Wiskundig bewijs

In de wiskunde bestaat een bewijs uit het aantonen dat, gegeven bepaalde axioma's, een bepaalde bewering waar is. Hierbij gebruikt men de regels van de logica.

Het bewezen resultaat is een stelling of theorema. Een eenvoudige stelling, die alleen als hulpmiddel voor het bewijs van een andere stelling dient, wordt een lemma of hulpstelling genoemd.

Wanneer een stelling bewezen is, kan hiermee het bouwwerk van de wiskunde verder worden uitgebouwd.

Enkele gebruikelijke bewijsvoeringstechnieken zijn:

• Direct bewijs: wanneer de stelling bewezen wordt met gebruik van alleen de axioma's, de logica en eerder op dezelfde wijze bewezen stellingen.
• Bewijs door inductie: wanneer een 'basis geval of 0-geval bewezen is, en er een inductie-regel aangetoond kan worden. Wordt vaak gebruikt voor reeksen.
• Bewijs uit het ongerijmde: Bij deze redeneerwijze wordt het omgekeerde van de stelling aangenomen, en wordt aangetoond dat dit tot een tegenspraak leidt.
• Bewijs door contrapositie: En bewering als A dan B wordt bewezen via de equivalente bewering als niet B dan niet A.
• Bewijs door constructie: het aantonen dat iets bestaat door er een voorbeeld van te construeren.

Een bewering, waarvan men vermoedt dat deze waar is, maar nog niet bewezen is, wordt een vermoeden genoemd.

Soms kan aangetoond worden dat een stelling niet bewezen kan worden uitgaande van een bepaalde stelsel van axioma's. Een voorbeeld hiervan is de continuümhypothese. In de meeste axiomastelsels zijn er beweringen die noch bewezen noch ontkracht kunnen worden, zoals volgt uit de onvolledigheidsstelling van Gödel.

Zie ook

• Modeltheorie