Surreëel getal

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Getalverzamelingen

Natuurlijke getallen
Gehele getallen
Rationale getallen
Reële getallen
Complexe getallen
Quaternionen
p-adische getallen
Surreële getallen
Transfiniete getallen

Irrationale getallen
Algebraïsche getallen
Transcendente getallen
Imaginaire getallen

De surreële getallen vormen een uitbreiding van de reële getallen. De verzameling van surreële getallen wordt wel aangegeven met אo (alef-nul). Net als de reële getallen vormen de surreële getallen een totaal geordend veld (in België)/lichaam (in Nederland). In tegenstelling tot de reële getallen bevat אo ook infinitesimalen (dat wil zeggen oneindig kleine en oneindig grote elementen). In zekere zin vormen de surreële getallen de grootst mogelijke van al dergelijke uitbreidingen.

De surreële getallen kunnen opgebouwd worden vanuit de lege verzameling, door toepassing van Dedekindsneden, een principe dat ook ten grondslag ligt aan de reële getallen. In een oneindige reeks tussenstappen worden voortdurend nieuwe getallen gedefinieerd in termen van eerder gedefinieerde.

Surreële getallen werden ontwikkeld door de Engelse wiskundige John Horton Conway als een nevenresultaat van onderzoek naar de structuur van een bepaalde klasse van wiskundige spellen. De naam werd echter bedacht door Donald Knuth, maar werd later ook door Conway gebruikt.

Constructie en ordening[bewerken]

De grondgedachte achter de constructie van de surreële getallen is het principe van de zgn. snede van Dedekind. We krijgen een nieuw getal, door twee verzamelingen L en R van al bestaande getallen aan te geven die het nieuwe getal benaderen. De verzameling L bestaat uit getallen die kleiner zijn dan het nieuwe getal, en R uit getallen die groter zijn. Voor zo'n nieuw getal schrijven we {L|R} en stellen aan de verzamelingen L en R de eis dat elk element van L kleiner moet zijn dan elk element van R. Zo is bijvoorbeeld B { {1,2} | {5,8} } een geldige ("welgevormde") constructie van een bepaald getal tussen 2 en 5; welk dat is, zullen we later uitleggen. Het is uitdrukkelijk toegestaan dat L of R leeg is. Het getal {L| {} } wordt opgevat als een getal groter dan elk getal in L, en { {} |R} als een getal kleiner dan elk getal in R. Deze manier van construeren is uiterst recursief. We hebben daarom ook een regel nodig om de nieuwe getallen met elkaar te vergelijken, dat wil zeggen ook de ordeningsrelatie \leq\, die voor de toepassing van de constructieregel nodig is, moet recursief gedefinieerd worden.

We hebben dus twee definities nodig om een oneindige, totaal geordende klasse getallen te genereren, waarop dan later bewerkingen worden gedefinieerd.

Definities[bewerken]

  1. (Constructie) Twee verzamelingen L_x en R_x van reeds bestaande getallen bepalen een nieuw getal x, genoteerd als \{L_x|R_x\}, als voor geen van de elementen x_L \in L_x en x_R \in R_x geldt: x_R \leq x_L\, (dus alle elementen uit R zijn (strikt) groter dan de elementen van L).
  2. (Ordening) Het getal x is kleiner dan of gelijk aan het getal y, genoteerd als  x \leq y, als elk element x_L \in L_x strikt kleiner is dan y en x op zijn beurt strikt kleiner is dan elk element y_R \in R_y.

Dit noteer je symbolisch als volgt:

\forall x,y \in \bold{\aleph_0}:

  1. x = \{L_x|R_x\} \,, met \forall x_L\in L_x, \forall x_R\in R_x: x_L<x_R
  2. x \leq y \iff \forall x_L \in L_x, \forall y_R\in R_y : x_L < y en x<y_R. \,

In deze en volgende formules betekent x\leq y hetzelfde als y\geq x. Verder betekenen zowel x<y als y>x dat het niet zo is dat x \geq y (x \not\geq y). Tenslotte schrijven we x=y als afkorting voor x\leq y èn y\leq x. Het symbool '\forall' staat bekend als een (al-)quantor en betekent dat de daaropvolgende eigenschap voor elk aangeduid element geldt. Er is ook nog een bestaansquantor ('\exists') die uitdrukt dat de daaropvolgende eigenschap gegarandeerd voor sommige elementen geldt, maar niet noodzakelijk voor alle.

Om de notatie zo licht mogelijk te houden zullen we zo veel mogelijk vermijden om de verzamelingen L_x en R_x nog te vernoemen in formules. In de plaats schrijven we x_L en x_R, als een verwijzing naar een typisch element uit deze verzamelingen. De eerste definitie hierboven wordt dan

x=\{x_L|x_R\},~ met x_L<x_R \, .

Eenvoudig als deze definities zijn, ze zijn ook erg subtiel. De volgende aspecten verdienen dan ook nadere toelichting.

Recursiviteit[bewerken]

Zowel de constructie als de ordening van getallen zijn recursief gedefinieerd. Dit wil zeggen dat ze steunen op het bestaan en de ordening van vooraf gedefinieerde getallen. Meestal worden recursieve definities aangevuld met een aparte definitie die de begintoestand vastlegt. Voor de surreële getallen is dat niet nodig, omdat je voor L_x en R_x, zelfs al ken je geen enkel ander getal, altijd de lege verzameling \empty kan en mag gebruiken. Meer nog, omdat de lege verzameling geen enkel element bevat moet je je ook geen zorgen maken over de voorwaarde in definitie (1). We zeggen dat de voorwaarde in dit geval zonder voorwerp is. Je vindt zo als allereerste getal \{\empty|\empty\}, of eenvoudiger genoteerd \{~|~\}. Dit getal wordt geïdentificeerd met nul.

Je kan nu twee nieuwe getallen definiëren door 0 op te nemen in L_x of R_x. Het getal {0| } (m.a.w. L_x=\{0\}\, en R_x=\empty) kan je identificeren met 1, en { |0} met -1. Maar merk op dat x=\{0|0\} geen geldig getal voorstelt. De reden is dat 0=0\,, zodat de voorwaarde in definitie (1) niet voldaan is. Zolang een van de verzamelingen L_x of R_x echter leeg is, is die voorwaarde zonder voorwerp. Zo kan je een eindeloze reeks nieuwe getallen definiëren van de vorm 2={0,1| }, 3={0,1,2| }, 4={0,1,2,3| }, ... enzovoort. Het zou naïef zijn om te denken dat je zo niet meer dan een kopie van de natuurlijke getallen krijgt. Er is immers geen enkele reden waarom de constructie van getallen niet kan verder gezet worden met een oneindige verzameling voor L_x. Je krijgt zo een eerste oneindig groot getal

\omega=\{0,1,2,3,\dots|~\},

terstond gevolgd door

\omega+1=\{0,1,2,3,\dots,\omega|~\},
\omega+2=\{0,1,2,3,\dots,\omega,\omega+1|~\},
\omega+3=\{0,1,2,3,\dots,\omega,\omega+1,\omega+2|~\},
\dots

en zo verder. Daarna komt

2\omega=\{0,1,2,\dots,\omega,\omega+1,\omega+2,\dots |~\},
3\omega, 4\omega, \dots ,\omega^2 ,\dots

in een nooit eindigende reeks van steeds grotere, oneindige getallen.

Dit is essentieel de klassieke constructie van Georg Cantor voor de Klasse \bold{On} van alle ordinaalgetallen. Het is bekend dat de ordinaalgetallen geen gewone verzameling vormen, maar een zogenaamde Eigenlijke Klasse. Intuïtief uitgedrukt betekent dit dat het aantal elementen zo groot is dat het niet meer gemeten kan worden door eender welk transfiniet kardinaalgetal. In tegenstelling tot gewone verzamelingen kunnen Eigenlijke Klassen niet vrijelijk gebruikt worden bij de constructie van grotere verzamelingen zonder te vervallen in logische paradoxen. Aangezien אo alle ordinaalgetallen bevat, vormen de surreële getallen eveneens een Eigenlijke Klasse. Eigenlijke Klassen worden door Conway systematisch met hoofdletters benoemd. אo is dus geen gewoon veld/lichaam, maar eerder een Veld/Lichaam.

Tot nu toe heb je enkel getallen geconstrueerd met R_x=\empty. Kies je voor L_x de lege verzameling, dan vind je 'negatieve ordinaalgetallen', die niet voorkomen in het systeem van Cantor. Nog vreemdere getallen vind je als zowel L_x als R_x niet-leeg gekozen worden. Zonder in detail te gaan toch enkele voorbeelden:

  • de getallen 1/2^n~(n=1,2,\dots) kunnen achtereenvolgens geconstrueerd worden als
\{0|1\}, \{0|1/2,1\}, \{0|1/4,1/2,1\},\dots
  • je krijgt oneindig kleine getallen door in R_x willekeurig kleine getallen op te nemen:
1/\omega=\{0|\dots,1/4,1/2,1\}
  • en nog kleiner kan ook:
1/2\omega=\{0|1/\omega, \dots,1/4,1/2,1\}
  • oneindige getallen, groter dan elk natuurlijk getal, maar kleiner dan \omega (dat traditioneel als het 'kleinste' oneindig getal wordt beschouwd) zijn er ook:
\omega - 1 = \{0,1,2,\dots|\omega\}
\omega - 2 = \{0,1,2,\dots|\omega-1,\omega\}
\dots
\omega/2 = \{0,1,2,\dots|\dots,\omega-2,\omega-1,\omega\}
\dots

Verificatie van de orde-eigenschappen[bewerken]

In definitie (1) en (2) worden de symbolen '<\,\!' en '\leq' gebruikt, en het is zonder meer de bedoeling dat je deze interpreteert als de gebruikelijke ordeningssymbolen ('strikt kleiner' en 'kleiner dan of gelijk') voor getallen. Nochtans moet een orderelatie aan enkele fundamentele eigenschappen (zoals transitiviteit) voldoen waarover in de definities niet gesproken wordt. Het is een essentieel kenmerk van Conway's theorie dat deze eigenschappen slechts op impliciete wijze in de definities vervat zijn. Bij de opbouw van de theorie moet je dan ook zeer voorzichtig zijn dat je geen 'evidente' eigenschappen van de orderelatie gebruikt voor ze bewezen zijn.

Een voorbeeld van een onschuldig ogende redenering die logisch gezien geen steek houdt is de implicatie x<y \Rightarrow x\leq y. Aangezien x<y\, voor ons een afkorting is voor de formule y\not \leq x is deze implicatie equivalent met y\not \leq x \Rightarrow x\leq y. Een orderelatie die hieraan voldoet noemt men een totale orderelatie. Dat de orde '\leq' inderdaad totaal is op אo is niet evident omdat definitie (2) a priori niet uitsluit dat twee getallen x en y noch in de ene, noch in de andere richting in een orderelatie staan tot elkaar. Het is erg verhelderend om eens na te gaan hoe men dit in de theorie van Conway bewijst (maar je kan de eigenlijke bewijzen ook overslaan). Je hebt drie stellingen nodig:

Stelling 0[bewerken]

  1. \forall x,\forall x_L,\forall x_R:x_L<x<x_R
  2. \forall x: x\leq x

Merk op dat hieruit direct volgt dat x=x. De stelling toont dat elk nieuw getal tussen zijn linker- en rechteropties geplaatst moet worden. Om deze stelling te bewijzen gebruik je transfiniete inductie. Dit houdt in dat je veronderstelt dat (beide luiken van) stelling 0 reeds geverifieerd zijn voor alle getallen y die vóór x geconstrueerd werden. In het bijzonder neem je aan dat x_L \leq x_L, en idem voor x_R. In een klassiek bewijs door inductie moet je vooraf nog bewijzen dat de stelling voldaan is voor één of andere startwaarde van de veranderlijken. In de theorie van Conway is dit onnodig, omdat alle getallen uiteindelijk teruggaan op de lege verzameling en je aan een hypothetisch element van de lege verzameling elke denkbare eigenschap mag toekennen.

Bewijs. Stel, voor een tegenspraak, dat \exists x_L:x\leq x_L. Volgens definitie (1) betekent dit dat \forall x'_L:x'_L < x_L, en in het bijzonder x_L < x_L \,, wat in tegenspraak is met onze inductiehypothese. Analoog leidt de veronderstelling dat \exists x_R:x_R\leq x eveneens tot een tegenspraak en luik (1) is bewezen.

Stel vervolgens, voor een tegenspraakin luik (2), dat \exists x: x<x. Volgens definitie (2) geldt dan dat \exists x_L:x\leq x_L, of \exists x_R:x_R\leq x. Maar beide zijn in tegenspraak met luik (1). Hiermee is stelling 0 volledig bewezen.

Merk op dat dit kort en elegant bewijs vraagt dat je beide luiken van stelling 0 samen bewijst. Ook de gebruikte inductieredenering is heel bijzonder. In laatste instantie komt die er op neer dat een hypothetisch tegenvoorbeeld voor de te bewijzen stelling nieuwe tegenvoorbeelden oplevert van steeds vroeger en vroeger geconstrueerde getallen. Logisch verder redenerend kom je uiteindelijk tot de conclusie dat een uitspraak van de vorm

\exists x\in \empty: \dots

waar moet zijn. Maar dat is absurd aangezien een lege verzameling geen elementen heeft.

Stelling 1[bewerken]

De orderelatie '\leq' is transitief op אo, of nog:

\forall x,y,z: x \leq y ~ \mbox{en} ~ y\leq z \Rightarrow x\leq z

Bewijs. Wegens inductie mag je veronderstellen dat de stelling waar is van zodra ook maar een van de getallen x, y of z vervangen wordt door een eerder geconstrueerd getal. Stel dus, voor een tegenspraak, dat x\leq y en y \leq z maar x \not \leq z\,. Wegens definitie (2) geldt dan dat

\exists x_L: z \leq x_L of \exists z_R: z_R \leq x.

In het eerste geval krijgen we dat y\leq z \leq x_L. Wegens inductie volgt hieruit dat y\leq x_L. Maar dat is in tegenspraak met x \leq y, want dat laatste houdt in (definitie (2)) dat \forall x_L:x_L<y. Analoog leidt het tweede geval tot z_R\leq x \leq y, waaruit, wegens inductie, z_R\leq y, hetgeen in tegenspraak is met y\leq z. Hiermee is ook stelling 1 bewezen.

Stelling 2[bewerken]

De orderelatie '\leq' is totaal op אo, of nog:

\forall x,y: x\leq y ~ \mbox{of} ~ y\leq x

Bewijs. Eerst bewijs je het speciaal geval waarin y een van de opties x_L\, of x_R\, van x is. Stel dat y=x_L\,. Omdat je al weet dat x_L<x\, , m.a.w. dat x \not \leq x_l, moet je bewijzen dat x_L \leq x. Je formuleert opnieuw een inductiehypothese, in dit geval dat x_{LL} \leq x_L. Stel, om een tegenspraak te bekomen, dat x_L\not \leq x. Dan weet je (definitie (2)) dat ofwel \exists x_{LL}:x \leq x_{LL}, ofwel \exists x_R: x_R \leq x_L. In het eerste geval besluit je, wegens inductie en de transitieve eigenschap, dat x \leq x_L, in tegenspraak met stelling 0. En het tweede geval (\exists x_R: x_R \leq x_L) is in tegenspraak met de voorwaarde in definitie (1) van getallen. Hieruit besluit je dat wel degelijk x_L \leq x, en geheel analoog dat ook x \leq x_R.

Het algemeen geval is nu eenvoudig. Stel dat x en y twee getallen zijn en dat y \not \leq x. Als \exists y_L: x \leq y_L, dan is wegens y_L \leq y en distributiviteit ook x \leq y. Als \exists x_R:x_R \leq y, dan is wegens x \leq x_R en distributiviteit opnieuw x \leq y. Hiermee is ook stelling 2 volledig bewezen.

Nu alle eigenschappen van de orderelatie geverifieerd zijn mag je ongelijkheden in אo precies zo behandelen als in de meer vertrouwde context van de reële getallen. Zo heb je enkele bijkomende transitieve eigenschappen van de vorm

x<y \mbox{ en } y<z \Rightarrow x<z
x<y \mbox{ en } y\leq z \Rightarrow x<z

Verder is het eenvoudig na te gaan dat in alle voorbeelden van getallen in de sectie over recursiviteit de voorwaarde x_L < x_R\, in definitie (1) wel degelijk voldaan is.

Gelijkheid en identiteit[bewerken]

Een derde essentieel kenmerk van Conway's theorie van getallen is dat gelijkheid een gedefinieerd begrip is, dat moet onderscheiden worden van identiteit. Twee getallen x en y zijn identiek

(x\equiv y) als L_x = L_y\, en R_x=R_y\,

(als verzamelingen, als zij met andere woorden dezelfde elementen bevatten). Daarentegen betekent

x=y\,

niets meer of minder dan dat beide ongelijkheden x \leq y en y\leq x voldaan zijn. Het is niet moeilijk een voorbeeld te vinden dat het verschil tussen gelijkheid en identiteit illustreert. Stel

x=\{1/2|2\}\,, met 1/2 \equiv \{0|1\} en 2\equiv\{1|~\}.

Stelling 0 toont dat x tussen 1/2 en 2 gelegen is, en naïef zou je kunnen denken dat x=5/4, het rekenkundig gemiddelde van

 x_L\, en  x_R\, .

Dat blijkt niet het geval te zijn en we laten zien dat x=1\equiv\{0|~\}, hoewel x\not\equiv 1.

Voor een x>1\, bestaat er een x_L\, zodat 1\leq x_L (maar de enige x_L\, hier is 1/2=\{0|1\}<1 wegens stelling 0) of een 1_R \leq x

(maar deze ongelijkheid is zonder voorwerp, want R_1=\empty) en je kan besluiten dat

x\leq 1. Voor een x<1\, bestaat er 1_L\, zodat x\leq 1_L (maar de enige 1_L\, is 0<x) of een x_R \leq 1 (maar de enige x_R\, is 2>1)

en je mag besluiten dat ook 1 \leq x. Deze twee ongelijkheden samen maken dat x=1.

Het is eenvoudig in te zien dat de gelijkheid een equivalentierelatie vormt op  \bold{\aleph_0} en een getal in de theorie van Conway is dus Equivalentieklasse (met hoofdletter!) van deze relatie.

Optelling in אo[bewerken]

Definitie[bewerken]

De optelling van getallen wordt eveneens recursief gedefinieerd.

Definitie:

\forall x,y\in\bold{\aleph_0}:x+y = \{x_L+y, x+y_L|x_R+y,x+y_R\}

Voorbeelden:

  • 1+1={0| }+{0| }={1+0,0+1| }, en als we aannemen dat 0 neutraal is krijgen we 1+1={1| }, het getal dat we eerder reeds met 2 hebben geïdentificeerd.
  • 1+1/2 = {0| } + {0|1} = {0+1/2,1+0|1+1}={1/2,1|2}={1|2}
  • 1/2 + 1/2 = {0|1}+{0|1}= {0+1/2,1/2+0|1+1/2,1/2+1}={1/2|{1|2}}, en je kan nagaan dat dit laatste in een gelijkheidsrelatie staat tot {0| }=1.

Het is duidelijk dat de verdienste van Conway's theorie niet ligt in de eenvoud van het rekenwerk.

Groepseigenschappen[bewerken]

De meeste groepseigenschappen laten zich gemakkelijk bewijzen door inductie. Twee eenvoudige voorbeelden moeten hier volstaan:

  • Nul is neutraal voor de optelling:
0+x = \{0+x_L|0+x_R\}=\{x_L|x_R\}=x\,
  • Commutativiteit:
x+y=\{x_L+y,x+y_L|x_R+y,x+y_R\}=\{y+x_L,y_L+x|y+x_R,y_R+x\}=y+x\,

In Conway's terminologie zijn dit 1-lijnsbewijzen: men herleidt een eigenschap van x, y,\dots tot een analoge eigenschap voor de opties x_L, y_L,\dots en  x_R, y_R, \dots met de definitie, waarna de eigenschap geldt wegens inductie. Het ene lijntje voor associativiteit is net zo eenvoudig als dat voor commutativiteit, maar wel een stuk langer en we laten het hier achterwege.

Dat elk getal ook een tegengestelde heeft voor de optelling is iets moeilijker. Dat hoeft niet te verbazen. Elke eigenschap van getallen die enkel met al-quantoren kan geschreven worden laat zich door inductie herleiden tot een eigenschap van de lege verzameling, en is daardoor makkelijk te bewijzen. Vraag je naar het bestaan van een getal x, met deze of gene eigenschappen, dan wordt het een stuk moeilijker, omdat het niet altijd evident is met welke verzamelingen L_x\, en R_x\, je het gevraagde getal moet construeren. Voor de constructie van het getal -x\, valt het nog mee, maar we onthouden ons van details:

Definitie:

\forall x \in \bold{\aleph_0}: -x = \{-x_R|-x_L\}.

Voorbeeld: -3/2 = -{1|2} = {-2|-1}.

Het is dan vrij eenvoudig om de gebruikelijke eigenschappen van tegengestelde getallen af te leiden.

Vermenigvuldiging in אo[bewerken]

Definitie[bewerken]

Ook het product in אo krijgt een recursieve definitie:

Definitie:

\forall x,y\in\bold{\aleph_0}:xy = \{x_Ly+xy_L-x_L x_L , x_Ry + xy_R - x_Ry_R|x_Ly + xy_R - x_Ly_R,x_Ry +xy_L - x_Ry_L\}

Om enig inzicht in deze definitie te krijgen is ervaring met de gebruikelijke definities en eigenschappen van getallen onontbeerlijk. Aangezien je reeds weet dat

x_L<x<x_R\, en y_L<y<y_R\, moet ook
(x-x_L)(y-y_L)>0.\,

Deze ongelijkheid kan herschreven worden tot

x_Ly+xy_L-x_L x_L <xy,\,

wat een van de linker-opties van xy\, verklaart. Als je

(x-x_L)(y-y_R)<0\,

herschrijft als

xy<x_Ly + xy_R - x_Ly_R\,

vind je de motivatie voor een van de rechteropties van xy\,. De andere opties worden op analoge wijze verklaard. Dit is de rode draad die alle definities in de theorie van Conway met elkaar verbindt: ze drukken stuk voor stuk de meest fundamentele orde-eigenschappen die je van getallen, hun relaties en hun bewerkingen mag verwachten. Het verrassende nieuwe inzicht dat Conway brengt is dat deze orde-eigenschappen de volledige structuur van een geordend veld vastleggen. Voor een uitgebreidere discussie van dit punt, zie de literatuurlijst onderaan.

Eigenschappen van het product[bewerken]

De basiseigenschappen voor de vermenigvuldiging worden op analoge wijze bewezen als die voor de som. Een aantal eigenschappen kunnen bewezen worden als identiteit:

x 0\equiv 0,~x1\equiv x,~x y\equiv y x,~(-x) y\equiv x(-y) \equiv -(x y).

Transitieve en associatieve eigenschappen nemen de vorm aan van gelijkheden, maar vormen in het algemeen geen identiteiten:

(x+y)z = xz + yz,~(xy)z = x(yz).

Al deze eigenschappen hebben 1-lijnsbewijzen.

Vervolgens wordt aangetoond dat het product xy van twee getallen x en y wel degelijk zelf aan de definitie van een getal voldoet en dat, als \, x_1=x_2, dan ook \,x_1y=x_2y. De gebruikelijke orde-eigenschappen van het product tenslotte kunnen allemaal herleid worden tot speciale gevallen van de stelling:

Stelling[bewerken]

Als x_1 \leq x_2 en y_1\leq y_2 dan is x_1y_2+x_2y_1 \leq x_1y_1+x_2y_2.

Hiermee is alles voorhanden om de conclusie te mogen trekken dat אo inderdaad een totaal geordend Veld vormt, op één cruciaal punt na: er moet nog aangetoond worden dat elk getal x\, een invers getal \,1/x heeft voor vermenigvuldiging. In Conway's boek ONAG wordt uitgelegd hoe het aanvankelijk allesbehalve duidelijk was hoe men een 'genetische' definitie (in termen van klassen L_x\, en R_x\,) van het product kon geven, en hoe de genetische definitie van \,1/x nog eens een jaar op zich liet wachten.

Vakliteratuur[bewerken]

  • (en) J. H. Conway, On Numbers and Games (ONAG), Academic Press 1976
  • (en) J. H. Conway, All games bright and beautiful (AGBB), Amer. Math. Monthly, 84(1977)
  • (en) E. R. Berlekamp, J. H. Conway, R. K. Guy, Winning Ways, Academic Press 1982
  • (en) D. E. Knuth, Surreal Numbers, Addison-Wesley 1974