Mersennepriemgetal

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de wiskunde is een mersennegetal een positief geheel getal dat precies één kleiner is dan een macht van twee:

 M_n=2^n-1.\,

Sommige definities van mersennegetallen vereisen dat de exponent n een priemgetal is. Een mersennepriemgetal is een mersennegetal dat een priemgetal is. Mersennepriemgetallen zijn genoemd naar de Franse wiskundige Marin Mersenne, die deze getallen in de 17e eeuw voor het eerst onderzocht.

Sinds januari 2013 zijn er 48 mersennepriemgetallen bekend. Het grootst bekende priemgetal is 257885161-1 en is een mersennepriemgetal; in de moderne tijd is het grootst bekende priemgetal bijna steeds een mersennepriemgetal geweest.[1][2] Net als een aantal eerder ontdekte mersennepriemgetallen, werd het ontdekt door het GIMPS distributed computing-project op het internet (zie externe link).

Beschrijving[bewerken]

Poststempel die het wiskundedepartement van het UIUC gebruikte van grofweg 1964 tot 1976, naar aanleiding van de Mersennepriemgetallen die Donald Gillies ontdekte in 1963.

In 1644 claimde Mersenne dat p priem is als n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 en 257; maar dat p een samengesteld getal is wanneer n een van de andere priemgetallen, kleiner dan 257, is. Mersenne zat er wat betreft bovenstaande rij vijf keer naast. M67 en M257 zijn geen priemgetallen, terwijl M61, M89 en M107 dit juist wel zijn.

Een basisstelling over mersennegetallen stelt dat Mn alleen een mersennepriemgetal is, als de exponent n zelf ook een priemgetal is. Dit sluit getallen, zoals M4 = 24−1 = 15 uit, aangezien de exponent 4(=2×2) samengesteld is. De stelling voorspelt dat 15 ook samengesteld is, wat inderdaad klopt, want 15 = 3×5. De drie kleinste mersennepriemgetallen zijn

M2 = 3, M3 = 7, M5 = 31.

Hoewel het waar is dat alleen mersennegetallen Mp priem kunnen zijn, als p ook een priemgetal is, kan het niettemin het geval zijn dat Mp geen priemgetal is, terwijl p dat wel is. Het kleinste tegenvoorbeeld is het mersennegetal

M11 = 211−1 = 2047 = 23×89

M11 is geen priemgetal, hoewel 11 dit wel is. Het ontbreken van een duidelijke regel om te bepalen of een gegeven mersennegetal een priemgetal is maakt de zoektocht naar mersennepriemgetallen een interessante taak, die, aangezien mersennegetallen zeer snel groeien, heel snel zeer moeilijk wordt. De Lucas-Lehmertest voor mersennegetallen is een efficiënte priemgetaltest, die heden ten dage wordt gebruikt om te bepalen of een mersennegetal ook een mersennepriemgetal is. Deze test is eenvoudiger uit te voeren dan testen voor andere typen van getallen. Het grootst bekende priemgetal is daarom vrijwel altijd een mersennepriemgetal.

Perfecte getallen en mersennepriemgetallen[bewerken]

Er is een verband tussen mersennepriemgetallen en perfecte getallen. Perfecte getallen zijn getallen waarbij de som van de delers gelijk is aan het getal zelf. Er geldt namelijk dat als 2n-1 een priemgetal is, dat dan 2^{n-1}\cdot(2^n-1) een perfect getal is. Het omgekeerde geldt ook: ieder, in ieder geval even, perfect getal kan worden geschreven als 2^{n-1}\cdot(2^n-1) waarbij n een priemgetal is en 2n-1 een mersennepriemgetal.

Bijvoorbeeld: voor n = 3 geldt dat 2n-1 = 23-1 = 7 een priemgetal is.
2^{n-1}\cdot(2^n-1) wordt dan 2^2\cdot(2^3-1) = 4*7 = 28 is een perfect getal.

Toepassingen van mersennepriemgetallen liggen in beveiliging van gegevens met behulp van encryptie en in het genereren van toevalsgetallen (met de mersennetwister).

Bekende mersennepriemgetallen[bewerken]

Er zijn op dit moment 48 mersennepriemgetallen bekend, het laatste is in januari 2013 gevonden.

Datum van ontdekking Getal Ontdekt door
25 januari 2013 257 885 161-1 (met 17 425 170 cijfers) Curtis Cooper/GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search). Dit is het grootst bekende Mersenne priemgetal.
12 april 2009 242 643 801-1 (met 12 837 064 cijfers) Odd Magnar Strindmo/GIMPS.
6 september 2008 237 156 667-1 (met 11 185 272 cijfers) Hans-Michael Elvenich/GIMPS.
23 augustus 2008 243 112 609-1 (met 12 978 189 cijfers) Wiskundedepartement van de Universiteit van Californië in Los Angeles/GIMPS.
4 september 2006 232 582 657-1 (met 9 808 358 cijfers) Curtis Cooper en Steven Boone/GIMPS
15 december 2005 230 402 457-1 (met 9 152 052 cijfers) Curtis Cooper en Steven Boone/GIMPS
28 februari 2005 225 964 951 -1 (met 7 816 230 cijfers)
15 mei 2004 224 036 583 -1 (met 7 235 733 cijfers)
17 november 2003 220 996 011 -1 (met 6 320 430 cijfers)
14 november 2001 213 466 917-1
1 juni 1999 26 972 593-1
27 januari 1998 23 021 377-1
24 augustus 1997 22 976 221-1
november 1996 21 398 269-1
1996 21 257 787-1
1994 2859 433-1
1992 2756 839-1
1988 2110 503-1
1985 2216 091-1
1983 2132 049-1
1982 286 243-1
1979 223 209-1, 244 497-1
1978 221 701-1
1971 219 937-1
1963 29689-1, 29941-1, 211 213-1
1961 24253-1, 24423-1
1957 23217-1
1952 2521-1, 2607-1, 21279-1, 22203-1, 22281-1
voor 1915 22-1, 23-1, 25-1, 27-1, 213-1, 217-1
219-1, 231-1, 261-1, 289-1, 2107-1, 2127-1

Voetnoten[bewerken]

  1. NOS. "Grootste priemgetal ontdekt", 6 februari 2013.
  2. Het grootste bekende priemgetal is sinds 1952 een mersennepriemgetal, met uitzondering van de periode van 1989 tot 1992.
    C. Caldwell van de Universiteit van Tennessee in Martin. Het grootste bekende priemgetal per jaar: een korte geschiedenis

Externe link[bewerken]