Paraboolconstante

$F$ brandpunt

 latus rectum

 booglengte s

 p

 richtlijn

De paraboolconstante is een wiskundige constante en kan met de getallen π en e worden vergeleken.

Het getal, dat verder met $P$ wordt aangeven, wordt voor een parabool gedefinieerd als de verhouding tussen de booglengte $s$ van het paraboolsegment dat wordt bepaald door het latus rectum en de parameter $p$. Deze parameter $p$ wordt de paraboolparameter genoemd en is gelijk aan de afstand van het brandpunt $F$ van de parabool tot de richtlijn. $P$ is voor alle parabolen hetzelfde, omdat alle parabolen gelijkvormig zijn.

$P={s \over p}$

Het latus rectum, uit het Latijn: latus, zijde en rectum, rectus, recht of rechtop, is in het algemeen de koorde van een kegelsnede die in het brandpunt ervan loodrecht op de symmetrie-as staat door dat brandpunt.

$P\ =\ \ln(1+{\sqrt {2}})+{\sqrt {2}}\ \approx \ 2,29558714939$

Berekening van de paraboolconstante 

De algemene vergelijking van de parabool die de $y$-as als symmetrie-as heeft, het punt $O=(0,0)$ als top en het punt $F=(0,{\textstyle {1 \over 2}}p)$ als brandpunt, is $y={\frac {1}{2p}}{{x}^{2}}$. Neem voor de berekening $p=1$, dus de volgende vergelijking: $y={\frac {x^{2}}{2}}$

$P=\int _{-1}^{1}{\sqrt {1+\left(y'(x)\right)^{2}}}\ dx$

$\quad =\int _{-1}^{1}{\sqrt {1+{x^{2}}}}\ dx$

$\quad =\operatorname {arsinh} (1)+{\sqrt {2}}$

$\quad =\ln(1+{\sqrt {2}})+{\sqrt {2}}$

$P$ is een transcendent getal.

Bewijs 

Het bewijs is een bewijs uit het ongerijmde. Stel dat $P=\surd 2+\ln(1+\surd 2)$ een algebraïsch getal is. Dan is ook $P'=P-\surd 2=\ln(1+\surd 2)$ algebraïsch. Volgens de stelling van Lindemann-Weierstrass is dan ${{e}^{P'}}=1+\surd 2$ transcendent, maar dat is niet het geval. Dus is $P$ transcendent.

Toepassing

Omwenteling van $y=f(x)={e^{x}}$ om de $x$-as

Wordt het deel van de grafiek van de functie $y=f(x)={e^{x}}$ dat links van de $y$-as ligt, om de $x$-as gewenteld, dan kan de oppervlakte $M$ van de mantel van het omwentelingslichaam worden uitgedrukt in $P$, zoals in de figuur is aangegeven. Bij benadering is voor het deel van de mantel tussen de punten $A$ en $B$ voor kleine $\Delta x$:

$\Delta M=2\pi \ \cdot \ f(x)\ \cdot \ {\text{booglengte}}(AB)$

Zodat voor $M$ geldt:

$M=2\pi \int _{-\ \infty }^{0}{{{e}^{x}}{\sqrt {1+{{(({{e}^{x}})')}^{2}}}}}\mathrm {d} x=2\pi \int _{-\,\infty }^{0}{{{e}^{x}}{\sqrt {1+{{e}^{2x}}}}\mathrm {d} x}$

Met de substitutie ${{e}^{x}}=t$, waarbij ${{e}^{x}}\mathrm {d} x=\mathrm {d} t$, is dan:

$M=2\pi \int _{0}^{1}{{\sqrt {1+{{t}^{2}}\ }}\mathrm {d} t=2\pi \ \cdot \ {\tfrac {1}{2}}P=\pi P}$

voetnoten

literatuur

* DJE Schrek. Beginselen der Analytische Meetkunde, 1918. Groningen: P. Noordhoff n.v., 15e druk, 1963, blz 87-101.

* J Sondow. The parbelos, a parabolic analog of the arbelos., 2012. in American Mathematical Monthly, vol 120, 2013, blz 929-935, via: Internet Archive

websites

• MathWorld. Universal Parabolic Constant.
• rij A103710 in OEIS, decimale ontwikkeling van $P$