Singulariteit (wiskunde)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de wiskunde is een singulariteit in het algemeen een punt, waar een bepaalde relevante eigenschap van een wiskundig object niet is gedefinieerd.

De functie

 f(x)=\frac{1}{x}

kent op de reële getallenlijn bijvoorbeeld een singulariteit op x = 0. De functie lijkt te "ontploffen" tot ± ∞ en is op dit punt niet gedefinieerd. De functie

 g(x) = |x|

heeft ook een singulariteit op x = 0, omdat de functie op dat punt niet differentieerbaar is.

Complexe analyse[bewerken]

De complexe analyse kent vier verschillende vormen van singulariteit. Stel dat U een open-deelverzameling van de complexe getallen C is en dat punt a een element van U is en dat functie f een complex differentieerbare functie is, die is gedefinieerd in een omgeving rond a, die a uitsluit: U \ {a}.

  • Geïsoleerde singulariteiten: Stel dat de functie f niet is gedefinieerd in punt a, hoewel de functie wel is gedefinieerd op U \ {a}.
    • Het punt a is een ophefbare singulariteit van f als er een holomorfe functie g op alle U kan worden gedefinieerd zodanig dat f(z) = g(z) voor alle z in U \ {a}. De functie g is een continue vervanger van de functie f.
    • Het punt a is een pool of niet-essentiële singulariteit van f, indien er een holomorfe functie g bestaat die is gedefinieerd op U en een natuurlijk getal n zodanig dat f(z) = g(z) / (za)n voor alle z in U \ {a}. De afgeleide van een niet-essentiële singulariteit kan al dan niet bestaan. Als g(a) ongelijk is aan nul, dan zeggen we dat a een pool van orde n is.
    • Het punt a is een essentiële singulariteit van f, indien het noch een verwijderbare singulariteit, noch een pool is.. Het punt a is een essentiële singulariteit dan en slechts dan als de Laurentreeks oneindig veel machten van negatieve graad heeft.
  • Vertakkingspunten zijn in het algemeen het resultaat van een multi-gewaardeerde functie, zoals \sqrt{z} of \log(z) die zijn gedefinieerd op een zeker beperkt domein, zodat de functie binnen het domein eenmalig gewaardeerd kunnen worden. De snede is een lijn of kromme lijn van het domein om een technische scheiding tussen discontinue waarden van de functie te introduceren. Wanneer de snede echt nodig is, zal de functie duidelijk verschillende waarden hebben aan beide zijden van de gesneden tak. De locatie en vorm van het merendeel van de afgesneden tak is meestal een kwestie van keuze, met misschien slechts een punt (zoals z=0 voor  \log(z)) dat vast op zijn plaats wordt gehouden.

Zie ook[bewerken]