P-adisch getal

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Getalverzamelingen

Natuurlijke getallen
Gehele getallen
Rationale getallen
Reële getallen
Complexe getallen
Quaternionen
p-adische getallen
Surreële getallen
Transfiniete getallen

Irrationale getallen
Algebraïsche getallen
Transcendente getallen
Imaginaire getallen

In de getaltheorie, een deelgebied van de wiskunde, vormen de p-adische getallen voor elk priemgetal p een uitbreiding van de rationale getallen, geheel anders van aard dan de bekende uitbreidingen naar de reële- en de complexe getallen. In een p-adische uitbreiding zijn de nieuwe elementen de equivalentieklassen van fundamentaalrijen in de p-adische norm. De p-adische getallen werden voor het eerst beschreven door Kurt Hensel in 1897. Zij spelen een belangrijke rol in de getaltheorie.

Deze uitbreiding bestaat uit een alternatieve interpretatie van het begrip van absolute waarde. De introductie van p-adische getallen werd vooral ingegeven door een poging om de ideeën en technieken van machtreeksen ook in de getaltheorie in te voeren. De invloed van p-adische getallen strekt zich nu echter veel verder uit. Het onderzoeksgebied van p-adische analyse biedt voor p-adische talstelsels bijvoorbeeld een alternatieve vorm van wiskundige analyse.

Overweging[bewerken]

Hoe ziet een p-adisch getal eruit? Om een vergelijking met gewone decimale getallen te kunnen maken, is in deze inleiding p = 10 gekozen. Weliswaar is dit geen priemgetal, maar voor het begrip is dat niet nodig.

De gewone uitbreiding van de rationale getallen naar de reële getallen geeft in de decimale voorstelling als uitbreiding getallen met een eindig aantal cijfers vóór de komma en een oneindig aantal decimalen, getallen na de komma. Door steeds meer decimalen op te schrijven wordt de benadering steeds nauwkeuriger. In de "10-adische" uitbreiding komen getallen voor met een eindig aantal decimalen, maar een oneindig aantal cijfers vóór de komma. Door in een 10-adisch getal steeds meer cijfers vóór de komma op te schrijven wordt de benadering steeds nauwkeuriger. Zo ligt het "getal" \ldots333{,}21 tussen 333{,}21 en 433{,}21, die in "10-adische" zin maar 10^{-3} verschillen: \|433{,}21-333{,}21\|_{10}=\|1000\|_{10} = 1/1000.

Met nog een cijfer erbij ligt het tussen 3333{,}21 en 4333{,}21, die in "10-adische" zin 10^{-4} verschillen: \|4333{,}21-3333{,}21\|_{10}=\|10000\|_{10} = 1/10000. Ook ligt het tussen 2333{,}21 en 4333{,}21, die overigens ook \|4333{,}21-2333{,}21\|_{10}=\|20000\|_{10} = 10^{-4} verschillen. Een bijzonderheid is dat in een p-adisch systeem geen minteken nodig is om negatieve getallen te noteren. Het getal \ldots999 bijvoorbeeld stelt het getal -1 voor, immers: \ldots999 + 1 = 0.

p-adisch getalsysteem[bewerken]

In een p-tallige ontwikkeling komen reeksen voor die oneindig doorlopen met afnemende machten van p. Dergelijke reeksen zijn echter in p-adische zin niet convergent. Zij worden vervangen door reeksen die oneindig doorlopen met toenemende machten van p, die in gewone zin divergeren, maar in p-adische zin convergent zijn.

p-tallige ontwikkeling[bewerken]

Elk natuurlijk getal a kan in het p-tallig stelsel worden geschreven als een machtreeks in machten van p met eindig veel coëfficiënten ongelijk aan 0:

a = \sum_{i=m}^n a_i p^i,

waarin 0\leq a_i<p en a_m\neq 0,a_n\neq 0.

Zo is met p=5: 89 = 3\times 25 + 2\times 5 + 4 = 324_5.

Analoog geldt voor een positief rationaal getal q:

q = \sum_{i=-\infty}^n a_i p^i,

met 0\leq a_i<p en a_n\neq 0. Nu kan de reeks eindig of oneindig zijn.

Het wordt genoteerd als:

q = a_na_{n-1}\ldots a_0,a_{-1}a_{-2}\ldots

Met p=5 is:

\frac{326}{125} = \frac{250+75+1}{125} = 2+3\times \tfrac15 + 0\times \tfrac{1}{25}+1\times \tfrac{1}{125}=2{,}301_5

en


\tfrac{3}{7} = \tfrac{15}{7}\times\tfrac15 =

=2\times \tfrac15 + \tfrac{1}{7}\times \tfrac15 =
 
=2\times \tfrac15 + \tfrac{25}{7}\times \tfrac{1}{125} =
 
=2\times \tfrac15 + 3 \times \tfrac{1}{125}+ \tfrac{20}{7}\times \tfrac{1}{625} =

=2\cdot 5^{-1} + 3\cdot 5^{-3} + 2\cdot 5^{-4} + \tfrac{30}{7}\cdot 5^{-5} =

=2\cdot 5^{-1} + 3\cdot 5^{-3} + 2\cdot 5^{-4} + 4\cdot 5^{-5}+ \tfrac{10}{7}\cdot 5^{-6} =

=2\cdot 5^{-1} + 3\cdot 5^{-3} + 2\cdot 5^{-4} + 4\cdot 5^{-5}+ 5^{-6} + \tfrac{3}{7}\cdot 5^{-6} = \cdots = (0{,}\overline{203241})_5

Er zal altijd repetentie optreden; hier is dat het geval voor de stippeltjes.

De berekening laat zich eenvoudiger als volgt opschrijven:


5\times \tfrac{3}{7} = 2 + \tfrac{1}{7}
 
5\times \tfrac{1}{7} = 0 + \tfrac{5}{7}
 
5\times \tfrac{5}{7} = 3 + \tfrac{4}{7}

5\times \tfrac{4}{7} = 2 + \tfrac{6}{7}

5\times \tfrac{6}{7} = 4 + \tfrac{2}{7}

5\times \tfrac{2}{7} = 1 + \tfrac{3}{7},

dus

 \tfrac37 = (0{,}\overline{203241})_5

Op dezelfde manier volgt voor 1/3:


5\times \tfrac 13 = 1 + \tfrac 23
 
5\times \tfrac 23 = 3 + \tfrac 13

dus

 \tfrac 13 = (0{,}\overline{13})_5


p-adische ontwikkeling[bewerken]

Een p-adisch getal a heeft een ontwikkeling:

a = \sum_{i=m}^\infty a_i p^i,

Er zijn verschillende notaties voor p-adisch getallen. Een voor de hand liggende manier is om, net als in het decimale stelsel, de coëfficiënten van links naar rechts in volgorde van afnemende machten van p op te schrijven. Het bovengenoemde getal a wordt dan genoteerd als:

a = (\ldots a_2a_1a_0,a_{-1}a_{-2}\ldots a_m)_p

In overeenstemming met het decimale talstelsel heten de coëfficiënten in de machtreeks, die een p-adisch getal weergeeft, de cijfers van dat getal.

Omdat een p-adisch getal oneindig veel coëfficiënten kan hebben bij de hogere machten van p, kunnen de cijfers naar links oneindig doorlopen. Met p=5 is bijvoorbeeld:

1/3 = \sum_{k=m}^\infty a_k 5^k,

zodat:

1 = 3\times 1/3 = \sum_{k=m}^\infty 3a_k 5^k

Daaruit volgt voor de coëfficiënten (rekenen modulo 5):

3a_0=1, a_0 = 2; 3a_1+1=0, a_1=3; 3a_2+2=0, a_2=1; \text{etc},

dus

1/3 = (\ldots 13132)_5= (\overline{13}2)_5

Verder kan berekend worden (5-tallig):

 \tfrac 23 =2\times \tfrac 13 = 2\times  (\overline{13}2)_5 = (\overline{31}4)_5

En ter controle:

\tfrac 13+\tfrac 23 = (\overline{13}2)_5 + (\overline{31}4)_5= 1

Naar analogie met het decimale stelsel, waarin alleen een oneindige voortzetting naar rechts voorkomt, wordt ook wel een tegenovergestelde notatie gebruikt, en de cijfers van links naar rechts in volgorde van oplopende machten van p geschreven. Wel wordt de coëfficiënt van 1 voor de scheidingskomma geschreven. Het getal 1/3 wordt dan dus genoteerd als:

1/3=(2{,}3131\ldots)_5

Ieder rationaal getal kan op unieke wijze worden geschreven in het p-adisch getalstelsel, eventueel met een repeterend gedeelte. Omgekeerd is elk p-adisch getal met een eindige of repeterend oneindige ontwikkeling een rationaal getal.

Voorbeelden met p=5:

2=(2)_5
8=(130)_5
29=(204)_5
9{,}3=(14{,}11)_5
\tfrac{1}{2} = (\overline{2}3)_5 = 3+5\cdot\frac{2}{1-5}
\tfrac{5}{7} = (\overline{241203}30)_5 = 5\left(3+5\cdot
\frac{2\cdot 5^5 + 4\cdot 5^4 +5^3 +2\cdot 5^2 + 3}{1-5^6}\right)

De getallen met een afbrekende p-adische ontwikkeling zijn de gehele getallen en de breuken met noemer p^k~, k \in \mathbb{N}. In veel opzichten gedragen p-adische decimale getallen zich regelmatiger dan onze gebruikelijke decimale getallen. Zo is de p-adische schrijfwijze inderdaad uniek, terwijl met de gebruikelijke norm het getal 1 zowel als 1,0000... als 0,9999.... kan worden geschreven. Alle getallen kunnen p-adisch zonder minteken worden geschreven.

-1 = (\overline{4})_5 = \frac{4}{1-5}
-2 = (\overline{4}3)_5 = 3+5 \frac{4}{1-5}
-\tfrac{1}{2} = (\overline{2})_5 = \frac{2}{1-5}


De verzameling \Q_p is de verzameling van alle mogelijke, al of niet repeterende p-adische decimale getallen. Er is een eenduidig verband tussen de verzameling \Q_p en de verzameling van strikt positieve reële getallen, geschreven in het p-tallig stelsel. \Q_p en \R hebben dus dezelfde kardinaliteit. Dat wil natuurlijk niet zeggen dat het dezelfde getallenverzamelingen zijn.

De coëfficiënt a_m van de laagste macht van p in de p-adische ontwikkeling van het p-adische getal x\in\Q_p die ongelijk is aan 0, is ook de grootste macht van p die x deelt, zodat de p-adische norm van x gelijk is aan \|x\|_p=a^{-m} en dus alleen bepaald wordt door de positie van het laatste van nul verschillende cijfer in zijn p-adische cijferreeks.

Motivatie[bewerken]

Men kan heel wat leren over de gehele getallen door ze te reduceren modulo een priemgetal p. Dat houdt in dat men alle getallen identificeert die dezelfde rest hebben bij deling door p. Voor p=5 bijvoorbeeld maakt men abstractie van alle verschillen tussen de getallen ..., -7, -2, 3, 8, ... die allemaal rest 3 hebben bij deling door 5. Men houdt zo slechts 5 zogenaamde restklassen over, die men arbitrair aanduidt met 5 vertegenwoordigers, bijvoorbeeld 0, 1, 2, 3 en 4.

Voor sommige problemen is dit een te grove benadering. Men kan dan proberen te werken modulo p^2. Voor p=5 heeft men dan 5^2=25 verschillende restklassen. De getallen -2 en 3, die niet te onderscheiden zijn modulo 5 zijn dat wel modulo 25. Men ziet als het ware meer details in de verzameling \mathbb{Z}. Is dit nog niet genoeg, dan kan men modulo p^3 werken, enzovoort. Het is alsof men \mathbb{Z} onder een microscoop bekijkt met een steeds sterkere vergroting. Hoe groter de macht van p die men gebruikt hoe meer details men ziet. Getallen die een grote macht van p verschillen zijn moeilijk van elkaar te onderscheiden. Voor het modulorekenen liggen ze als het ware erg dicht bij elkaar.

De p-adische norm lijkt bij een eerste kennismaking een kunstmatig en vergezocht concept, dat volledig in strijd is met intuïtieve gedachten over wat groot en klein is in de gehele getallen. Deze norm kwantificeert op een natuurlijke manier hoe gemakkelijk met modulorekenen het verschil tussen twee getallen te zien is.

p-adisch rekenen[bewerken]

Het rekenen met p-adische getallen, voorgesteld op de bovengenoemde wijze, verloopt gewoon als bij decimale getallen, met als verschil dat p-tallig wordt gerekend. Gebruikt men voor de schrijfwijze de tegengestelde richting, dan moet ook de richting van de berekeningen worden omgekeerd.


Kwadraten in de p-adische getallen[bewerken]

Elk p-adisch getal a kan geschreven worden als a=p^n\cdot x, met \|x\|_p=1. Het kwadraat hiervan is a^2=p^{2n}\cdot x^2, waarin ook  \|x^2\|_p=1 . In een kwadraat (van een p-adisch getal) staat het cijfer bij de laagste macht van p verschillend van 0, het eerste cijfer (in de bovengenoemde notatie het meest rechtse), op een even positie t.o.v. de komma.

Als x_0 het eerste cijfer is van x, dan is het eerste cijfer van x^2 de rest van a_0^2 bij deling door p. Men zegt dat het eerste cijfer van  x^2 een kwadratische rest modulo p is. Het is bekend uit het modulorekenen dat slechts de helft van de p-adische cijfers \{1, 2, \dots, p-1 \} kwadratische resten zijn.

Men kan aantonen dat elk getal in \Q_p dat aan de twee voorwaarden hierboven voldoet, ook inderdaad een kwadraat is. Met andere woorden, er geldt de volgende stelling:

Een getal x \in\Q_p is dan en slechts dan een kwadraat als
  1. het eerste cijfer van x een kwadratische rest modulo p is
  2. x=p^{2n}\cdot y, met \|y\|_p=1.


Voorbeelden

De kwadraten van 1, 2, 3 en 4 in het 5-tallig stelsel zijn respectievelijk 1, 4, 14 en 31. De resten bij deling door 5 zijn 1, 4, 4 en opnieuw 1, zodat 1 en 4 kwadratische resten zijn, maar 2 en 3 niet. Je kan nu de kwadraten in \Q_5 gemakkelijk herkennen:

25=(100)_5 : Wel een kwadraat
26=(101)_5 : Wel een kwadraat
27=(102)_5 : Geen kwadraat
29=(104)_5 : Wel een kwadraat
32=(112)_5 : Geen kwadraat (eerste cijfer is 2, geen kwadratische rest)
6/5=(11)_5 : Geen kwadraat (bevat een oneven macht van p=5)
(\ldots 1444144140)_5 : Wel een kwadraat (eerste cijfer in tweede positie vóór de komma)

Merk op dat -1=(\dots 444)_5 een kwadraat is in  \Q_5 . Eén van de wortels is i = (\dots 12013233)_5, de andere -i=(\dots 32431212)_5. Er is geen enkele reden om deze getallen niet te identificeren met de complexe getallen \pm i. In  \Q_5 is het dus mogelijk om een p-adische ontwikkeling te bepalen van de imaginaire getallen \pm i.

De getallen t_1=1, t_2=-i , t_3=i en t_4=-1 hebben alle de norm 1 en beginnen achtereenvolgens met de cijfers 1, 2, 3 en 4. Men kan aantonen dat elk stel van vier dergelijke getallen, samen met 0, kan gebruikt worden als een alternatief stel cijfers, in de zin dat elk getal  \Q_5 op unieke manier kan geschreven worden als

 b_n p^n + b_{n+1}p^{n+1}+\cdots+b_k p^k +\cdots~~(n\in\Z,~b_k \in\{0,t_1,t_2,t_3,t_4\})

Meer algemeen bevat, voor elk priemgetal p, de verzameling  \mathbb{Q}_p de  (p-1)-ste (complexe) wortels  t_k van 1: de Teichmuller cijfers. Deze hebben noodzakelijk norm 1, en beginnen elk met een ander p-tallig cijfer. Elk p-adisch getal kan op unieke manier geschreven worden als een oneindige som van termen  t_k p^k . Het gebruik van Teichmuller cijfers maakt o.a. het berekenen van producten en quotiënten eenvoudiger. Omdat ze een cyclische groep vormen voor vermenigvuldiging is er geen sprake meer van 'overdracht' bij het cijferen.

Het p-adisch analoog van de complexe getallen[bewerken]

Het is welbekend dat heel wat vraagstukken over reële getallen gemakkelijker te behandelen zijn met behulp van de complexe getallen. De reden is dat  \mathbb{R} weliswaar metrisch compleet is, maar niet algebraïsch gesloten, dat wil zeggen dat niet alle polynomen over  \mathbb{R} ook nulpunten in \mathbb{R} hebben. Het lichaam \mathbb{C} is zowel metrisch compleet als algebraïsch gesloten en vormt zo de ideale structuur om aan analyse in te doen.

De situatie in  \mathbb{Q}_p is hetzelfde. In eerste instantie zal men daarom de algebraïsche sluiting \overline{\mathbb{Q}_p} van de p-adische getallen construeren. In deze uitbreiding heeft ieder polynoom ook een volledig stel wortels. In het reële geval verloopt deze procedure relatief eenvoudig. Men voegt aan  \mathbb{R} het getal i toe als wortel van de vergelijking x2+1=0. Daarna definieert men \mathbb{C} als de verzameling van alle getallen van de vorm a+bi, ~a,b \in \mathbb{R}, en men vindt dat deze verzameling zowel metrisch als algebraïsch compleet is. Merk op dat \mathbb{C} op een natuurlijke manier een vectorruimte vormt over \mathbb{R} van dimensie twee.

Maar in \mathbb{Q}_p is de zaak ingewikkelder. Men moet als het ware een oneindig aantal onafhankelijke ' p-adisch-imaginaire' elementen toevoegen om een algebraïsch gesloten uitbreiding \overline{\mathbb{Q}_p} te verkrijgen. Op dezelfde manier als in het reële geval vormt  \overline{\mathbb{Q}_p} een vectorruimte over  \mathbb{Q}_p, maar dan wel met een oneindige dimensie. Door deze oneindig-dimensionale uitbreiding verliest  \mathbb{Q}_p daarenboven zijn metrisch compleet karakter. Er zijn m.a.w. in de veel grotere verzameling  \overline{\mathbb{Q}_p} opnieuw Cauchyrijen te vinden die niet meer convergeren. Men moet dus een nieuwe metrische vervollediging doorvoeren, waarbij (gelukkig) het algebraïsch gesloten karakter van  \overline{\mathbb{Q}_p} bewaard blijft . Het eindresultaat is een gigantisch lichaam  \Omega_p , dat de algebraïsche en metrische eigenschappen van  \mathbb{C} imiteert, maar met een sterk afwijkende topologie. In het lichaam  \Omega_p bestaan p-adische analogen van analytische functies, maattheorie en dies meer, die echter altijd gelinkt blijven aan de rekenkundige eigenschappen van het onderliggende priemgetal p. Niet zelden krijgen obscure stellingen uit de getaltheorie pas een natuurlijke interpretatie in het kader van de p-adische analyse in \mathbb{Q}_p of  \Omega_p .

p-adische gehele getallen[bewerken]

De p-adische getallen met p-adische norm ten hoogste 1 heten p-adische gehele getallen. Ze vormen een commutatieve ring met eenheidselement 1, genoteerd \mathbb{Z}_p.

Een rationaal getal (breuk) is een p-adisch geheel getal als zijn eenvoudigste noemer niet deelbaar is door p. Er zijn echter ook niet-rationale p-adische gehele getallen.

De p-adische gehele getallen vormen een lokale ring met als maximaal ideaal de getallen met norm precies 1 en als breukenlichaam opnieuw \mathbb{Q}_p.

Literatuur[bewerken]

  • (en) N Koblitz Springer. "p-adic Numbers, p-adic Analysis and Zeta functions", 1977.
  • (en) ZI Borevich en IR Shafarevich Academic Press. "Number Theory", 1996.