Rij (wiskunde)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Voorbeeld van een oneindige rij die niet stijgend, niet dalend en niet convergerend, maar wel begrensd is

In de wiskunde is een rij een genummerde opeenvolging van objecten, elementen van de rij genoemd. Het nummer van een element in een rij wordt de index van dat element genoemd. Een rij kan uit eindig of aftelbaar oneindig veel elementen bestaan. De objecten die in een rij kunnen staan, zijn net zo algemeen als de elementen van een verzameling en een object kan meer dan één keer als element voorkomen. De nummering van de elementen gebeurt met gehele getallen. Voor een eindige rij nummert men gewoonlijk met de getallen 1 tot en met een zekere N, hoewel de index van het eerste element soms ook anders gekozen wordt. De elementen van een oneindige rij met een eerste element worden gewoonlijk genummerd met de getallen 1, 2, ... Ook in dit geval wordt als eerste index wel een ander getal gekozen. Een oneindige rij zonder eerste element, maar wel een laatste, nummert men met de gehele getallen, tot en met 0. Is er noch een eerste element, noch een laatste, dan vindt de nummering plaats met de gehele getallen.

Een eindige rij met N elementen wordt meestal weergegeven als

a_1, a_2, \ldots, a_N,

een oneindige rij met eerste element als

a_1, a_2, a_3, \ldots,

een oneindige rij zonder eerste element, maar wel een laatste als

 \ldots,a_{-2}, a_{-1}, a_0

en een rij zonder eerste en laatste element als

 \ldots,a_{-2}, a_{-1}, a_0, a_1, a_2, \ldots.

Formeel kan men een rij opvatten als een afbeelding a van (een deel van) de gehele getallen in een of andere verzameling. Het element met index n van de rij is het beeld van het gehele getal n en wordt meestal weergegeven met dat gehele getal als index, dus als a_n en niet als a(n).

Een rij is een geïndiceerde multiset en wordt wel genoteerd als (a_n)_{n=M}^N, waarbij eventueel M=-\infty en N=\infty kan zijn. Het is gebruikelijk de vermelding van het bereik van de index weg te laten als dit uit de context duidelijk is of geen belangrijke rol speelt; dat leidt tot de notatie (a_n). De ook veelvuldig voorkomende notatie met accoladen, zoals in \{a_n\}, is minder geschikt te achten, daar deze de ordening van de verzameling niet duidelijk toont.

Vaak zijn de elementen in de rij gewoon getallen, maar rijen kunnen ook opgebouwd zijn uit andere elementen, zoals vectoren, matrices, functies, verzamelingen, stochastische variabelen, enz., en zelfs uit objecten buiten de wiskunde.

Voorbeelden[bewerken]

Een eenvoudig voorbeeld van een rij is de rij (x_n): 1, 4, 9, 16, 25, ..., dat wil zeggen de rij met

x_n=n^2.

Dit is een getallenrij, waarin bijvoorbeeld x_2 = 4 en x_6 = 36. We vinden het element met nummer 32 uit de rij door te berekenen:

x_{32}=32^2=1024.

Een bekend voorbeeld van een recursief gedefinieerde rij is de rij van Fibonacci, (f_n), gedefinieerd door f_1 = 1, f_2 = 1 en f_{n} = f_{n-2}+f_{n-1} voor elke n>2. Merk op dat er twee beginwaarden moeten worden gegeven om het recursieve proces op gang te krijgen.

Niet voor elke getallenrij bestaat een wiskundige formule waarmee men een element kan uitrekenen. Het bekendste voorbeeld hiervan is de rij van priemgetallen, waarvan element n beschreven kan worden als het n-de priemgetal.

Enkele voorbeelden van getalrijen met speciale eigenschappen zijn:

Convergentie[bewerken]

1rightarrow blue.svg Zie Convergentie (wiskunde) voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Vaak zal men van oneindige rijen willen weten of een gegeven rij een limiet heeft. Is er zo'n limiet dan heet de rij convergent, anders divergent.

De rijen uit de vorige paragraaf zijn beide divergent, omdat de elementen uit de rij onbeperkt groter worden naarmate men verder in de rij gaat. Een voorbeeld van een convergente rij is de rij

(y_n) = 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ... ,

dus met

 y_n=1/n .

Deze rij convergeert naar het getal 0, omdat de getallen uit de rij willekeurig dicht bij het getal 0 komen. Men noteert

\lim\limits_{n\to\infty}y_n=0\,.

Divergentie[bewerken]

1rightarrow blue.svg Zie Divergentie (wiskunde) voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Als een rij niet convergeert dan divergeert hij. Voor een divergente rij zijn drie mogelijkheden:

  • De elementen van de rij worden onbeperkt groot en convergeren derhalve niet naar een bepaalde waarde.
    • Bijvoorbeeld: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ..., dus a_n=n\quad(n=1, 2, .\dots\infty).
      • De rij is divergent naar oneindig.
  • De elementen van de rij worden onbeperkt kleiner, zonder naar een bepaalde waarde te convergeren.
    • Bijvoorbeeld: -1, -2, -4, -8, -16, -32, ..., dus a_n=-2^n\quad(n=0, 1, \cdots, \infty).
      • De rij divergeert nu naar min oneindig.
  • De rij gaat niet naar oneindig, en niet naar min oneindig.
    • Bijvoorbeeld: 1, -1, 1, -1, 1, -1, ..., dus a_n=(-1)^n\quad(n=0, 1, \ldots,\infty).
      • Nu zeggen we simpelweg dat de rij divergeert.

Monotonie[bewerken]

Men noemt een rij (mits de elementen vergelijkbaar zijn, zoals bij reële getallen) monotoon stijgend (of niet-dalend) als elk element uit de rij groter dan of gelijk is aan het voorgaande element. Andersom heet de rij monotoon dalend (of niet-stijgend) als elk element kleiner dan of gelijk is aan het voorgaande. Alle rijen die tot nu toe als voorbeeld zijn behandeld ((x_n), (f_n) en (y_n )), zijn monotone rijen: de eerste en de tweede zijn monotoon stijgend, de derde monotoon dalend. Daarentegen is de volgende rij monotoon stijgend noch monotoon dalend:

(z_n ) = 1, -1, 1/2, -1/2, 1/3, \ldots.

Deze rij is alternerend, daar de elementen steeds van teken verschillen. De rij is convergent, namelijk naar 0.

Begrensdheid[bewerken]

Men noemt een rij (mits de elementen vergelijkbaar zijn, zoals bij reële getallen) naar boven begrensd als er een bovengrens bestaat, een waarde die door geen enkel element wordt overschreden; op soortgelijke wijze definieert men het begrip naar beneden begrensd. Een rij die zowel naar boven als naar beneden begrensd is noemt men begrensd. De voorbeeldrijen (x_n) en (f_n) zijn wel naar beneden (door de benedengrens 1, maar ook 0 of zelfs -6, mits maar klein genoeg), maar niet naar boven begrensd, en de voorbeeldrij (y_n) heeft als (grootste) benedengrens 0 en als (kleinste) bovengrens 1. Deze rij is dus begrensd, en de laatste voorbeeldrij (z_n) eveneens.

Monotone-convergentiestelling[bewerken]

Elke stijgende, naar boven begrensde rij heeft een limiet (die niet groter is dan de kleinste bovengrens) en elke dalende, naar beneden begrensde rij evenzo (de limiet is niet kleiner dan de grootste benedengrens).

Zie ook[bewerken]