Kaprekargetal

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de wiskunde, is een Kaprekargetal een geheel getal dat een specifieke eigenschap bezit. De Kaprekargetallen zijn genoemd naar de Indiase wiskundige Dattaraya Ramchandra Kaprekar (1905–1986).

Omschrijving[bewerken]

Een geheel getal heet, bij een gegeven grondtal, een Kaprekargetal als het kwadraat ervan in twee getallen gesplitst kan worden, met samen hetzelfde aantal cijfers als het originele getal, die wanneer bij elkaar opgeteld weer het originele getal opleveren.

Voorbeeld[bewerken]

Bijvoorbeeld, het 3-cijferige getal 703 is (bij het gebruikelijke grondtal 10) een Kaprekargetal, omdat 7032 = 494209, en omdat 494209 gesplitst kan worden in 494 en 209, en omdat 494 + 209 = 703.

Formele definitie[bewerken]

Formeel uitgedrukt is k een Kaprekargetal indien het volgende geldt:

 k^{2} = l \, 10^{n} + r \,\! \; ,
 k = l + r; \quad n \ge 1, l \ge 1, 0 < r < 10^{n} \,\! \; .

Kaprekargetallen t/m 533170[bewerken]

De eerste Kaprekargetallen zijn [1]:

1, 9, 45, 55, 99, 297, 703, 999, 2223, 2728, 4879, 4950, 5050, 5292, 7272, 7777, 9999, 17344, 22222, 38962, 77778, 82656, 95121, 99999, 142857, 148149, 181819, 187110, 208495, 318682, 329967, 351352, 356643, 390313, 461539, 466830, 499500, 500500, 533170

Dat de eersten hiervan inderdaad Kaprekargetallen zijn, is op te maken uit:

 1: \quad 1^{2} = 0 \cdot 10^{n} + 1, \quad 1 = 0+1 \,\! \; .
 9: \quad 9^{2} = 81; \quad 8 + 1 = 9 \,\!
 45: \quad 45^{2} = 2025; \quad 20 + 25 = 45 \,\!
 55: \quad 55^{2} = 3025; \quad 30 + 25 = 55 \,\!
 99: \quad 99^{2} = 9801; \quad 98 + 1 = 99 \,\!
 297:\quad 297^{2} = 88209; \quad 88 + 209 = 297 \,\!
 703: \quad 703^{2} = 494209;\quad 494 + 209 = 703 \,\!
 999: \quad 999^{2} = 998001; \quad 998 + 1 = 999 \,\!
 2223:\quad 2223^{2} = 4941729; \quad 494 + 1729 = 2223 \,\!

Zie ook[bewerken]

Bronnen, noten en/of referenties
  • D. R. Kaprekar, On Kaprekar Numbers, J. Rec. Math., 13 (1980-1981), 81-82.
  • M. Charosh, Some Applications van Casting Out 999...'s, Journal of Recreational Mathematics 14, 1981-82, pp. 111-118
  • Douglas E. Iannucci, The Kaprekar Numbers, Journal of Integer Sequences, Vol. 3 (2000), http://www.math.uwaterloo.ca/JIS/VOL3/iann2a.html
  1. rij A006886 in OEIS