Transcendent getal

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Getalverzamelingen

Natuurlijke getallen
Gehele getallen
Rationale getallen
Reële getallen
Complexe getallen
Quaternionen
p-adische getallen
Surreële getallen
Transfiniete getallen

Irrationale getallen
Algebraïsche getallen
Transcendente getallen
Imaginaire getallen

Een reëel getal, of algemener: een complex getal, x noemt men transcendent, wanneer dit getal niet als het nulpunt van een polynoom is te schrijven, waarvan de graad eindig is.

 a_{n}x^{n} + \dots + a_{2}x^2 + a_{1}x + a_{0} = 0 \,

voor n \geq 1 met geheeltallige of meer algemeen rationale coëfficiënten a_\mathrm{k}, waarbij geldt dat a_{n} \neq 0. Een getal dat wel het nulpunt van een polynoom is, heet een algebraïsch getal. Een transcendent getal is een getal dat niet algebraïsch is.

Ieder transcendent getal is irrationaal, want een rationaal getal is een oplossing van een lineaire vergelijking met geheeltallige coëfficiënten, dus algebraïsch.

Een transcendent getal kan op de getallenlijn of in het complexe vlak niet door een constructie met passer en liniaal worden aangegeven.

Er zijn overaftelbaar veel transcendente getallen en maar aftelbaar veel algebraïsche getallen. Een transcendent getal is, zoals opgemerkt, een irrationaal getal, maar niet ieder irrationaal getal is transcendent. Bijvoorbeeld \sqrt{2} is irrationaal en algebraïsch.

Geschiedenis[bewerken]

Voorbeelden[bewerken]

Getallen, waarvan bekend is dat zij transcendent zijn:

  • ea als a algebraïsch en ongelijk aan nul is, door de stelling van Lindemann-Weierstrass en, in het bijzonder, e zelf,
  • π, door de stelling van Lindemann-Weierstrass,
  • eπ, de constante van Gelfond, alsmede e-π/2=i i, door de stelling van Gelfond-Schneider,
  • ab waar a algebraïsch, maar niet 0 of 1 is, en b irrationaal algebraïsch is, door de stelling van Gelfond-Schneider, in het bijzonder:
    • 2^\sqrt{2}, de constante van Gelfond-Schneider, ook het Hilbert-getal.

Open problemen[bewerken]

Van enkele reële getallen is nog niet bekend of ze transcendent of algebraïsch zijn, zoals van de constante van Euler-Mascheroni.