Breuk (wiskunde)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Het toepassen van een breuk bij het opdelen van een taart.

Een breuk of gebroken getal in engere zin is de uitkomst (quotiënt) van een deling van een geheel getal door een ander geheel getal. Als deel van de breuk wordt het deeltal als teller aangeduid en de deler als noemer. De teller telt het aantal door de noemer genoemde geheeltallige delen. Zo geeft in de breuk 34 de teller 3 aan dat de breuk bestaat uit 3 delen ter grootte van de door de noemer 4 aangegeven delen 14.

Als de teller kleiner is dan de noemer, ligt de breuk tussen 0 en 1 (bijvoorbeeld 12). Soms wordt een geheel getal plus een breuk tezamen ook een breuk genoemd (bijvoorbeeld 2+34).

Een breuk met teller 1 noemt men een stambreuk (bijvoorbeeld 140).

Een breuk is een rationaal getal en ieder rationaal getal kan als breuk (in ruimere zin) geschreven worden. Er bestaan ook getallen die niet als breuk te schrijven zijn, de zogenaamde irrationale getallen.

Men spreekt over een echte breuk wanneer de teller kleiner is dan de noemer (bijvoorbeeld 23 of 15) en over een onechte breuk wanneer de teller groter of gelijk is aan de noemer (bijvoorbeeld 65 of 11). Onechte breuken leveren een getal op dat absoluut gezien groter of gelijk is aan 1.

Schrijfwijzen[bewerken]

Een breuk wordt genoteerd met de teller en de noemer gescheiden door een breukstreep, dat is een horizontale streep of een schuine streep:

Een aparte categorie wordt gevormd door de decimale breuken; dat zijn breuken met een macht van 10 als noemer. Echte decimale breuken worden genoteerd met een 0 gevolgd door een decimale komma en de cijfers van de teller voorafgegaan door voldoende 0-en zo, dat het aantal cijfers na de komma even groot is als de macht van 10 van de noemer. Bijvoorbeeld 123/10000=0{,}0123. Bij onechte decimale breuken staat het gehele deel in de plaats van de 0 voor de komma: 123456/10000=12{,}3456.

Bewerkingen[bewerken]

Vereenvoudigen[bewerken]

Het is het handigst een breuk zo mogelijk eerst te vereenvoudigen, voordat men gaat optellen, aftrekken, vermenigvuldigen of delen.

Van iedere breuk bestaat een eenvoudigste vorm, waarin teller en noemer zo klein mogelijk zijn. De eenvoudigste vorm van \frac{13}{39} = 1/3: de breuk is niet weer te geven met kleinere gehele getallen dan 1 en 3. Het "zo klein mogelijk maken" noemt men vereenvoudigen. De efficiënte methode is de teller en de noemer te ontbinden in priemgetallen. De gemeenschappelijke getallen boven en onder de breuklijn kan men schrappen om zo tot de verst vereenvoudigde breuk te komen.

60/96= \frac{60}{96}=\frac{2 \times 2 \times 3 \times 5}{2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3} = \frac{(2 \times 2 \times 3)\times 5}{(2 \times 2 \times 3)\times(2 \times 2 \times 2)} = \frac{5}{2 \times 2 \times 2} = 5/8.

Dit onderdeel van het rekenen met breuken wordt als het moeilijkste beschouwd.

Als een breuk zo ver als mogelijk wordt vereenvoudigd, ontstaat een breuk waarvan de teller en de noemer de grootste gemene deler 1 hebben.

Optellen[bewerken]

Voor het optellen van breuken moeten deze eerst gelijknamig, met hetzelfde getal in de noemer, worden gemaakt, men zegt ook "op één noemer brengen". Beide breuken moeten dezelfde noemer krijgen. Als gemeenschappelijke noemer komt het product van de afzonderlijke noemers in aanmerking, maar in het algemeen is het kleinste gemene veelvoud beter. Een getal verandert niet als het met 1 vermenigvuldigd wordt. Dus mag men de teller en de noemer met hetzelfde getal vermenigvuldigen (dit is maal 1). Dus 12 = 12 x 1 = 12 x 33 = (13)/(23) = 36.

\frac{1}{3} + \frac{1}{4} = {4 \times 1 \over 4 \times 3} + {3 \times 1 \over 3 \times 4} = \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{7}{12}
1\frac 14 + 2\frac 25 = 1{5 \times 1 \over 5 \times 4} + 2{4 \times 2 \over 4 \times 5} = 1\frac{5}{20} + 2\frac{8}{20} = 3\frac{13}{20}

Voorbeeld van het gebruik van het kleinste gemene veelvoud (kgv). Het kgv van 6 en 8 is 24 = 4x6=3x8, dus

{5 \over 6} + {7 \over 8} = {4 \times 5 \over 4 \times 6} + {3 \times 7 \over 3 \times 8} = \frac{20}{24} + \frac{21}{24} = \frac{41}{24} = 1\frac{17}{24}

Aftrekken[bewerken]

Bij het aftrekken gaat men op dezelfde manier te werk:

\frac 13 - \frac 14 = {4 \times 1 \over 4 \times 3} - {3 \times 1 \over 3 \times 4} = \frac{4}{12} - \frac{3}{12} = \frac{1}{12}

Vermenigvuldigen[bewerken]

Met hele getallen[bewerken]

Vermenigvuldigen van breuken met hele getallen is eenvoudig. Eenvierde vermenigvuldigen met drie bijvoorbeeld doe je door simpelweg de teller met drie te vermenigvuldigen, bijvoorbeeld

3 \times {1 \over 4} = {3 \over 4}

en

5 \times {3 \over 7} = {15 \over 7} = 2{1 \over 7}

Met breuken[bewerken]

Vermenigvuldigen van breuken met een breuk is niet moeilijker. De teller van de eerste breuk wordt vermenigvuldigd met de teller van de tweede breuk en hetzelfde doe je met de noemers.

{2 \over 3} \times {4 \over 7} = {2 \times 4 \over 3 \times 7} = {8 \over 21}


Nog twee voorbeelden:

{1 \over 5} \times {3 \over 7} = {1 \times 3 \over 5 \times 7}= {3 \over 35}
{5 \over 6} \times {7 \over 8} = {5 \times 7 \over 6 \times 8} = {35 \over 48}


Gehele getallen kunnen we ook op deze manier bekijken:

5 = {5 \over 1}
5 \times {3 \over 7} = {5 \over 1}\times {3 \over 7} = {{5 \times 3} \over {1 \times 7}} = {15 \over 7} = 2{1 \over 7}

Delen[bewerken]

Delen is het vermenigvuldigen met het omgekeerde. Dit houdt in dat men in de tweede breuk de teller en de noemer verwisselt, bijvoorbeeld 2/3 wordt 3/2, 1/4 wordt 4/1, en vervolgens de eerste breuk vermenigvuldigd met die omgedraaide breuk

\frac 12 : \frac 35 = \frac 12 \times \frac 53 ={1 \times 5 \over 2 \times 3} = \frac{5}{6}

Deze manier werkt omdat men de breuk met 1 mag vermenigvuldigen. Door teller en noemer beide te vermenigvuldigen met het omgekeerde van de noemer wordt de nieuwe noemer 1. Omdat \frac{\frac53}{\frac53} = 1 mogen we de breuk hiermee vermenigvuldigen zodat in het voorbeeld

\frac 12 : \frac 35 = \frac{\frac12}{\frac35}=\frac{\frac12}{\frac35} \times 1=\frac{\frac12 \times \frac53}{\frac35 \times \frac53}=\frac{\frac 12 \times \frac 53}{1} ={1 \times 5 \over 2 \times 3} = \frac{5}{6} \!

Zie ook[bewerken]

Algemene algebraïsche rekenregels[bewerken]

In het vervolg van dit artikel gebruiken we de punt (\cdot) als vermenigvuldigingsteken, zoals in de algebra gebruikelijk is.

Optellen en aftrekken[bewerken]

\frac a b+\frac c d=\frac{a\cdot d+b\cdot c}{b\cdot d}

\frac a b-\frac c d=\frac{a\cdot d-b\cdot c}{b\cdot d}

Vermenigvuldigen en delen[bewerken]

\frac a b\cdot \frac c d=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}

\frac a b:\frac c d=\frac{a\cdot d}{b\cdot c}

Vereenvoudigen[bewerken]

\frac{a\cdot x}{b\cdot x}=\frac a b

Abstracte definitie van de rationale getallen[bewerken]

Als we de verzameling \mathbb{Z} der gehele getallen als gegeven beschouwen, dan kan de verzameling der breuken als volgt worden opgebouwd.

Beschouw de productverzameling \mathbb{Z}\times\mathbb{Z}_0, dat is de verzameling van alle koppels van gehele getallen waarvan het tweede element verschillend is van 0)=. Op deze productverzameling bepalen we een equivalentierelatie door te zeggen dat het koppel (a,b) gelijkwaardig is met (c,d) als a \cdot d  =  b \cdot c

Opdat dit een equivalentierelatie zou zijn, moeten we transitiviteit nagaan: indien een willekeurig derde koppel (e,f) gelijkwaardig is met (c,d), dan ook met (a,b). We rekenen dit uit:

d\cdot (a\cdot f-b\cdot e)=a\cdot d\cdot f-b\cdot d\cdot e=b\cdot c\cdot f-b\cdot d\cdot e=b\cdot (c\cdot f-d\cdot e)=0

en omdat d verschillend is van 0, moet a \cdot f  =  b \cdot e.

We noteren de equivalentieklasse van het koppel (a,b) als de breuk a/b. Men kan nagaan dat de algemene rekenregels voor de optelling en de vermenigvuldiging van breuken compatibel zijn met deze equivalentierelatie (de resultaten zijn onafhankelijk van de gekozen vertegenwoordiger van een equivalentieklasse) en dat ze de structuur van een lichaam (Nederlands) of veld (Belgisch) bepalen. De elementen van dit veld noemt men de rationale getallen.

Externe link[bewerken]