Totale orde

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Schematische weergave van een totale of lineaire orde. Merk op dat alleen de transitief-reflexieve reductie getoond wordt.

In de wiskunde is een totale orde of lineaire orde een tweeplaatsige relatie die antisymmetrisch, transitief en totaal (of connex) is. De ordening die aldus aan de elementen in een verzameling opgelegd wordt, is het formele equivalent van het alledaagse begrip volgorde.

Definitie[bewerken]

Een totale orde of lineaire orde is een homogene tweeplaatsige relatie ≤, waarvoor geldt dat

  • (antisymmetrie) voor alle xy \in X geldt: als x ≤ y en y ≤ x, dan x = y,
  • (transitiviteit) voor alle xyz \in X geldt: als x ≤ y en y ≤ z, dan x ≤ z, en
  • (totaliteit) voor alle xy \in X geldt dat x ≤ y of y ≤ x (of beide),

waarbij X het domein van ≤ is.

De functies min en max[bewerken]

  • min ( a , b ) is a als ab, en anders b
  • max ( a , b ) is b als ab, en anders a

De functies kunnen ook meer argumenten hebben. Ook kan er een parameter, eventueel met domein, onder de "min" of "max" staan, met daarachter een uitdrukking die van de parameter afhangt.

Het betekent steeds het kleinste en grootste element. Als de verzameling waarden oneindig groot is bestaan deze niet altijd.

De functies hebben de eigenschap dat toepassen van een monotoon niet-dalende functie op de argumenten hetzelfde oplevert als het toepassen van die functie op het resultaat. Bij een monotoon niet-stijgende functie verandert min in max en omgekeerd.

Zie ook inf en sup.

Zie ook[bewerken]