Algebraïsche variëteit

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de algebraïsche meetkunde, een deelgebied van de wiskunde, is een algebraïsche variëteit de oplossingsverzameling van een systeem van polynomiale vergelijkingen. Algebraïsche variëteiten zijn een van de centrale objecten in de klassieke (en tot op zekere hoogte, moderne) algebraïsche meetkunde.

Historisch gezien legt de hoofdstelling van de algebra een verband tussen de algebra en de meetkunde door te tonen dat een monomiale veelterm in één variabele over de complexe getallen, dus een algebraïsch object, wordt bepaald door een meetkundig object, namelijk de verzameling van haar nulpunten. Voortbouwend op dit resultaat legt Hilberts Nullstellensatz een fundamentelel verband tussen idealen van veeltermringen en deelverzamelingen van affiene ruimten. Met behulp van de Nullstellensatz en daaraan gerelateerde resultaten, zijn wij in staat om het meetkundige begrip van een variëteit in algebraïsche termen te beschrijven. alsook de meetkunde in te schakelen om antwoorden te geven op vragen uit de ringtheorie.

Formele definities[bewerken]

Algebraïsche variëteiten kunnen worden ingedeeld in vier soorten: affiene variëteiten, quasi-affiene variëteiten, projectieve variëteiten en quasi-projectieve variëteiten. Ook bestaat er de meer algemene notie van een abstracte algebraïsche variëteit.

Affiene variëteiten[bewerken]

Laat k een algebraïsch gesloten lichaam/veld zijn en An een affiene n-ruimte over k. Een veelterm f in de ring k[x1, ..., xn] kan worden gezien als een k-waardige functie op An door f te evalueren op de punten in An. Definieer voor elk eindig voortgebracht ideaal S in k[x1, ..., xn] de meetkundige plaats van gemeenschappelijke nulpunten Z(S) van S als de verzameling van punten in An, waarvoor alle functies in S nul zijn:

Z(S) = \{x \in \mathbb A^n \mid f(x) = 0 \mbox{ voor alle } f\in S\}.

Een deelverzameling V van An wordt een affiene algebraïsche verzameling genoemd als V= Z(S) voor enige S. Een niet-lege affiene algebraïsche verzameling V wordt irreducibel genoemd als deze niet kan worden geschreven als de vereniging van twee strikte algebraïsche deelverzamelingen. Een irreducibele affiene algebraïsche verzameling wordt een affiene variëteit genoemd. Niet alle literatuur over algebraïsche variëteiten maakt gebruik van deze definitie; een meer ontspannen definitie, die elke affiene algebraïsche verzameling een affiene algebraïsche variëteit noemt, komt in verschillende tekstboeken over dit onderwerp voor.

Projectieve varietiëten[bewerken]

Laat k een algebraïsch gesloten veld zijn en laat Pn een projectieve n-ruimte over k zijn. Laat fk[x0, ..., xn] een homogene veelterm van graad d zijn. k is niet goed genoeg gedefinieerd om f op punten in Pn in homogene coördinaten te evalueren. Omdat f echter homogeneen is geldt f(λx0, ..., λxn) = λdf(x0, ..., xn), waardoor het toch zinvol is zich af te vragen of f op een punt [x0 : ... : xn] verdwijnt. Definieer voor elke verzameling S van homogene veeltermen de nul-locus van S, als zijnde de verzameling van punten in Pn, waarop de functies in S verdwijnen:

Z(S) = \{x \in \mathbf{P}^n \mid f(x) = 0 \mbox{ voor alle } f\in S\}.

Een deelverzameling V van Pn wordt een projectieve algebraïsche verzameling genoemd als V=Z(S) voor enige S. Een irreducibele projectieve algebraïsche verzameling wordt een projectieve variëteit genoemd.

Projectieve variëteiten zijn ook uitgerust met de Zariski-topologie door te verklaren dat alle algebraïsche verzamelingen gesloten zijn.

Gegeven een deelverzameling V van Pn, laat I(V) het ideaal zijn, dat wordt gegenereerd door alle homogene veeltermen, die verdwijnen op V. Voor enige projectieve algebraïsche verzameling V is de coördinatenring van V het quotiënt van de veeltermring door dit ideaal.

Voorbeelden[bewerken]

Affiene algebraïsche variëteit[bewerken]

Voorbeeld 1[bewerken]

Laat K het veld van de complexe getallen \mathbb{C} zijn. Laat A2 een twee-dimensionale affiene ruimte over  \mathbb{C} zijn. De veeltermen ƒ in de ring k[x, y] kunnen worden gezien als complex gewaardeerde functies op A2 door ƒ te evalueren op de punten in A2. Laat het ideaal S van k[x, y] door een enkel element f(x, y) voortgebracht zijn:

f(x, y) = x+y-1=0. \,

De nul-locus van ƒ(x, y), de verzameling van punten in A2 waarop deze functie (en haar veelvouden in het ideaal) verdwijnt: het is de verzameling van alle paren van complexe getallen (x, y) zodanig dat y = 1 - x, algemeen bekend als een lijn. Dit is de verzameling Z(ƒ):

Z(f) = \{ (x,1-x) \in \mathbb{C}^2 \}.

De deelverzameling V = Z(ƒ) van A2 is dus een algebraïsche verzameling. De verzameling V is geen lege verzameling. Deze deelverzameling is irreducibel, aangezien zij niet als de vereniging van twee strikte algebraïsche deelverzamelingen kan worden geschreven. Ze is dus een affiene algebraïsche variëteit.

Voorbeeld 2[bewerken]

Laat k weer het veld van de complexe getallen \mathbb{C} zijn. Laat A2 een twee-dimensionale affiene ruimte over \mathbb{C} zijn. De veeltermen g in de ring k[x, y] kunnen als complex gewaardeerde functies op A2 worden gezien door g te evalueren op de punten in A2. Laat de voortbrenger van het ideaal S van k[x, y] een element g(x, y) zijn:

g(x, y) = x^2 + y^2 - 1 = 0. \,

De nul-locus van g(x, y) is de verzameling van punten in A2 waarop deze functie verdwijnt, en dat is de verzameling van punten (x, y) zodanig dat xx + yy = 1, beter bekend als een cirkel.

Discussie en veralgemeningen[bewerken]

De fundamentele definities en feiten hierboven stellen iemand in staat om de klassieke algebraïsche meetkunde te bedrijven. Om echter meer te kunnen doen – bijvoorbeeld om met variëteiten over velden, die niet algebraïsch gesloten zijn, om te gaan – zijn enige fundamentele veranderingen vereist. De huidige notie van een variëteit is beduidend abstracter dan die hierboven, hoewel zij gelijkwaardig zijn in het geval van variëteiten over algebraïsch gesloten velden. Een abstracte algebraïsche variëteit is een bijzondere vorm van schema's; de veralgemening tot schema’s maakt aan de meetkundige kant een uitbreiding van hierboven beschreven correspondentie naar een bredere klasse van ringen mogelijk.

Deze definitie werkt over een veld K. Hier staat men toe affiene variëteiten (over gemeenschappelijke open verzamelingen) te verlijmen zonder zich zorgen te maken over of het resulterende object kan worden ingebracht in en op enige projectieve ruimte. Dit leidt ook tot problemen, aangezien men enigszins pathologische objecten kan introduceren, bijvoorbeeld een affiene lijn met een verdubbelde nul. Deze objecten worden meestal niet beschouwd als variëteiten, en wij komen van hen af door te eisen dat de aan deze variëteit ten grondslag liggende schemas van elkaar gescheiden moeten zijn. (Er is dus strikt genomen ook een derde voorwaarde, namelijk dat men in de bovenstaande definitie slechts een eindig aantal affiene patches nodig heeft.)

Sommige moderne onderzoekers verwijderen ook de restrictie dat een variëteit geen Integriteitsdomein affiene kaart mag hebben, en wanneer zij spreken van een variëteit bedoelen zij dat de affiene kaarten een triviaal nilradicaal hebben.

Een volledige variëteit is een variëteit, zodanig dat elke afbeelding van een open deelverzameling van een niet-singuliere kromme in en op het op unieke wijze kan worden uitgebreid tot de gehele kromme. Elke projectieve variëteit is volledig, maar vice versa geldt dit niet, niet elke volledige variëteit is projectief.

Deze variëteiten worden ook wel 'variëteiten in de zin van Serre' genoemd, omdat Serres grondslagleggende FAC-artikel over schoofcohomologie voor deze variëteiten was geschreven. Ze blijven typische voorwerpen om in de algebraïsche meetkunde te bestuderen, zelfs als ook meer algemene objecten op een ondersteunende manier worden gebruikt.