P-adisch getal

In de getaltheorie, een deelgebied van de wiskunde, werden de p-adische getalsystemen in 1897 voor het eerst beschreven door Kurt Hensel. Voor elk priemgetal p, breidt het p-adische getallensysteem het gewone rekenen met rationale getallen op een andere manier uit dan de meer bekende uitbreiding van het rationale getallensysteem naar de reële- en complexe getallensystemen. Het p-adische getalsysteem vormt dus een alternatief getallensysteem. In de getaltheorie spelen p-adische getallensystemen een fundamentele rol.

Deze uitbreiding bestaat uit een alternatieve interpretatie van het begrip van absolute waarde. De introductie van p-adische getallen werd vooral ingegeven door een poging om de ideeën en technieken van machtreeksen ook in de getaltheorie in te voeren. De invloed van p-adische getallen strekt zich nu echter veel verder uit. Het onderzoeksgebied van p-adische analyse biedt voor p-adische getallensystemen bijvoorbeeld een alternatieve vorm van wiskundige analyse.

Meer formeel uitgedrukt voor een gegeven priemgetal p is het veld Q_p van p-adische getallen een vervollediging van de rationale getallen. Aan het veld Q_p wordt een speciale topologie, de zogenaamde p-adische norm, toegekend, die is afgeleid van een metrische ruimte, die zelf weer is afgeleid van een alternatieve valuatie van de rationale getallen. Deze metrische ruimte is volledig in die zin dat iedere Cauchyrij naar een punt in Q_p convergeert. Deze eigenschap staat de ontwikkeling van een wiskundige analyse op Q_p toe.

Het is de interactie van deze analytische en algebraïsche structuren, die de p-adische getallensystemen in de praktijk hun kracht en nut geven. Het p-adische getalsysteem zorgt voor een nieuw en dieper inzicht in de grondbeginselen van de analyse, op een vergelijkbare manier als de ontdekking van de niet-Euclidische meetkunde dat deed voor de meetkunde.

De p-adische norm

De norm $\| x \|$ van een rationaal getal x kan opgevat worden als een soort maat of grootte van het getal. In deze context wordt een norm ook aangeduid met de term waardering en zal men eisen dat

$\|x\cdot y\|=\|x\|\cdot \|y\|~~(\dagger)$.

Anders dan de absolute waarde $|\cdot|$ als gebruikelijke norm, beschouwt de p-adische norm

$\|\cdot\|_p$

een geheel getal n kleiner naarmate het meer priemfactoren p bevat. Als k het aantal priemfactoren p in de ontbinding in priemfactoren van n is, wordt aan n de p-adische norm

$\|n\|_p = a^{-k},$

toegekend, waarin a een getal groter dan 1 is. De concrete waarde van a bepaalt als het ware de gebruikte lengte-eenheid en doet verder niet echt ter zake. Met deze definitie is vanzelf aan de multiplicatieve eigenschap $(\dagger)$ voldaan. Er geldt dat $\|0\|_p=0$, en de norm van breuken wordt berekend volgens de regel $\|m/n\|_p=\|m\|_p/\|n\|_p$.

Op de gebruikelijke wijze wordt door de p-adische norm een p-adische afstandsfunctie geïnduceerd.

Voorbeelden

In numerieke voorbeelden op deze pagina is p = 5 en a = 2, tenzij expliciet anders vermeld.

• De getallen ... -2, -1, 1, 2, 3, 4, 6, ... die onderling ondeelbaar zijn met 5 hebben de 5-adische norm 2⁰ = 1.
• De getallen ... -10, -5, 5, 10, 15, 20, 30, ... zijn deelbaar door 5, maar niet door 25, en hebben de 5-adische norm $2^{-1}= \begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix}$.
• De getallen ... -50, -25, 25, 50, 75, 100, 150, ... krijgen de norm $2^{-2}= \begin{matrix}\frac{1}{4}\end{matrix}$.
• Enz.
• $\left|\left|\frac{3}{250}\right|\right|_5=8$, vanwege de factor $5^3$ in de noemer.

Of een rij al dan niet een Cauchy-rij is, hangt af van de gebruikte afstand. Een mooi voorbeeld is de meetkundige reeks

$1+5+5^2+5^3+\ldots+5^n+\ldots$.

Deze reeks is niet convergent in de gebruikelijke norm - de algemene term $5^n$ gaat zelfs niet in norm naar nul -, maar is een Cauchy-rij en zelfs convergent in de 5-adische norm. De som van de eerste n termen is

$\frac{1-5^n}{1-5}=-\frac{1}{4} +\frac{5^n}{4}$.

De 5-adische norm van de laatste term is $2^{-n}$, wat naar nul gaat. Dus is de (5-adische) limiet van deze reeks (met strikt positieve termen!) gelijk aan $-\frac {1}{4}$.

De p-adische normen hebben in essentie dezelfde eigenschappen als de absolute waarde. In plaats van de zogenaamde driehoeksongelijkheid geldt zelfs de sterkere ongelijkheid:

$\|x \pm y\|_p \leq \max (\|x\|_p,\|y\|_p)$.

Uit deze ongelijkheid volgt meteen dat $\|nx\|_p \leq \|x\|_p~(n\in \mathbb{N})$. Men zegt in dit verband dat de p-adische norm niet-Archimedisch is. Een belangrijk gevolg hiervan betreft de convergentie van oneindige reeksen. In $\mathbb{Q}_p$, en meer algemeen in elke complete ruimte met een niet-Archimedische norm, is een oneindige reeks slechts dan convergent als haar algemene term naar nul gaat. Dit staat in schril contrast met de situatie in $\mathbb{R}$, waar de grens tussen convergente en divergente reeksen veel moeilijker te trekken valt.

Met de absolute waarde en de p-adische normen zijn in essentie alle normen op de rationale getallen gekend. Men heeft de stelling dat elke norm op $\mathbb{Q}$ die verenigbaar is met de optelling en vermenigvuldiging equivalent is met de absolute waarde, een p-adische norm of de triviale norm die $\|0\|=0$ en $\|x\|=1 ~ (x\ne 0)$ stelt (Ostrowski, 1918).

p-adische ontwikkeling van rationale getallen

Beschouw een oneindige reeks van stijgende machten $p^k$ met coëfficiënten $a_k\in\mathbb{N}$:

$S=a_n p^n + a_{n+1}p^{n+1}+\cdots+a_k p^k +\cdots~~(n\in\mathbb{Z})$

Als de rij $(a_k)$ een periodieke staartrij heeft convergeert S p-adisch naar een rationaal getal. Bijvoorbeeld:

	$\frac{4}{25}+\frac{1}{5}+2+1\cdot 5+2\cdot 5^2 + 1\cdot 5^3 + 2\cdot 5^4+\cdots$
=	$\frac{4}{25} + \left(\frac{1}{5}+2\right)(1+5^2+5^4+\cdots)$
=	$\frac{4}{25} + \frac{11/5}{1-25} \in\mathbb{Q}$

Aangezien men ook de coëfficiënten $a_k$ kan ontwikkelen in machten van p kan men zich beperken tot reeksen met $a_k \in \{0,1, 2, \dots, p-1\}$, de p-adische cijfers. Men noteert een dergelijke som als een (eventueel oneindig) decimaal getal $(a_n a_{n+1}\dots a_0,a_1 a_2\cdots)_p$, ook wel zonder de index p als het talstelsel waarin men werkt duidelijk is uit de context. Soms schrijft men de rij p-adische cijfers in de omgekeerde volgorde, zodat men een oneindige naar links lopende cijferreeks krijgt. De eerste schrijfwijze sluit misschien iets beter aan bij de p-adische logica, waarin grote machten van p een kleine norm toegewezen krijgen.

Omgekeerd kan men aantonen dat elk rationaal getal op unieke wijze kan geschreven worden als een (eventueel oneindig doorlopend) p-adisch decimaal getal, met een periodieke staartrij van decimalen (repeterende decimale breuk). Bijvoorbeeld:

$\frac{1}{3}=(2,313131\cdots)_5 = 2+5\cdot \frac{3+1\cdot 5}{1-25}$

$\frac{1}{2}=(3,222222\cdots)_5 = 3+5\cdot\frac{2}{1-5}$

$\frac{5}{7}=(0,3302142302142\cdots)_5 = 5\left(3+5\cdot\frac{3+2\cdot 5^2+5^3+4\cdot 5^4 +2\cdot5^5}{1-5^6}\right)$

De getallen met een afbrekende p-adische ontwikkeling zijn de gehele getallen en de breuken met noemer $p^k~(k\in\mathbb{N})$. In veel opzichten gedragen p-adische decimale getallen zich regelmatiger dan onze gebruikelijke decimale getallen. Zo is de p-adische schrijfwijze inderdaad uniek, terwijl met de gebruikelijke norm het getal 1 zowel als 1,0000... als 0,9999.... kan geschreven worden. Verder is er geen nood aan, en zelfs geen plaats voor, een $(-)$-teken.

De verzameling $\mathbb{Q}_p$ kan nu gekarakteriseerd worden als de verzameling van alle mogelijke, al of niet repeterende p-adische decimale getallen. Het is duidelijk dat er een één-eenduidig verband bestaat tussen de verzameling $\mathbb{Q}_p$ en de verzameling van strikt positieve reële getallen, geschreven in het p-tallig stelsel. $\mathbb{Q}_p$ en $\mathbb{R}$ hebben dus dezelfde kardinaliteit. Dat wil natuurlijk niet zeggen dat het dezelfde getallenverzamelingen zijn. Niet alleen hebben ze een radicaal verschillende norm (en dus topologie), ook het rekenen gebeurt volgens andere regels, zoals uitgelegd in de sectie p-adisch cijferen.

Merk op dat als de p-adische ontwikkeling van $x\in\mathbb{Q}_p$ begint met $a_n p^n$, de macht $p^n$ meteen ook de grootste macht van p is die x deelt, zodat $||x||_p=a^{-n}$. De norm van een p-adisch getal x wordt m.a.w. enkel bepaald door de éérste van nul verschillende decimaal in zijn p-adische cijferreeks.

Motivatie

Men kan heel wat leren over de gehele getallen door ze te reduceren modulo een priemgetal p. Dat houdt in dat men alle getallen identificeert die dezelfde rest hebben bij deling door p. Voor p=5 bijvoorbeeld maakt men abstractie van alle verschillen tussen de getallen ..., -7, -2, 3, 8, ... die allemaal rest 3 hebben bij deling door 5. Men houdt zo slechts 5 zogenaamde restklassen over, die men arbitrair aanduidt met 5 vertegenwoordigers, bijvoorbeeld 0, 1, 2, 3 en 4.

Voor sommige problemen is dit een te grove benadering. Men kan dan proberen te werken modulo $p^2$. Voor p=5 heeft men dan $5^2=25$ verschillende restklassen. De getallen -2 en 3, die niet te onderscheiden zijn modulo 5 zijn dat wel modulo 25. Men ziet als het ware meer details in de verzameling $\mathbb{Z}$. Is dit nog niet genoeg, dan kan men modulo $p^3$ werken, enzovoort. Het is alsof men $\mathbb{Z}$ onder een microscoop bekijkt met een steeds sterkere vergroting. Hoe groter de macht van p die men gebruikt hoe meer details men ziet. Getallen die een grote macht van p verschillen zijn moeilijk van elkaar te onderscheiden. Voor het modulorekenen liggen ze als het ware erg dicht bij elkaar.

De p-adische norm lijkt bij een eerste kennismaking een kunstmatig en vergezocht concept, dat volledig in strijd is met onze intuïties over wat groot en klein is in de gehele getallen. We zien nu dat deze norm op een natuurlijke manier kwantificeert hoe gemakkelijk je met modulorekenen het verschil kan zien tussen twee getallen.

p-adisch cijferen

Berekeningen met p-adische decimale getallen vragen even wennen, maar zijn niet moeilijk. Men moet voor ogen houden dat p-adische decimalen in zekere zin achterstevoren genoteerd worden, vergeleken met de gebruikelijke, tiendelige decimalen. Het volstaat om de volgende regels in acht te nemen:

1. Alle berekeningen gebeuren met grondtal p (in het p-tallig stelsel).
2. De berekeningen beginnen met het meest linkse cijfer en verlopen daarna van links naar rechts.
3. Zowel 'overdragen' als 'ontlenen' doe je naar rechts in plaats van naar links.

Enkele voorbeelden (met grondtal p=5) moeten hier volstaan. Het helpt als je voor ogen houdt dat het cijfer 4 in het 5-tallig stelsel dezelfde rol speelt als het cijfer 9 in ons 10-tallig stelsel. Alle decimale breuken zijn p-adisch.

Een optelling: Een aftrekking: 'Verandering van teken'

. ...
21,03 341,14 0,00000.......
+43,21 -23,02 -0,03142
------ ------ ---------------
10,34 323,02 0,023024444...

Bij de aftrekking is in de kolom voor het decimaalteken ('de komma') een ontlening nodig. Hierdoor verandert de waarde van het cijfer 1 vóór de komma in 1+5=6, en die van het cijfer 1 na de komma in 0. Bij de 'tekenverandering' treedt vanaf het tweede cijfer na de komma een oneindige reeks ontleningen op. Hierdoor krijgt het resultaat een oneindige staart van cijfers 4. Uit het voorbeeld blijkt de volgende regel voor 'tekenverandering':

• Vervang elk cijfer na de eventuele leidende nullen in het complement t.o.v. 4
• Tel 1 op in de eerste kolom na de leidende nullen.

In het bijzonder is $-1=(4,4444\cdots)_5$, wat je kan verifiëren door in beide leden 1 op te tellen.

Een vermenigvuldiging: Een staartdeling (op z'n Belgisch):

3,14 23,341 | 42
×2,43 22 1 |------
----- ---- | 3,4442
1 331 1 24
2123 1 12
4422 ----
-------- 121
1,04313 112
---
1444444444...
112
-------------
324444444...
301
------------
23444444...

De deling geeft het quotiënt van $(23,341)_5$ bij deling door $(42)_5 = 2+4/5 =14/5$ op vijf beduidende cijfers als $(3,4442)_5$, met een rest van $(0,00023444...)_5$. De p-adische staartdeling verloopt regelmatiger dan een reële staartdeling, waar de opeenvolgende cijfers van het quotiënt van links naar rechts verschijnen, maar waar de tussentijdse producten van rechts naar links moeten berekend worden. Let ook op de plaats van de komma in het quotiënt.

Het cijferwerk laat op aanschouwelijke wijze zien dat het lichaam $\mathbb{Q}_p$ niet-geordend is, dat wil zeggen er bestaat geen ordening van de p-adische getallen die verenigbaar is met de optelling en vermenigvuldiging in $\mathbb{Q}_p$.

Kwadraten in de p-adische getallen

Door 'de komma te verschuiven' kan je elk p-adisch getal schrijven als $p^n\cdot x$, met $||x||_p=1$. Het kwadraat hiervan is $p^{2n}\cdot x^2$, waarin ook $x^2$ norm 1 heeft. In een kwadraat neemt de komma dus een even positie in t.o.v. het eerste cijfer.

Als $a_0$ het eerste cijfer is van x, dan is het eerste cijfer van $x^2$ de rest van $a_0^2$ bij deling door p. Men zegt dat het eerste cijfer van $x^2$ een kwadratische rest modulo p is. Het is bekend uit het modulorekenen dat slechts de helft van de p-adische cijfers $\{1, 2, \dots, p-1 \}$ kwadratische resten zijn.

Men kan aantonen dat elk getal in $\mathbb{Q}_p$ dat aan de twee voorwaarden hierboven voldoet ook effectief een kwadraat is. Met andere woorden, we hebben de stelling:

Een getal $x \in\mathbb{Q}_p$ is een kwadraat $\Leftrightarrow$

1) het eerste cijfer van x is een kwadratische rest modulo p

2) $x=p^{2n}\cdot y$, met $||y||_p=1$.

Voorbeeld: de kwadraten van 1, 2, 3 en 4 in het 5-tallig stelsel zijn respectievelijk 1, 4, 14 en 31. De resten bij deling door 5 zijn 1, 4, 4 en opnieuw 1, zodat 1 en 4 kwadratische resten zijn, maar 2 en 3 niet. Je kan nu de kwadraten in $\mathbb{Q}_5$ gemakkelijk herkennen:

$32=(2,11)_5$ :	Geen kwadraat (1ste cijfer is 2, geen kwadratische rest)
$26=(1,01)_5$ :	Wel een kwadraat
$6/5=(11)_5$ :	Geen kwadraat (bevat een oneven macht van p=5)
$(0,0414414441...)_5$ :	Wel een kwadraat (komma in tweede positie vóór het eerste cijfer)

Merk op dat $-1=(4,44444 \dots)_5$ een kwadraat is in $\mathbb{Q}_5$. Eén van de wortels is $i = (3,3231021\dots)_5$, de andere $-i=(2,1213423 \dots)_5$, wat je kan narekenen met p-adisch cijferen. Er is geen enkele reden om deze getallen niet te identificeren met de complexe getallen $\pm i$. In $\mathbb{Q}_5$ is het dus mogelijk om een (p-adisch) decimale ontwikkeling te berekenen van de imaginaire getallen $\pm i$.

De getallen $t_1=1$, $t_2=-i=2,12...$ , $t_3=i=3,32...$ en $t_4=-1=4,44...$ hebben allemaal norm 1 en beginnen achtereenvolgens met de cijfers 1, 2, 3 en 4. Men kan aantonen dat elk stel van vier dergelijke getallen, samen met 0, kan gebruikt worden als een alternatief stel cijfers, in de zin dat elk getal $\mathbb{Q}_5$ op unieke manier kan geschreven worden als

$b_n p^n + b_{n+1}p^{n+1}+\cdots+b_k p^k +\cdots~~(n\in\mathbb{Z},~b_k \in\{0,t_1,t_2,t_3,t_4\})$

Meer algemeen bevat, voor elk priemgetal p, de verzameling $\mathbb{Q}_p$ de $(p-1)$-ste (complexe) wortels $t_k$ van 1: de Teichmuller cijfers. Deze hebben noodzakelijk norm 1, en beginnen elk met een ander p-tallig cijfer. Elk p-adisch getal kan op unieke manier geschreven worden als een oneindige som van termen $t_k p^k$. Het gebruik van Teichmuller cijfers maakt o.a. het berekenen van producten en quotiënten eenvoudiger. Omdat ze een cyclische groep vormen voor vermenigvuldiging is er geen sprake meer van 'overdracht' bij het cijferen.

Het p-adisch analoog van de complexe getallen

Het is welbekend dat heel wat vraagstukken over reële getallen gemakkelijker te behandelen zijn in de ruimere context van de complexe getallen. De reden is dat $\mathbb{R}$ weliswaar metrisch compleet is, maar niet algebraïsch gesloten (dat wil zeggen: niet alle veeltermen over $\mathbb{R}$ hebben ook wortels (of nulpunten) in $\mathbb{R}$). Het lichaam $\mathbb{C}$ is zowel metrisch compleet als algebraïsch gesloten, en vormt zo de ideale structuur om aan analyse in te doen.

De situatie in $\mathbb{Q}_p$ is helemaal analoog. In eerste instantie zal men daarom de algebraïsche sluiting $\overline{\mathbb{Q}_p}$ van de p-adische getallen construeren. In dit ruimer lichaam heeft elke veelterm ook een volledig stel wortels. In het reële geval verloopt deze procedure relatief eenvoudig. Men voegt aan $\mathbb{R}$ het getal i toe als wortel van de vergelijking x²+1=0. Daarna definieert men $\mathbb{C}$ als de verzameling van alle getallen van de vorm $a+bi ~(a,b \in \mathbb{R})$ en men vindt dat deze verzameling zowel metrisch als algebraïsch compleet is. Merk op dat $\mathbb{C}$ op een natuurlijke manier een vectorruimte vormt over $\mathbb{R}$ van dimensie twee.

In $\mathbb{Q}_p$ is de zaak ingewikkelder. Men moet als het ware een oneindig aantal onafhankelijke ' p-adisch-imaginaire' elementen toevoegen om een algebraïsch gesloten uitbreiding $\overline{\mathbb{Q}_p}$ te verkrijgen. Naar analogie met het reële geval vormt $\overline{\mathbb{Q}_p}$ een vectorruimte over $\mathbb{Q}_p$, maar dan wel met een oneindige dimensie. Door deze oneindig-dimensionale uitbreiding verliest $\mathbb{Q}_p$ daarenboven zijn metrisch compleet karakter. Er zijn m.a.w. in de veel grotere verzameling $\overline{\mathbb{Q}_p}$ opnieuw Cauchyrijen te vinden die niet meer convergeren. Men moet dus een nieuwe metrische vervollediging doorvoeren, waarbij (gelukkig) het algebraïsch gesloten karakter van $\overline{\mathbb{Q}_p}$ bewaard blijft . Het eindresultaat is een gigantisch lichaam $\Omega_p$, dat de algebraïsche en metrische eigenschappen van $\mathbb{C}$ imiteert, maar met een sterk afwijkende topologie. In het lichaam $\Omega_p$ bestaan p-adische analogen van analytische functies, maattheorie en dies meer, die echter altijd gelinkt blijven aan de rekenkundige eigenschappen van het onderliggende priemgetal p. Niet zelden krijgen obscure stellingen uit de getaltheorie pas een natuurlijke interpretatie in het kader van de p-adische analyse in $\mathbb{Q}_p$ of $\Omega_p$.

p-adische gehele getallen

De p-adische getallen met p-adische norm ten hoogste 1 heten p-adische gehele getallen. Ze vormen een commutatieve ring met eenheidselement 1, genoteerd $\mathbb{Z}_p.$

Een rationaal getal (breuk) is een p-adisch geheel getal als zijn eenvoudigste noemer niet deelbaar is door p. Er zijn echter ook niet-rationale p-adische gehele getallen.

De p-adische gehele getallen vormen een lokale ring met als maximaal ideaal de getallen met norm precies 1 en als breukenlichaam opnieuw $\mathbb{Q}_p.$

Bronnen, noten en/of referenties (en) N. Koblitz p-adic Numbers, p-adic Analysis and Zeta functions (Springer Verlag - 1977). (en) Z.I. Borevich, I.R. Shafarevich Number Theory (Academic Press - 1966).