Transcendent getal

Een reëel getal (of algemener: een complex getal), x noemt men transcendent, wanneer dit getal niet is te schrijven als oplossing van een algebraïsche vergelijking van willekeurige eindige graad

$a_{n}x^{n} + \dots + a_{2}x^2 + a_{1}x + a_{0} = 0 \,$

voor $n \geq 1$ met geheeltallige of meer algemeen rationale coëfficiënten $a_\mathrm{k}$, waarbij geldt dat $a_{n} \neq 0$. In andere gevallen gaat het om een algebraïsch getal. Elk transcendent getal is bovendien irrationaal.

Een transcendent getal is niet voorstelbaar door een constructie met passer en liniaal.

Er zijn overaftelbaar veel transcendente getallen en maar aftelbaar veel algebraïsche getallen. Een transcendent getal is uiteraard een irrationaal getal, maar een irrationaal getal kan algebraïsch zijn.

Geschiedenis

• In 1844 bewees Joseph Liouville dat transcendente getallen bestaan.
• In 1873 bewees Charles Hermite dat e transcendent is.
• In 1882 bewees Carl Louis Ferdinand von Lindemann dat π transcendent is.
• In 1929 bewees Aleksander Gelfond met zijn stelling van Gelfond-Schneider, dat de Constante van Gelfond $e^ {\pi}$ transcendent is.

De meeste reële functies leveren transcendente waarden op. Van enkele reële getallen is nog niet bekend of ze transcendent of algebraïsch zijn, zoals de constante van Euler-Mascheroni.

Bekende transcendente getallen en open problemen

Getallen, waarvan bekend is dat zij transcendent zijn:

• e^a als a algebraïsch en niet-nul is (door de stelling van Lindemann-Weierstrass) en, in het bijzonder, e zelf.
• π (door de stelling van Lindemann-Weierstrass).
• e^π, de constante van Gelfond, alsmede e^-π/2=i ⁱ (door de stelling van Gelfond-Schneider).
• a^b waar a algebraïsch, maar niet 0 of 1 is, en b irrationaal algebraïsch is (door de stelling van Gelfond-Schneider), in het bijzonder:
  • $2^\sqrt{2}$, de constante van Gelfond–Schneider (Hilbert-getal).