Breuk (wiskunde)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Het toepassen van een breuk bij het opdelen van een taart.

Een breuk of gebroken getal in engere zin is de uitkomst (quotiënt) van een deling van een geheel getal door een ander geheel getal. Als deel van de breuk wordt het deeltal aangeduid met teller en de deler als noemer. De teller telt het aantal door de noemer genoemde geheeltallige delen. Tussen de teller en de noemer staat een streep. Zo geeft in de breuk 34 de teller 3 aan dat de breuk bestaat uit 3 delen ter grootte van de door de noemer 4 aangegeven delen 14.

Als de teller kleiner is dan de noemer, ligt de breuk tussen 0 en 1 (bijvoorbeeld 12). Soms wordt een geheel getal plus een breuk tezamen ook een breuk genoemd (bijvoorbeeld 2+34).

Een breuk met teller 1 noemt men een stambreuk (bijvoorbeeld 140).

Een breuk is een rationaal getal en ieder rationaal getal kan als breuk (in ruimere zin) geschreven worden. Er bestaan ook getallen die niet als breuk te schrijven zijn, de zogenaamde irrationale getallen.

Men spreekt over een echte breuk wanneer de teller kleiner is dan de noemer (bijvoorbeeld 23 of 15) en over een onechte breuk wanneer de teller groter of gelijk is aan de noemer (bijvoorbeeld 65 of 11). Onechte breuken leveren een getal op dat absoluut gezien groter of gelijk is aan 1.

Schrijfwijzen[bewerken]

Een breuk wordt genoteerd met de teller en de noemer gescheiden door een breukstreep, dat is een horizontale streep of een schuine streep:

Een aparte categorie wordt gevormd door de decimale breuken; dat zijn breuken met een macht van 10 als noemer. Eerst wordt het 'gehele deel' van de breuk opgeschreven (bij echte breuken is dat 0), dan een komma (in sommige talen wordt in plaats van een komma een punt gebruikt) en daarna de cijfers van de teller, voorafgegaan door zoveel nullen als nodig is om het aantal cijfers na de komma even groot als de macht van 10 (de Briggse logaritme) van de noemer te maken. Een aantal voorbeelden:

  • 1/10 = 1/101 = 0,1 (1 cijfer na de komma)
  • 1/100 = 1/102 = 0,01 (2 cijfers na de komma)
  • 2/100 = 0,02
  • 123/10000 = 123/104 = 0,0123
  • 123456/10000 = 12 3456/10000 = 12 3456/104 = 12,3456

Bewerkingen[bewerken]

Vereenvoudigen[bewerken]

Het is het handigst een breuk zo mogelijk eerst te vereenvoudigen, voordat men gaat optellen, aftrekken, vermenigvuldigen of delen.

Van iedere breuk bestaat een eenvoudigste vorm, waarin teller en noemer zo klein mogelijk zijn. De eenvoudigste vorm van \frac{13}{39} = \frac{1}{3}: de breuk is niet weer te geven met kleinere gehele getallen dan 1 en 3. Het "zo klein mogelijk maken" noemt men vereenvoudigen. De efficiënte methode is de teller en de noemer te ontbinden in priemgetallen. De gemeenschappelijke getallen boven en onder de breuklijn kan men schrappen om zo tot de verst vereenvoudigde breuk te komen.

\frac{60}{96}=\frac{2 \times 2 \times 3 \times 5}{2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3} = \frac{(2 \times 2 \times 3)\times 5}{(2 \times 2 \times 3)\times(2 \times 2 \times 2)} = \frac{5}{2 \times 2 \times 2} = \frac{5}{8}

Dit onderdeel van het rekenen met breuken wordt als het moeilijkste beschouwd.

Als een breuk zo ver als mogelijk wordt vereenvoudigd, ontstaat een breuk waarvan de teller en de noemer de grootste gemene deler 1 hebben.

Optellen[bewerken]

Voor het optellen van breuken moeten deze eerst gelijknamig, met hetzelfde getal in de noemer, worden gemaakt, men zegt ook "op één noemer brengen". Beide breuken moeten dezelfde noemer krijgen. Als gemeenschappelijke noemer komt het product van de afzonderlijke noemers in aanmerking, maar in het algemeen is het kleinste gemene veelvoud (kgv) beter. Een getal verandert niet als het met 1 vermenigvuldigd wordt, dus mag men de teller en de noemer met hetzelfde getal vermenigvuldigen (dit is maal 1): 1/2 = 1/2 × 1 = 1/2 × 3/3 = 1 × 3/2 × 3 = 3/6.

\frac{1}{3} + \frac{1}{4} = {4 \times 1 \over 4 \times 3} + {3 \times 1 \over 3 \times 4} = \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{7}{12}
1\frac 14 + 2\frac 25 = 1{5 \times 1 \over 5 \times 4} + 2{4 \times 2 \over 4 \times 5} = 1\frac{5}{20} + 2\frac{8}{20} = 3\frac{13}{20}

Voorbeeld van het gebruik van het kleinste gemene veelvoud (kgv). Het kgv van 6 en 8 is 24 = 4 × 6 = 3 × 8, dus

{5 \over 6} + {7 \over 8} = {4 \times 5 \over 4 \times 6} + {3 \times 7 \over 3 \times 8} = \frac{20}{24} + \frac{21}{24} = \frac{41}{24} = 1\frac{17}{24}

Aftrekken[bewerken]

Bij het aftrekken gaat men op dezelfde manier te werk:

\frac 13 - \frac 14 = {4 \times 1 \over 4 \times 3} - {3 \times 1 \over 3 \times 4} = \frac{4}{12} - \frac{3}{12} = \frac{1}{12}

Vermenigvuldigen[bewerken]

Met hele getallen[bewerken]

Bij het vermenigvuldigen van een breuk met een geheel getal wordt de teller van de breuk met dat getal vermenigvuldigd. Voorbeelden:

3 \times {1 \over 4} = {3 \over 4}

en

5 \times {3 \over 7} = {15 \over 7} = 2{1 \over 7}

Met breuken[bewerken]

Bij het vermenigvuldigen van een breuk met een andere breuk wordt de teller van de eerste breuk vermenigvuldigd met de teller van de tweede breuk en met de noemers gebeurt hetzelfde.

{2 \over 3} \times {4 \over 7} = {2 \times 4 \over 3 \times 7} = {8 \over 21}

Nog twee voorbeelden:

{1 \over 5} \times {3 \over 7} = {1 \times 3 \over 5 \times 7}= {3 \over 35}
{5 \over 6} \times {7 \over 8} = {5 \times 7 \over 6 \times 8} = {35 \over 48}

Het vermenigvuldigen van breuken met gehele getallen kan op dezelfde manier bekeken worden:

5 = {5 \over 1}
5 \times {3 \over 7} = {5 \over 1}\times {3 \over 7} = {{5 \times 3} \over {1 \times 7}} = {15 \over 7} = 2{1 \over 7}

Delen[bewerken]

Delen is het vermenigvuldigen met het omgekeerde. Dat houdt in dat als men een getal deelt door een breuk, zeg ab, men van die breuk de teller en de noemer verwisselt en het getal vervolgens vermenigvuldigt met de omgedraaide breuk (ba). Dat geldt zowel bij het delen van hele getallen als bij het delen van breuken.

2 : \frac 14 = 2 \times \frac 41 = {{2 \times 4} \over 1} = 8
\frac 12 : \frac 35 = \frac 12 \times \frac 53 ={1 \times 5 \over 2 \times 3} = \frac{5}{6}

De achtergrond van deze berekening is dat men de breuk met 1 mag vermenigvuldigen zonder dat deze daardoor verandert. In het tweede voorbeeld ziet dat er als volgt uit:


\frac 12 : \frac 35 =
\frac{\frac 12}{\frac 35} =
\frac{\frac 12}{\frac 35} \times 1 =
\frac{\frac 12}{\frac 35} \times \frac{\frac 53}{\frac 53} =
\frac{\frac12 \times \frac53}{\frac35 \times \frac53} =
\frac{\frac12 \times \frac53}{\frac{3 \times 5}{5 \times 3}} =
\frac{\frac 12 \times \frac 53}{1} =
{1 \times 5 \over 2 \times 3} =
\frac{5}{6}

Het eerste voorbeeld is ook als volgt toe te lichten: als men twee taarten elk in vier even grote stukken snijdt, resulteert dat in acht stukken. Ook het delen van breuken is zo te beschrijven: als men anderhalve (112 = 32) euro uitgeeft aan artikelen die een halve euro per stuk kosten, krijgt men drie van die artikelen, want 3/2 : 1/2 = 3/2 × 2/1 = 3 × 2/2 × 1 = 3.

Algemene algebraïsche rekenregels[bewerken]

In het vervolg van dit artikel wordt de punt als vermenigvuldigingsteken gebruikt (1 · 1 in plaats van 1 × 1), zoals in de algebra de gewoonte is.

Optellen en aftrekken[bewerken]

\frac a b+\frac c d=\frac{a\cdot d+b\cdot c}{b\cdot d}


\frac a b-\frac c d=\frac{a\cdot d-b\cdot c}{b\cdot d}

Vermenigvuldigen en delen[bewerken]

\frac a b\cdot \frac c d=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}


\frac a b:\frac c d=\frac{a\cdot d}{b\cdot c}

Vereenvoudigen[bewerken]

\frac a b=\frac{a : x}{b : x}

Abstracte definitie van de rationale getallen[bewerken]

Als men de verzameling \mathbb{Z} der gehele getallen als gegeven beschouwt, dan kan de verzameling der breuken als volgt worden opgebouwd.

Beschouw de productverzameling \mathbb{Z}\times\mathbb{Z}_0, dat is de verzameling van alle koppels van gehele getallen waarvan het tweede element verschillend is van 0. Op deze productverzameling bepaalt men een equivalentierelatie door te zeggen dat het koppel (a,b) gelijkwaardig is met (c,d) als a · d = b · c.

Opdat dit een equivalentierelatie zou zijn, moet de transitiviteit nagegaan worden: indien een willekeurig derde koppel (e,f) gelijkwaardig is met (c,d), dan ook met (a,b). Dit kan uitgerekend worden:

d\cdot (a\cdot f-b\cdot e)=a\cdot d\cdot f-b\cdot d\cdot e=b\cdot c\cdot f-b\cdot d\cdot e=b\cdot (c\cdot f-d\cdot e)=0

en omdat d verschillend is van 0, moet a \cdot f  =  b \cdot e.

Met noteert de equivalentieklasse van het koppel (a,b) als de breuk ab. Men kan nagaan dat de algemene rekenregels voor de optelling en de vermenigvuldiging van breuken compatibel zijn met deze equivalentierelatie (de resultaten zijn onafhankelijk van de gekozen vertegenwoordiger van een equivalentieklasse) en dat ze de structuur van een lichaam (benaming in Nederland) of veld (benaming in België) bepalen. De elementen van dit lichaam/veld noemt men de rationale getallen.

Zie ook[bewerken]

Externe link[bewerken]