Hoofdideaaldomein

Een hoofdideaaldomein is in de abstracte algebra een integriteitsdomein waarin elk ideaal een hoofdideaal is. Dit betekent dat elk ideaal wordt voortgebracht door een enkel element.

• Commutatieve ringen ⊃ integriteitsdomeinen ⊃ unieke factorisatiedomeinen ⊃ hoofdideaaldomeinen ⊃ Euclidische domeinen ⊃ velden

Voorbeelden

Dit zijn enkele voorbeelden:

• K: alle velden,
• Z: de ring van de gehele getallen,
• K[x]: de veeltermringen in een veranderlijke over een veld.

Voorbeelden van integraaldomeinen die geen hoofdideaaldomein zijn:

• Z[x]: de ring van de veeltermen over de gehele getallen. Deze is geen hoofdideaaldomein omdat het ideaal dat wordt voortgebracht door 2 en X niet kan worden voortgebracht door een enkele veelterm.
• K[x,y]: Het ideaal (x,y) is geen hoofdideaal.

Eigenschappen

• In een hoofdideaaldomein heeft elk paar elementen een grootste gemene deler.

• Alle Euclidische domeinen zijn hoofdideaaldomeinen, maar het omgekeerde is niet waar.

• Elk hoofdideaaldomein is een uniek factorisatiedomein (UFD), Noethers en integraal gesloten.
• In elke ring zijn de maximale idealen ook priemidealen. In een hoofdideaaldomein is er (bijna) het omgekeerde resultaat: elk priemideaal dat verschilt van nul, is ook maximaal. Deze eigenschap maakt alle hoofdideaaldomeinen tot Dedekind-ringen.