Staartdeling

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Een staartdeling waarbij 116.331 wordt gedeeld door 17.

Een staartdeling is een algoritme om (op papier) een deling uit te voeren. Bij de aanvankelijke opzet ging het daarbij om de deling van een (meestal groot) (natuurlijk) getal door een kleiner getal[bron?]. Omdat de deling niet hoeft "op te gaan" kan daarbij een rest ontstaan. Het principe kan echter ook voor andere delingen gebruikt worden. Een staartdeling maakt gebruik van de eigenschappen van een positiestelsel. Ze kan met hetzelfde gemak worden gebruikt in het decimale stelsel als in bijvoorbeeld het octale of binaire stelsel.

In het Nederlandse basisonderwijs worden naast de staartdeling ook andere algoritmes gebruikt om het delen aan te leren, volgens het realistisch rekenen. Die gaan veel duidelijker uit van herhaald optellen, maar missen de heldere structuur van de staartdeling.

Voorbeeld[bewerken]

Nederland[bewerken]

We delen het deeltal 135 door 11, de deler. We maken gebruik van de eigenschappen van de decimale voorstelling en proberen eerst het 100-tal (= 1) door 11 te delen. Omdat 1 kleiner is dan 11, gaat dat niet. Daarom bekijken we de 13 tientallen. Die kunnen door 11 gedeeld worden. Dat gaat 1 keer. We noteren een 1, die staat voor 1 tiental, aan de rechterkant en berekenen de rest, dat wil zeggen hoeveel tientallen er overblijven.

  11 / 135 \ 1
       11
       --
        2

Er zijn nog 2 tientallen over, die samen met de 5 eenheden 25 eenheden vormen. We zeggen dat we het volgende cijfer uit het deeltal erbij halen en gaan na hoe vaak de deler 11 van het ontstane getal 25 kan worden afgetrokken. Dit gaat 2 keer, wat we rechts naast de 1 op de plaats van de eenheden noteren.

  11 / 135 \ 12
       11
       --
        25
        22
        --
         3

Er blijft een rest 3 over. Het resultaat is: 135 = 12 × 11 + 3.

De deling kan voortgezet worden voor het verkrijgen van de complete decimale voorstelling (decimale breuk). Er wordt dan gebruikgemaakt van tienden, honderdsten, enzovoort door de rest te zien als 30 tienden en dit weer door 11 te delen. Dat gaat 2 keer. Er komen dus 2 tienden bij het antwoord. Er blijven dan nog 8 tienden over (30 - 2 × 11 = 8). Die zien we weer als 80 honderdsten, enzovoorts. Dit wordt als volgt genoteerd:

  11 / 135 \ 1       11 / 135 \ 12     11 / 135 \ 12,27...
       11                 11                11
       --                 --                --
        2                  25                25
                           22                22
                           --                --
                            3                 30
                                              22
                                              --
                                               80
                                               77
                                               --
                                                3 enz.

België[bewerken]

In België wordt de volgende notatie gebruikt:

   135      | 11
  -11       |————
    25      |  12,272...
   -22
     30
    -22
      80
     -77
       3

Waarbij de verwoording in principe dezelfde is als bovenstaand: 135 (deeltal) gedeeld door 11 (deler):

  1. Hoe vaak gaat 11 in 13? 1 maal, dit is het begin van de uitkomst (quotiënt)
  2. 1 maal 11 wordt onder de 13 geschreven en ervan afgetrokken, rest 2
  3. Daarbij voegt men het volgende getal (eenheid): 5; hoe vaak gaat nu 11 in 25? 2 maal
  4. 2 maal 11 (22) trekt men dan van 25 af, rest 3.
  5. De deling zou hier kunnen eindigen, de uitkomst is dan "12, rest 3".
  6. Rekent men verder na de komma, dan voegt men een nul toe, zo bekomt men 30
  7. Hoe vaak gaat 11 in 30? 2 maal, dit het vervolg van de uitkomst (tot 1 cijfer na de komma)
  8. 2 maal 11 (22) schrijft men onder de dertig om het ervan af te trekken: 8
  9. Zo gaat men verder tot men:
rest nul krijgt,
of een repeterende breuk,
of een uitkomst met voldoende cijfers na de komma.

Is de deler een kommagetal, dan voegt men bij het deeltal evenveel nullen na de komma als er cijfers na de komma staan bij de deler. Bijvoorbeeld 25 delen door 2,25 wordt in deze staartdeling genoteerd als:

25,00    | 2,25
         |————

Staartdeling in het Nederlandse onderwijs[bewerken]

Sinds de invoering van het realistisch rekenen wordt op veel scholen de klassieke staartdeling niet meer geleerd aan de kinderen, maar wordt de zogenaamde hapmethode aangeleerd. Hierbij wordt geschat hoe vaak de deler in het te delen getal past. Omdat dit een andere manier van delen is, kunnen ouders hun kinderen thuis minder goed helpen bij het leren delen. Zij hebben immers vroeger de klassieke staartdeling geleerd op de basisschool.

Toch zijn de overeenkomsten met de klassieke staartdeling groter dan de verschillen. Het grote verschil is dat bij de hapmethode een algoritme wordt uitgevoerd, gebaseerd op de distributieve eigenschap van de vermenigvuldiging. Het is onbekend of leerlingen hier feitelijk behoefte aan hebben. De hapmethode leidt tot een minder efficiënte schrijfwijze (zeker in het begin). Een enkele keer leidt de flexibiliteit van de moderne staartdeling tot een efficiëntere berekening (b.v. bij: 3650:37).

Sinds 2010 is er een kentering gaande in het Nederlandse rekenonderwijs. Waar de klassieke staartdeling eerst bijna geheel was verdwenen, wordt deze nu weer aangeboden in veel rekenmethodes, zoals Reken Zeker en De wereld in getallen. De staartdeling kan gerekend worden tot de kenmerken van het functioneel rekenen. De hapmethode wordt gerekend tot het realistisch rekenen.

Voorbeeld[bewerken]

Deze methode kan geïillustreerd worden met het bovenstaande voorbeeld. Gevraagd wordt 135 : 11. We moeten dus berekenen hoe vaak 11 van 135 kan worden afgetrokken. Het is gemakkelijk in te zien dat we in ieder geval 10 keer 11, dus 110 kunnen aftrekken. Er blijft 135-110=25 over. Weer zien we gemakkelijk dat we 2 keer 11, dus 22, kunnen aftrekken. Het aantal keer dat de deler 11 in het deeltal 135 past is dus 10+2=12. En de rest is 25-22=3.

De flexibiliteit van hapmethode zit daarin dat we, als we niet zeker weten of 11 wel 10 keer van 135 kan worden afgetrokken, we eerst eens 9 keer proberen; dan blijft als rest 36. Het valt niet moeilijk in te zien dat we nu nog maar 3 keer 11 kunnen aftrekken. Het aantal keer dat de deler 11 in het deeltal 135 past is dus 9+3=12. En de rest is 36-33=3.

Ook met de hapmethode is het mogelijk een nauwkeuriger antwoord te vinden met behulp van decimale breuken. We moeten 3 nog delen door 11. We proberen eerst 0,2 keer 11, dat is dus 2,2. Er blijft 3-2,2=0,8 over. Deze procedure kan naar believen worden herhaald.

Bij grotere berekeningen is het wenselijk een eenduidige notatie te gebruiken. Links staan twee stappen uit de berekening. Rechts de meest efficiënte schrijfwijze. Deze is vrijwel identiek aan de klassieke staartdeling in het bovenstaande voorbeeld, die direct tot het juiste resultaat leidt.

   STAP 1                    STAP 2                            EFFICIËNT
   135 : 11 =                135 : 11 = 12                     135 : 11 = 12
   110 : 11 = 10             110 : 11 = 10                     110
   ---                       ---                               ---
    25                        25                                25
                              22 : 11 = 2                       22
                              --                                --
                               3                                 3

Toepassing op veeltermen[bewerken]

Een staartdeling kan ook gebruikt worden voor de deling van een polynoom (veelterm) door een ander. Analoog aan het bovenstaande voorbeeld krijgen we dan:

  x+1 / x2+3x+2 \ x+2
        x2+ x
        -----
           2x+2
           2x+2
           ----
              0

Hieruit concluderen we: x2+3x+2 = (x+2)(x+1).

Ander voorbeeld: (x3+x)/(x-1)

    x-1 / x3 + x \ x2 + x + 2 + 2/(x-1)
x2:       x3 - x2
          -------              (x3 + x) - (x3 - x2) = x3 + x - x3 + x2 = x2 + x
x:             x2 + x
               x2 - x
               ------          (x2 + x) - (x2 - x) = x2 + x - x2 + x = 2x
2:                 2x
                   2x - 2
                   ------      (2x) - (2x - 2) = 2x - 2x + 2 = 2
                        2

Microprocessor[bewerken]

Behalve door mensen wordt het staartdelingsalgoritme ook door computers gebruikt. In een microprocessor wordt een deelinstructie op een wijze uitgevoerd die behoorlijk dicht bij de wijze zit waarop wij mensen deze uitvoeren.

Eenvoudige processoren, zoals de 6502 hebben geen deelinstructie. Om op computers met dit soort processoren te kunnen delen, wordt het staartdeelalgoritme in de programmatuur opgenomen.

In de Pentium (processor) werd een variant op het staartdelingsalgoritme toegepast; in plaats van aan de rechterkant (het antwoord dus) alleen positieve cijfers te schrijven kon de Pentium daar ook negatieve cijfers zetten. Hierdoor kon de Pentium een snellere methode gebruiken om het juiste cijfer te bepalen.

De methode met negatieve cijfers geeft echter niet altijd het goede antwoord. Met behulp van een tabel bepaalde de Pentium in welke gevallen toegestaan was met negatieve getallen te werken.

Ergens tussen ontwerpkamers en fabriek ontstond echter een foutje in de betreffende tabel. Dit leidde tot de beruchte FDIV-bug, hetgeen Intel veel gezichtsverlies opleverde en haar noodzaakte tot een dure terugroepactie.

Zie ook[bewerken]

Externe links[bewerken]