Transcendent getal

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Getalverzamelingen

Natuurlijke getallen
Gehele getallen
Rationale getallen
Reële getallen
Complexe getallen
Quaternionen
p-adische getallen
Surreële getallen
Transfiniete getallen

Irrationale getallen
Algebraïsche getallen
Transcendente getallen
Imaginaire getallen

Een reëel getal (of algemener: een complex getal), x noemt men transcendent, wanneer dit getal niet is te schrijven als oplossing van een algebraïsche vergelijking van willekeurige eindige graad

 a_{n}x^{n} + \dots + a_{2}x^2 + a_{1}x + a_{0} = 0 \,

voor n \geq 1 met geheeltallige of meer algemeen rationale coëfficiënten a_\mathrm{k}, waarbij geldt dat a_{n} \neq 0. In andere gevallen gaat het om een algebraïsch getal. Een transcendent getal is dus een getal dat niet algebraïsch is.

Elk transcendent getal is irrationaal, want een rationaal getal is een oplossing van een lineaire vergelijking met geheeltallige coëfficiënten en is dus algebraïsch.

Een transcendent getal is niet voorstelbaar door een constructie met passer en liniaal.

Er zijn overaftelbaar veel transcendente getallen en maar aftelbaar veel algebraïsche getallen. Een transcendent getal is, zoals opgemerkt, een irrationaal getal, maar niet ieder irrationaal getal is transcendent. Bijvoorbeeld \sqrt{2} is irrationaal en algebraïsch.

Geschiedenis[bewerken]

Bekende transcendente getallen[bewerken]

Getallen, waarvan bekend is dat zij transcendent zijn:

Open problemen[bewerken]

De meeste reële functies leveren transcendente waarden op. Van enkele reële getallen is nog niet bekend of ze transcendent of algebraïsch zijn, zoals de constante van Euler-Mascheroni.