Ellipsoïde

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Ellipsoïde met (a, b, c) = (4, 2, 1)

Een ellipsoïde is een kwadratisch oppervlak met drie loodrechte symmetrieassen.

De relatie die een ellipsoïde in het Cartesisch coördinatenstelsel beschrijft is:


{x^2 \over a^2}+{y^2 \over b^2}+{z^2 \over c^2}=1

Waarin a, b en c de vorm van de ellipsoïde vastlegt en er geldt :

  • a = \frac{1}{2} L : helft van maximale lengte
  • b = \frac{1}{2} B : helft van maximale breedte
  • c = \frac{1}{2} H : helft van maximale hoogte

Wanneer a = b = c geldt dan betreft het een bol.

Als we stellen a ≥ b ≥ c, dan geldt voor:

  • a ≠ b levert een ongelijke ellipsoïde
  • c = 0 & a ≠ c & b ≠ c levert een platte ellips
  • b = c & a ≠ b & a ≠ c levert een prolate sferoïde (sigaarvormig)
  • a = b & a ≠ c & b ≠ c levert een oblate sferoïde (pilvormig)
  • a = b = c levert een bol.

Elke ellipsoïde kan worden gevormd door een bol in een of twee richtingen (langs orthogonale assen) te verschalen.

Parametervergelijking[bewerken]

Constructie van een oblate ellipsoïde, door het wentelen van een ellips (zwart) rond zijn kleine as (oranje)

De volgende parametervergelijking stelt een ellips in het xy-vlak voor: [a \cos(\theta),b \sin(\theta),0]\frac{}{} (\theta van 0 tot 2 \pi), na rotatie rond bijvoorbeeld de x-as wordt de parametervergelijking [a\cos(\theta),b\sin(\theta)\cos(\phi),b\sin(\theta)\sin(\phi)]\frac{}{}, (\theta en \phi van 0 tot 2 \pi) Hiermee kan een prolate of oblate ellipsoïde worden geconstrueerd, maar niet een ongelijke.

Volume[bewerken]

Het volume van een ellipsoïde eenvoudig te berekenen met de relatie:

V = \frac{4}{3} \pi abc

Uitgaande van de maximale lengte, breedte en hoogte wordt het volume uitgedrukt door :

V = \frac{1}{6} \pi LBH = 0.524 LBH

Oppervlakte[bewerken]

De oppervlakte is een stuk lastiger om te berekenen. Analytische afleiding geeft:

A = 2 \pi \left(c^2 + \frac{bc^2}{\sqrt{a^2-c^2}} F(\theta, m) + b\sqrt{a^2-c^2} E(\theta, m) \right)

waarvoor geldt:

m = \frac{a^2(b^2-c^2)}{b^2(a^2-c^2)}
\theta = \arcsin{\left(e \right)}
e = \sqrt{1 - \frac{c^2}{a^2}}

en F(\theta, m) en E(\theta, m) zijn onvolledige elliptische integralen van de eerste en tweede orde.

Bij benadering levert dit de volgende relaties op:

platte Ellips: = 2 \pi \left(ab \right) (factor 2 vanwege bovenste plak + onderste plak)
prolate ellipsoïde \approx 2 \pi \left(c^2 + ac \frac{\arcsin{\left(e \right)}}{e} \right)
oblate ellipsoïde: \approx 2 \pi \left(a^2 + c^2 \frac{\operatorname{arctanh}{\left(e \right)}}{e} \right)
ongelijke ellipsoïde: \approx 4 \pi \left( \frac{ a^p b^p + a^p c^p + b^p c^p }{3} \right)^{1/p}

Voor p ≈ 1,6075 geeft dit een relatieve fout van maximaal 1,061% (Knud Thomsens formule); een waarde van p = 8/5 = 1,6 is optimaal voor bijna sferische ellipsoïden, met een relatieve fout van maximaal 1,178% (David W. Cantrells formule).

De bol en drie soorten ellipsoïden in beeld: blauw de ongelijke, geel de prolate en rood de oblate vorm.

Zie ook[bewerken]