e (wiskunde)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
De natuurlijke logaritme van e, ln(e), is gelijk aan 1

Het getal e is een belangrijke wiskundige constante, het grondtal van de natuurlijke logaritme. Het is de limiet van (1 + 1/n)n als n nadert tot oneindig, en kan ook worden berekend als de som van de oneindige serie:

e = 1 + \frac{1}{1} + \frac{1}{1\cdot 2} + \frac{1}{1\cdot 2\cdot 3} + \frac{1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}+\cdots
e =\lim_{n\to\infty}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n}=\lim_{n\to 0}{\left[(n+1)^{\frac{1}{n}}\right]}

Het getal e wordt ook de constante van Neper (Napier) genoemd, naar de uitvinder van de logaritme, de Schotse wiskundige John Napier die e omstreeks 1600 tegenkwam bij zijn werk aan een van de eerste rekenlinialen. Het getal e werd door de Zwitserse wiskundige Leonhard Euler het exponentiële getal genoemd, vandaar vermoedelijk de naam. Euler maakte voor het eerst een grondige studie van e en heeft in zijn eentje bijna alle belangrijke eigenschappen ervan ontdekt. Een benadering is:

e = 2,718281828459...

Eigenschappen[bewerken]

Het getal e is ook het grondtal voor de e-macht, de exponentiële functie ex, ook wel geschreven als exp(x). Deze functie is de inverse van de natuurlijke logaritme, ln(x).

Het bijzondere van de functie ex is, dat zij gelijk is aan haar afgeleide.

De Taylorreeks van de e-macht is:

e^x=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}

Daaruit kan voor x = 1 de volgende reeks voor e gevonden worden:

e=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}=1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}+\cdots

Ter vergelijking staan hieronder de eerste 20 termen uit de definiërende rij en de eerste 20 partiële sommen van de bovenstaande reeks.

n \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n} \sum_{k=0}^n\ \frac{1}{k!}
1 2,00000000 2,00000000
2 2,25000000 2,50000000
3 2,37037037 2,66666667
4 2,44140625 2,70833333
5 2,48832000 2,71666667
6 2,52162637 2,71805556
7 2,54649970 2,71825397
8 2,56578451 2,71827877
9 2,58117479 2,71828153
10 2,59374246 2,71828180
11 2,60419901 2,71828183
12 2,61303529 2,71828183
13 2,62060089 2,71828183
14 2,62715156 2,71828183
15 2,63287872 2,71828183
16 2,63792850 2,71828183
17 2,64241438 2,71828183
18 2,64642582 2,71828183
19 2,65003433 2,71828183
20 2,65329771 2,71828183

Een benadering via de definiërende rij vergt n vermenigvuldigingen. Via de benaderende reeks moeten n termen opgeteld worden, en voor elke volgende term is een vermenigvuldiging en een deling nodig, dus in totaal n vermenigvuldigingen en n delingen. Voor de nauwkeurigheid moet dus de rij voor 2n vergeleken worden met de reeks voor n. Toch zal de benadering via de reeks bij eenzelfde 'nauwkeurigheid' (verschil tussen opeenvolgende termen in de lijst) minder bewerkingen nodig hebben in vergelijking met de rij. Bij n = 1000 000 000 'doet' bijvoorbeeld de rij het nog altijd 'slechter' dan de reeks bij n = 12.

Het getal e is irrationaal (voor het eerst bewezen door Johann Heinrich Lambert in 1761 en later ook door Euler) en transcendent (in 1873 bewezen door Charles Hermite).

Berekening van de waarde van e[bewerken]

\exists a=e \leftrightarrow f(x)=a^x=e^x=f'(x)=e^x

De waarde van e kan bewezen worden aan de hand van deze definitie en het bewijs voor de afgeleide van de exponentiële functie f(x)=a^x:

f(x)=a^x


\Leftrightarrow f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}{\left[\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\right]}


\Leftrightarrow f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}{\left[\frac{a^{x+\Delta x}-a^x}{\Delta x}\right]}


\Leftrightarrow f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}{\left[\frac{a^x(a^{\Delta x}-1)}{\Delta x}\right]}


\Leftrightarrow f'(x)=a^x \cdot\lim_{\Delta x\to 0}{\left[\frac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x}\right]}

Steunend op de definitie van het getal e:

\exists a=e \leftrightarrow f(x)=a^x=e^x=f'(x)=e^x


\Leftrightarrow \exists a=e\leftrightarrow \lim_{\Delta x\to 0}{\left[\frac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x}\right]}=1


\Leftrightarrow \lim_{\Delta x\to 0}{\left(e^{\Delta x}-1\right)}=\lim_{\Delta x\to 0}{\Delta x}


\Leftrightarrow \lim_{\Delta x\to 0}{e^{\Delta x}}=\lim_{x\to 0}{\left(\Delta x +1\right)}


\Leftrightarrow \lim_{\Delta x\to 0}{\left[\left(e^{\Delta x}\right)^{\frac{1}{\Delta x}}\right]}=\lim_{\Delta x\to 0}{\left[\left(\Delta x + 1\right)^{\frac{1}{\Delta x}}\right]}


\Leftrightarrow e = \lim_{\Delta x\to 0}{\left[\left(\Delta x + 1\right)^{\frac{1}{\Delta x}}\right]}\approx 2,718

Belang van e in de wiskunde van de transcendente getallen[bewerken]

e is een van de belangrijkste constanten in de wiskunde. Op iedere hoek van de wiskundige wereld komt men e tegen bv. in de formule van Euler:

e^{ix} = \cos(x) + i \sin(x)

De identiteit van Euler, een speciaal geval hiervan waarbij een verband tussen de vijf belangrijkste wiskundige constanten gelegd wordt, is door Richard Feynman 'de opmerkelijkste formule in de wiskunde' genoemd (Lectures on Physics, p.I-22-10):

e^{i \pi} + 1 = 0

Hoewel Georg Cantor bewees dat er oneindig veel meer transcendente getallen (door sommige wiskundigen de donkere materie van de wiskunde genoemd) zijn dan andere soorten zoals de natuurlijke getallen is e een van de weinige getallen waarvan de transcendentie echt bewezen is. Twee andere bekende zijn \pi en het getal van Joseph Liouville met symbool L. Ook weet men nog steeds niet of met e \times \pi, \sqrt e, e + \pi en met andere elementaire bewerkingen een nieuw transcendent getal tevoorschijn komt. Een van de weinige gevallen is e^\pi, de Constante van Gelfond, waarvan de transcendentie bewezen is.

Door bestudering van e wist Alan Baker van Cambridge echter wel nieuwe klassen van transcendente getallen te vinden waarvoor hij in 1970 de Fields-medaille kreeg. Vanaf de jaren 1990 tot heden is er grote vooruitgang geboekt met de studie van e voor de theorievorming over transcendente getallen door o.a. Boris Zilber (Oxford) en Alain Connes die eveneens de Fieldmedal kreeg voor zijn ontdekkingen.

Zie ook[bewerken]

Externe links[bewerken]

Bronnen, noten en/of referenties