijn.

Het oppervlak van een bol wordt sfeer of eenvoudigweg boloppervlak genoemd.

Een bol is bolsymmetrisch.

In de hogere wiskunde veralgemeent men het begrip van een bol (en zijn rand, de sfeer) naar willekeurige dimensies. De terminologie is niet eenduidig. In willekeurige dimensies wordt een bol als lichaam ook volle bol of bal genoemd, terwijl het oppervlak, behalve als bol en boloppervlak, ook als sfeer wordt aangeduid.

Eigenschappen[bewerken]

De oppervlakte van de bol (sfeer) met straal r is

\!A = 4 \pi r^2.

Omgekeerd is de straal van de bol met oppervlakte A:

r = \tfrac 12 \sqrt{\frac{A}{\pi}}.

Het volume van de bol met straal r is

V = \tfrac{4}{3}\pi r^3

dus de straal van de bol met volume V is

r = \sqrt[3]{\frac{3V}{4\pi}}

Merk op dat de afgeleide van de inhoud van een bol naar de straal, de oppervlakte is. Dit geldt ook in hogere dimensies.

Bewijs van het volume[bewerken]

Voor een halve bol:

V = \iiint\limits_V r\ {\rm d}z\ {\rm d}r\ {\rm d}\varphi  \Rightarrow   \int\limits_0^{2\pi}\int\limits_0^R\int\limits_0^\sqrt{R^2-r^2} r\ {\rm d}z\ {\rm d}r\ {\rm d}\varphi

Berekenen van de eerste integraal:

\int\limits_0^\sqrt{R^2-r^2} r\ {\rm d}z = r\bigl|z\bigr|_0^\sqrt{R^2-r^2}=r\cdot\sqrt{R^2-r^2}

Berekenen van de tweede integraal:

\int\limits_0^R\ r\cdot\sqrt{R^2-r^2}\ {\rm d}r = -\frac{1}{3}\bigl|(R^2-r^2)^{\frac{3}{2}}\bigr|_0^R=\frac{R^3}{3}

Berekenen van de derde integraal:

\int\limits_0^{2\pi}\ \frac{R^3}{3}\ {\rm d}\varphi = \frac{R^3}{3}\bigl|\varphi\bigr|_0^{2\pi}=\frac{2\pi}{3}\cdot R^3

Op grond van symmetrie is het volume van de hele bol het dubbele:

2\cdot\frac{2\pi}{3}\cdot R^3=\frac{4\pi}{3}\cdot R^3

Wiskundige vergelijking[bewerken]

Cartesiaanse vergelijking[bewerken]

In Cartesische coördinaten kan een bol met straal r en middelpunt (x0, y0, z0) weergegeven worden door de vergelijking:

(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 \leq  r^2.

En bij uitschrijven van deze vergelijking:

\!x^2+y^2+z^2-2x_0x-2y_0y-2z_0z \leq d,

met

d=r^2-x_0^2-y_0^2-z_0^2.

Parametervergelijking[bewerken]

\, x = x_0 + r \sin \theta \; \cos \varphi
\, y = y_0 + r \sin \theta \; \sin \varphi \qquad (0 \leq \varphi < 2\pi \mbox{ and } 0 \leq \theta \leq \pi ) \,
\, z = z_0 + r \cos \theta \,

Differentiaalvergelijking[bewerken]

Alle sferen worden beschreven door de differentiaalvergelijking

 x \, dx + y \, dy + z \, dz = 0

Voorbeelden[bewerken]

De bol heeft als eigenschap dat hij van alle mogelijke driedimensionale vormen met dezelfde inhoud de kleinst mogelijke oppervlakte heeft. Door het aannemen van deze vorm wordt bijvoorbeeld een minimale energie verkregen uit de oppervlaktespanning. Als gevolg hiervan zijn veel voorwerpen in de natuur bolvormig. Voorbeelden van bolvormen in de natuur zijn:

Perfect bolvormige voorwerpen bestaan niet in de natuur. Zelfs een zwaar hemellichaam zoals de aarde is door de draaiing om zijn as enigszins afgeplat aan de polen (ellipsoïde). Ook de andere planeten en de sterren zijn min of meer bolvormig.

In veel sporten gebruikt men een bolvormig speelobject, een bal.

Licht of geluid afkomstig van een puntbron plant zich in een homogeen medium in alle richtingen even snel voort. Dit duidt men aan met bolvormige uitstraling of bolvormige voortplanting.

Zie ook[bewerken]