Geheel getal van Gauss

Een geheel getal van Gauss is een complex getal waarvan het reële- en het imaginaire deel beide gehele getallen zijn. De gehele getallen van Gauss vormen met de twee operaties, optelling en vermenigvuldiging van de complexe getallen een integriteitsdomein, dat meestal wordt weergegeven als Z[i]. Dit domein heeft geen totale ordening die de rekenkunde respecteert, aangezien dit domein imaginaire getallen bevat.

Gehele getallen van Gauss roosterpunten in het complexe vlak

Formeel

Formeel gedefinieerd zijn de gehele getallen van Gauss de verzameling

$\mathbb{Z}[i]=\{a+bi \mid a,b\in \mathbb{Z} \}.$

De norm van een geheel getal van Gauss is het natuurlijk getal dat gedefinieerd is als

$N \left(a+bi \right) = a^2+b^2 = (a+bi)\overline{(a+bi)}$

De norm is multiplicatief, dat wil zeggen dat

$N(z\cdot w) = N(z)\cdot N(w)$.

De eenheden van Z[i] zijn daarom precies dit element met norm 1, dat wil zeggen de elementen

1, −1, i en −i.

Als een uniek factorisatiedomein

Enige van de priemgetallen van Gauss

De gehele getallen van Gauss vormen een uniek factorisatiedomein met eenheden 1, -1, i, and -i.

De priemelementen van Z[i] staan ook bekend als de priemgetallen van Gauss.

Een geheel getal van Gauss $a+bi$ is priem dan en slechts dan als:

• of a, of b gelijk is aan nul en de ander een priemgetal is van de vorm

$4n+3$ of zijn negatieve $-(4n+3)$

• als zowel a en b ongelijk zijn aan nul en

$a^2+b^2$ een priemgetal is.

Historische achtergrond

De ring van de gehele getallen van Gauss werd door Carl Friedrich Gauss in 1829 - 1831 geïntroduceerd (zie [1]), als een bijproduct van zijn studie naar de reciprociteitswetten, die weer generalisaties zijn van de stelling van kwadratische reciprociteit, die door Gauss in 1796 voor het eerste werd bewezen. Gauss zocht in het bijzonder naar relaties tussen p en q zodat q een kubisch residue van p moet zijn (dat wil zeggen x³≡ q mod p) of zo dat q een restwaarde van het bikwadratisch residue van p moest zijn (dit is x⁴≡ q mod p). Tijdens dit onderzoek ontdekte Gauss dat sommige resultaten gemakkelijker bewezen konden worden wanneer hij met de ring van gehele getallen van Gauss werkte, in plaats van met de gewone gehele getallen.

Hij ontwikkelde de eigenschappen van factorisatie en bewees de uniciteit van factoriseren in priemgetallen in 'Z[i], en hoewel hij hierover weinig publiceerde, liet hij enige commentaren achter die erop duiden dat hij zich bewust van de betekenis van gehele getallen van Eisenstein in het stellen en bewijzen van resultaten op het gebied van kubische reciprociteit.

Onopgeloste problemen

Het cirkelprobleem van Gauss heeft als zodanig niet per se een relatie met de gehele getallen van Gauss, maar vraagt in plaats daarvan naar het aantal roosterpunten binnen een cirkel met een gegeven straal gecentreerd op de oorsprong. Dit is gelijkwaardig aan het bepalen van het aantal gehele getallen van Gauss met een norm kleiner dan deze gegeven waarde.

Er bestaand ook vermoedens en onopgeloste problemen met betrekking tot de Gauss-priemgetallen. Twee daarvan zijn:

De reële en imaginaire assen hebben de oneindige verzameling van Gauss-priemgetallen 3, 7, 11, 19, ... en hun geassocieerden. Bestaan er enige andere lijnen die oneindig veel Gauss-priemgetallen op zich hebben? In het bijzonder bestaan er oneindig veel Gauss-priemgetallen van de vorm 1+ki?

Is het mogelijk om naar oneindig te wandelen door gebruik te maken van de Gauss-priemgetallen als stapstenen en door stappen van begrensde lengte te nemen?

Zie ook

• Geheel getal van Eisenstein

Bibliografie

• (en) C. F. Gauss, Theoria residuorum biquadraticorum. Commentatio secunda. (Theorie van de bikwadratische residuen. Tweede commentaar), Comm. Soc. Reg. Sci. Gottingen 7 (1832) 1-­34; reprinted in Werke, Georg Olms Verlag, Hildesheim, 1973, pp. 93-­148.
• (en) From Numbers to Rings: The Early History of Ring Theory (Van getallen naar ringen, de vroege geschiedenis van de ringtheorie), door Israel Kleiner (Elem. Math. 53 (1998) 18 – 35)

Externe links

• Alpertron.com, een Java applet dat expressies met daarin gehele getallen van Gauss evalueert en deze opdeelt in priemgetallen van Gauss.
• Alpertron.com, een Java applet dat een grafische representatie van priemgetallen van Gauss geeft.
• Complexe gehele getallen van Gauss voor 'Gaussiaanse grafiek'
• IMO Compendium tekst over kwadratische uitbreidingen en gehele getallen van Gauss in het oplossen van problemen