Integriteitsdomein

In de commutatieve algebra, een deelgebied van de wiskunde, is een integriteitsdomein (ook wel integriteitsgebied, integraaldomein of kortweg domein genoemd) een commutatieve ring met eenheidselement die voldoet aan de volgende voorwaarden:

1. Er zijn geen nuldelers, met andere woorden $\forall x, y \in R: x \cdot y = 0 \implies x=0 \or y=0;$
2. voor het eenheidselement 1 en het neutrale element 0 met betrekking tot optelling geldt $1 \ne 0.$

Merk op dat een Integriteitsdomein voorkomt in de onderstaande keten van klasseinsluitingen

• Commutatieve ringen ⊃ integriteitsdomeinen ⊃ unieke factorisatiedomeinen ⊃ hoofdideaaldomeinen ⊃ Euclidische domeinen ⊃ velden

Voorbeelden en tegenvoorbeeld

• In een lichaam is ieder element behalve 0 omkeerbaar voor de vermenigvuldiging en dan kunnen er geen nuldelers zijn (als a.b=0 en b is verschillend van 0, dan is a=a.b.b^-1=0.b^-1=0).
• De ring $\mathbb{Z}$ der gehele getallen is een integriteitsgebied dat geen lichaam is.
• Als k een lichaam is, dan is de ring k[x₁,...,x_n] der polynomen in n veranderlijken met coëfficiënten in k een integriteitsgebied.
• Elke deelring (met eenheidselement) van een integriteitsgebied is opnieuw een integriteitsgebied.
• De ring $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ der restklassen modulo 6 is een commutatieve ring met eenheidselement, maar de restklassen van 2 en 3 zijn nuldelers:

$\overline 2.\overline 3=\overline 6=\overline 0.$

Elementaire kenmerkende eigenschappen

Een commutatieve ring met eenheidselement is een integriteitsdomein als en slechts als het ideaal (0) een priemideaal is.

Een commutatieve ring R met eenheidselement is een integriteitsdomein als voor ieder element r verschillend van 0, de vermenigvuldiging met r een injectieve transformatie is:

$\forall r\in R\setminus\{0\},\forall a,b\in R:r.a=r.b\implies a=b$

Een ring is een integriteitsdomein dan en slechts dan als hij een deelring (met eenheidselement) is van een lichaam. Een dergelijk lichaam kan uitdrukkelijk geconstrueerd worden, zie hieronder bij Quotiëntenlichaam.

Voorbeeld

Het tegenvoorbeeld der restklassen modulo 6 hierboven is geen integriteitsdomein, omdat het ideaal der zesvouden geen priemideaal is.

Ringkarakteristiek

Iedere commutatieve ring met eenheidselement waarvan de karakteristiek n verschilt van 0, omvat de ring der restklassen modulo n als deelring. Hieruit volgt dat de karakteristiek van een integriteitsgebied ofwel 0, ofwel een priemgetal is.

Quotiëntenlichaam

In een integriteitsdomein kunnen we op een abstracte manier breuken definiëren, analoog met de constructie van de rationale getallen aan de hand van paren gehele getallen. Het resultaat is een lichaam dat het oorspronkelijke integriteitsgebied als deelring omvat, genaamd het quotiëntenlichaam of breukenlichaam van R.