Laatste stelling van Fermat

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Uitgave van Arithmetica uit 1621. Aan de rechterkant de marge waar Fermat zijn stelling schreef. Zijn eigen exemplaar is echter verloren gegaan.
Pierre de Fermat

De laatste stelling van Fermat, ook wel de grote stelling van Fermat genoemd en niet te verwarren met de zogenaamde kleine stelling van Fermat, is een beroemde wiskundige stelling opgesteld door Pierre de Fermat die luidt dat het onmogelijk is een macht hoger dan de tweede op te delen in twee machten met diezelfde graad. In wiskundige notatie: voor n > 2 heeft de vergelijking

x^n + y^n = z^n \!

geen oplossing met natuurlijke getallen x, y en z ongelijk aan 0.

Van het van de stelling van Pythagoras bekende geval n = 2 met oneindig veel oplossingen, de zogenaamde Pythagoreïsche drietallen, maakte hij een vergelijking die, zo stelde hij, voor n > 2 geen enkele oplossing verschillend van nul heeft. De stelling werd door Fermat in 1637 opgeschreven in de marge van zijn exemplaar van Claude-Gaspard Bachet's vertaling van Diophantus' klassieke werk Arithmetica. Hij schreef in het Latijn:

Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duas eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.
Het is onmogelijk een derde macht op te splitsen in twee derde machten, of een vierde macht in twee vierde machten, of in het algemeen elke macht hoger dan de tweede in twee machten met diezelfde graad: voor welke stelling ik waarlijk een spectaculair bewijs heb gevonden. Deze marge is te smal om het te bevatten.

Men is nooit zeker geweest over het bestaan van dit bewijs, laat staan van de juistheid ervan. Tegenwoordig wordt wel algemeen aangenomen dat, als Fermat al dacht het bewezen te hebben, zijn bewijs onjuist was.

In 1670 verscheen een nieuwe editie van Arithmetica met aantekeningen van Fermat, na zijn dood verzameld door zijn zoon. Deze aantekeningen bestonden uit heel wat 'stellingen', die beter vermoedens genoemd kunnen worden zolang ze niet bewezen zijn, maar de meeste ervan zonder het bewijs erbij. De wiskundige gemeenschap probeerde de ontbrekende bewijzen te vinden, maar dat lukte niet in alle gevallen. In één geval, over zogenaamde Fermat-priemgetallen, bleek het vermoeden van Fermat zelfs onjuist.

Geschiedenis van het bewijs[bewerken]

De moeilijkste van Fermats vermoedens bleek de laatste stelling van Fermat te zijn. Over een tijdsspanne van meer dan driehonderd jaar probeerden ook de grootste wiskundigen tevergeefs dit vermoeden te bewijzen. Euler gaf wel een onvolledig bewijs voor n = 3, en Legendre verbeterde dat. Johann Dirichlet en Legendre bewezen in 1825 het geval n = 5. Gabriel Lamé bewees in 1839 het geval n = 7. Kummer bewees in 1844 de stelling voor alle reguliere priemgetallen n. Jensen bewees in 1915 dat er oneindig veel niet-reguliere priemgetallen zijn [bron?].

357 jaar na de formulering van de stelling werd het bewijs geleverd voor alle n > 2 door de Britse wiskundige Andrew Wiles in november 1994, één jaar nadat het eerder door hem gepresenteerde bewijs een fout bleek te bevatten. Het bewijs maakt gebruik van de eigenschappen van elliptische krommen.

Fermats bewijs voor n = 4[bewerken]

Over het algemeen wordt aangenomen dat Fermat zijn stelling heeft aangetoond voor n = 4. Weliswaar heeft men dat bewijs niet op schrift, maar hij gaf wel een bewijs voor de volgende stelling:

De oppervlakte van een rechthoekige driehoek kan geen kwadraat zijn (voor rationale getallen).

De bewijsvoering voor deze stelling kan hem ook in staat gesteld hebben zijn beroemde stelling voor n = 4 te bewijzen.[1] Hij beschreef dit bewijs als volgt:

  • Als het oppervlak van een rechthoekige driehoek een kwadraat zou zijn, zouden er twee vierde machten bestaan, waarvan het verschil een kwadraat is.
  • Daaruit volgt dat er twee kwadraten zouden bestaan waarvan de som en het verschil beiden kwadraten zouden zijn.
  • Dan zou er een kwadraat bestaan dat de som zou zijn van een kwadraat en het dubbele van een ander kwadraat, omdat de kwadraten, waarvan deze som wordt berekend, zelf een som zouden hebben dat een kwadraat is.
  • Maar als een kwadraat de som is van een kwadraat en het dubbele van een ander kwadraat, dan is zijn zijde, zoals ik eenvoudig kan bewijzen, op dezelfde manier ook de som van een kwadraat en het dubbele van een ander kwadraat.
  • Hieruit concluderen we dat de genoemde zijde de som is van de zijdes aan de rechte hoek in een rechthoekige driehoek, en dat het enkele kwadraat in de som de basis is en het dubbele van het andere kwadraat de loodrechte zijde is.
  • Deze rechthoekige driehoek wordt aldus gevormd door twee kwadraten, waarvan de som en het verschil ook kwadraten zijn.
  • Maar het kan worden aangetoond dat allebei de kwadraten kleiner zullen zijn dan de oorspronkelijke kwadraten, waarvan aangenomen werd dat zowel hun som als hun verschil kwadraten zijn.
  • Dus als er twee kwadraten bestaan, zodanig dat hun som en verschil ook kwadraten zijn, dan bestaan er tevens twee andere kwadraten die dezelfde eigenschap hebben maar met een kleinere som.
  • Door deze redenering vinden we een som die telkens kleiner is dan de vorige, en we kunnen zo tot in het oneindige doorgaan met het vinden van steeds kleinere kwadraten met deze eigenschap.
  • Dit is echter onmogelijk omdat er geen oneindige reeks van natuurlijke getallen kan zijn, kleiner dan een gegeven natuurlijk getal.

De stap naar het bewijs voor alle n > 2[bewerken]

Voor n = 4 is het bewijs door Fermat geleverd.

Het geval n = 4 is belangrijk omdat de stelling van Fermat waar is voor alle n > 2 als ze waar is voor n gelijk aan 4 én voor n gelijk aan een oneven priemgetal.

Dat kan men als volgt inzien:

Stel dat er een gehele x, y en z (niet nul) bestaan zodat xn + yn = zn met n > 2. In dat geval schrijven we:

n=pq \!

n is een macht van twee of n is geen macht van twee. Als n een macht van twee is, dan is het ook een viervoud omdat n > 2. Definieer in dat geval p = 4. Als n dat niet is, dan is n deelbaar door een oneven priemgetal. Definieer in dat geval p als dat oneven priemgetal.

We herschrijven de oorspronkelijke formule als volgt:

x^n+y^n=z^n \! met n > 2 en n = pq
x^{pq}+y^{pq}=z^{pq}\!
(x^{q})^{p}+(y^{q})^{p}=(z^{q})^{p} \!
a^p+b^p=c^p \!

Men ziet nu eenvoudig dat als er een oplossing bestaat voor n = pq dat er dan ook een (andere) oplossing is voor n = p waarbij zoals gezegd n dus een viervoud is of een oneven priemgetal.

Merk op dat twee het enige even priemgetal is. Voor de vergelijking xn + yn = zn zijn er oneindig veel oplossingen. Bijvoorbeeld 32 + 42 = 52. Vandaar het belang om p een oneven priemgetal te stellen indien n geen macht van twee is.

Daar Fermat het bewijs voor n = 4 zelf al heeft gegeven was het enkel nog nodig om de stelling te bewijzen voor n als oneven priemgetal. Dit is Andrew Wiles eeuwen later, in 1994, in tweede instantie gelukt.

Externe links[bewerken]

Bronnen, noten en/of referenties

Noten:

  1. Freeman, Larry (2005) "Fermat's One Proof" Fermat's Last Theorem. URL bezocht op 3 juli 2007