Machtreeks

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de wiskunde is een machtreeks (in één variabele) een oneindige reeks van de vorm

\sum_{n=0}^\infty a_n x^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \cdots.

Daarin heet het (complexe) getal an de coëfficiënt van de n-de term.

Een voorbeeld van een machtreeks is de Maclaurinreeks.

Als de machtreeks slechts convergeert in een omgeving van het punt c zal men de machtreeks vaak schrijven (met andere coëfficiënten) in de vorm:

\sum_{n=0}^\infty a_n \left( x-c \right)^n = a_0 + a_1 (x-c)^1 + a_2 (x-c)^2 + \cdots

Om die reden spreekt men soms van de machtreeks als gecentreerd rondom c. Een voorbeeld van een machtreeks is de Taylorreeks van een bekende functie.

De complexe waarden van x-c waar de machtreeks absoluut convergeert, vormen:

  1. de hele verzameling C, of
  2. het singleton {0}, of
  3. een open cirkelschijf om 0 heen.

De convergentiestraal van de machtreeks is de straal van de open cirkelschijf (oneindig in geval 1, nul in geval 2).

Meetkundige reeks[bewerken]

Als alle coëfficiënten gelijk zijn aan 1, verkrijgen we een meetkundige reeks

\!\,1+z+z^2+z^3+...

Deze is absoluut convergent dan en slechts dan als de absolute waarde van z strikt kleiner is dan 1. Het convergentiegebied is dus een open cirkelschijf met straal 1.

Taylorreeksen[bewerken]

Elke analytische functie g(z) die gedefinieerd is in een omgeving van 0, kan geschreven worden in de vorm van een machtreeks. Deze machtreeks kan relatief eenvoudig gevonden worden als de Taylorreeks van g rond het punt 0:

g(z)=\sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!} g^{(n)}(0).

De convergentiestraal van een Taylorreeks is de afstand van 0 tot de dichtstbijzijnde singulariteit van de functie g (met andere woorden, de absolute waarde van die singulariteit).

Voorbeelden[bewerken]

De meetkundige reeks is de Taylorreeks van de functie \frac{1}{1-z}. Ze heeft convergentiestraal 1 omdat er een singulariteit bij z=1 ligt.

De functie \frac{1}{1+z^2} is analytisch op heel de reële rechte. Haar Taylorreeks heeft echter convergentiestraal 1 omdat er singulariteiten liggen bij de imaginaire getallen i en -i.

Zie ook[bewerken]