Algebraïsche meetkunde

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Dit Togliatti-oppervlak is een algebraïsch oppervlak van graad vijf.

Algebraïsche meetkunde is een deelgebied van de wiskunde dat technieken uit de abstracte algebra, met name de commutatieve algebra, combineert met de taal en de problemen van de meetkunde. Algebraïsche meetkunde neemt een centrale plaats in de moderne wiskunde in en heeft meerdere conceptuele verbindingen met uiteenlopende gebieden als complexe analyse, topologie en getaltheorie. Als er meer dan één variabele is, komt de meetkunde eraan te pas. Aanvankelijk een studie van polynomiale vergelijkingen in meerdere variabelen, begint het onderwerp van de algebraïsche meetkunde, waar het oplossen van vergelijkingen ophoudt, en het is in de algebraïsche meetkunde minstens zo belangrijk om de totaliteit van oplossingen van een stelsel van vergelijkingen te begrijpen, dan om een oplossing te vinden; dit alles leidt naar enkele van de diepste wateren in de gehele wiskunde, zowel conceptueel als technisch.

Het fundamentele studieobject in de algebraïsche meetkunde zijn algebraïsche variëteiten, meetkundige uitingen van oplossingen van systemen van veeltermvergelijkingen. Algebraïsche vlakkrommen, waaronder lijnen, cirkels, parabolen, lemniscaten en ovalen van Cassini, vormen een van de best bestudeerde klassen van algebraïsche variëteiten. Een punt in het vlak behoort bij een algebraïsche kromme, indien zijn coördinaten voldoen aan een gegeven veeltermvergelijking. Fundamentele vragen gaan over de relatieve positie van de verschillende krommen en de relaties tussen de krommen, die door verschillende vergelijkingen gegeven worden.

René Descartes zijn idee van coördinaten staat in de algebraïsche meetkunde centraal, maar de notie van coördinaten heeft beginnend in de vroege 19e eeuw een reeks van opmerkelijke veranderingen ondergaan. Voor die tijd werd ervan uitgegaan dat coördinaten tupels van reële getallen waren, maar dit veranderde toen eerst complexe getallen, en later ook elementen van een willekeurig veld ook aanvaardbaar werden. Homogene coördinaten uit de projectieve meetkunde boden een uitbreiding van de notie van een coördinatenstelsel in een andere richting, en verrijkte de werkingssfeer van de algebraïsche meetkunde. Veel van de ontwikkeling van de algebraïsche meetkunde in de 20e eeuw kwamen tot uiting binnen een abstract algebraïsch raamwerk, waar steeds meer nadruk werd gelegd op 'intrinsieke' eigenschappen van algebraïsche variëteiten, eigenschappen die niet afhankelijk zijn van een bepaalde wijze van inbedding van de variëteit in een ambiente coördinatenruimte; dit komt overeen met parallelle ontwikkelingen in de topologie en de complexe meetkunde.

Een belangrijk onderscheid tussen de klassieke projectieve meetkunde van de 19e eeuw en moderne algebraïsche meetkunde, in de vorm die eraan werd gegeven door Grothendieck en Serre, is dat de klassieke projectieve meetkunde gericht is op de meer meetkundige notie van een punt, terwijl de moderne algebraïsche meetkunde de meer analytische concepten van een reguliere functie en een reguliere afbeelding benadrukt en zich daarbij uitgebreid baseert op de schoventheorie. Een ander belangrijk verschil ligt in de reikwijdte van het onderwerp. Grothendiecks idee van een schema biedt de taal en de hulpmiddelen voor een meetkundige behandeling van willekeurige commutatieve ringen en overbrugt, in het bijzonder, de verschillen tussen de algebraïsche meetkunde en de algebraïsche getaltheorie. Andrew Wiles zijn gevierde bewijs van de laatste stelling van Fermat is een levend bewijs van de kracht van deze aanpak. André Weil, Alexander Grothendieck en Pierre Deligne lieten zien dat de fundamentele ideeën van de topologie van gladde variëteiten diepe analogieën hebben in de algebraïsche meetkunde van eindige velden.

Nulpunten van gelijktijdige polynomen[bewerken]

De klassieke algebraïsche meetkunde richt zich vooral op de verdwijnpunten van verzamelingen van polynomen, dus de reeks van alle punten die tegelijk een of meer polynome vergelijkingen op kunnen lossen. Bijvoorbeeld: de tweedimensionale bol in de driedimensionale Euclidische ruimte R3 kan worden gedefinieerd als een reeks van alle punten (x,y,z) met

x^2+y^2+z^2-1=0 \,.

Een cirkel in R3 kan worden gedefinieerd als de reeks van alle punten (x,y,z) die beantwoorden aan de twee polynome vergelijkingen

x^2+y^2+z^2-1=0 \,,
x+y+z=0 \,.

Een kegelsnede is de verzameling nulpunten van een polynoom van de tweede graad in twee veranderlijken. Een kwadriek is de verzameling nulpunten van een polynoom van de tweede graad in drie veranderlijken. Een voorbeeld van een algebraïsche kromme van de derde graad is een elliptische kromme.

Algebraïsch gesloten lichaam[bewerken]

Het al dan niet bestaan van oplossingen, en als ze bestaan, de structuur van de nulpuntsverzameling, wordt sterk beïnvloed door het getallenlichaam waarin we a priori oplossingen toelaten. Dit is reeds duidelijk bij het zoeken naar nulpunten van polynomen in één veranderlijke. De vergelijking

x^2-2=0 \,

heeft twee oplossingen over de reële getallen, maar geen enkele over de rationale getallen. In twee veranderlijken is de verzameling nulpunten van de vergelijking

x^2+y^2+1=0 \,

leeg als we x en y reëel veronderstellen, maar een (complexe) cirkel als we imaginaire oplossingen toelaten.

De algebraïsche meetkunde wordt overzichtelijker als we ons beperken tot stelsels van vergelijkingen over algebraïsch gesloten lichamen, zoals de complexe getallen. De studie van algebraïsche variëteiten over andere lichamen, bijvoorbeeld de reële algebraïsche meetkunde, kan dan worden opgevat als een voortgezette studie.

Verwante soorten[bewerken]

We beginnen met een lichaam k. In de klassieke algebraïsche meetkunde was dit lichaam altijd \mathbb C, de complexe getallen, maar veel van dezelfde resultaten zijn waar als we alleen veronderstellen dat k een gesloten lichaam is. We definiëren {\mathbb A}^n_k, de verwante n-ruimte over k, als kn. Het doel van deze schijnbaar overbodige notatie is te benadrukken dat de vectorstructuur die bij kn hoort even vergeten moet worden. In abstracte bewoordingen is {\mathbb A}^n_k voor het moment slechts een verzameling punten.

Voortaan laten we k in {\mathbb A}^n_k weg en schrijven we in plaats daarvan {\mathbb A}^n. Definieer een functie

f:{\mathbb A}^n\to{\mathbb A}^1

die regulier is als ze als een polynoom geschreven kan worden, dus, als een polynoom p,

bevat in

k[x_1,...,x_n] \,

zodat voor elk punt

(t_1,...,t_n) \,

van {\mathbb A}^n,

f(t_1,...,t_n) = \,
p(t_1,...,t_n) \,.

Reguliere functies in verwante n-ruimte zijn dus hetzelfde als polynomen over k in n variabelen. We schrijven de reguliere functies in {\mathbb A}^n als k[{\mathbb A}^n].

Polynomen verdwijnen op een punt waar ze op nul uitkomen. We definiëren S als een reeks polynomen in k[{\mathbb A}^n]. De verdwijnpuntenreeks van S is de reeks V(S) van alle punten in \mathbb{A}^n waarbij elke polynoom in S wegvalt. In andere woorden,

V(S)={(t1, ...,tn) | voor elke p in S,

p(t1, ...,tn) = 0}.

Een deelreeks van {\mathbb A}^n, dus V(S) voor een S, wordt een algebraïsche reeks genoemd. De V staat voor (algebraïsche) variëteit (een zekere soort van algebraïsche reeks die hieronder gedefinieerd wordt).

Kan met een gegeven deelreeks V van {\mathbb A}^n, die een variëteit is, de set polynomen teruggevonden worden waaruit ze gevormd werd? Als V een willekeurige deelreeks is van {\mathbb A}^n, definieer dan I(V) als de reeks van alle polynomen waarvan de verdwijnpuntenreeks V bevat. De I staat voor ideaal: als twee polynomen f en g beiden verdwijnen op V, dan verdwijnt f+g op V en als h een willekeurige polynoom is, dan verdwijnt hf op V, dus I(V) is altijd een ideaal van k[{\mathbb A}^n].

Twee vanzelfsprekende vragen zijn: Wanneer is

V = V(I(V))

bij een gegeven deelreeks V van {\mathbb A}^n? Wanneer is

S = I(V(S))

Bij een gegeven set s van polynomen?

Het antwoord op de eerste vraag wordt geleverd door het introduceren van de topologie van Zariski, een topologie voor {\mathbb A}^n, die direct de algebraïsche structuur weergeeft van k[{\mathbb A}^n]. V = V(I(V)) dan en slechts dan als V een Zariski-gesloten reeks is. Het antwoord op de tweede vraag wordt gegeven door Hilberts Nullstellensatz. In een van zijn vormen zegt het dat I(V(S)) de grondradicaal is van het ideaal dat door S wordt gegenereerd. In abstractere taal is er een Galoisverbinding die twee sluitingsmogelijkheden oplevert. Die kunnen worden geïdentificeerd en spelen een elementaire rol in de theorie.

Om allerlei redenen zullen we niet altijd willen werken met een compleet ideaal overeenkomstig met de algebraïsche reeks V. De basisstelling van Hilbert laat blijken dat idealen in k[{\mathbb A}^n] altijd eindig worden gegenereerd.

Een algebraïsche reeks wordt onherleidbaar genoemd als het niet kan worden geschreven als de combinatie van twee kleinere algebraïsche reeksen. Een onherleidbare algebraïsche reeks wordt ook wel een variëteit genoemd. Het komt erop uit dat een algebraïsch reeks een variëteit is als en alleen als de polynomen die het definiëren een priemideaal van de polynome ring genereren.

Projectieve ruimte[bewerken]

Een parabool (y = x2, rood) en een derdegraadsvergelijking (y = x3, blauw) in de projectieve ruimte

Beschouw de variëteit V(y - x2). Wanneer men de variëteit tekent, krijgt men een parabool. Naarmate de waarde van x toeneemt zal de hellingshoek van de lijn door de oorsprong naar het punt (x, x2) groter en groter worden. Naarmate x in waarde afneemt, wordt de hellingshoek van de lijn daarentegen kleiner en kleiner.

Vergelijk dit met de variëteit V(y - x3). Dit is een derdegraadsvergelijking. Naarmate x in waarde toeneemt, wordt de hellingshoek van de lijn door de oorsprong naar het het punt (x, x3) groter en groter. Maar afwijkend van wat er gebeurt bij een parabool wordt naarmate x in waarde afneemt de hellingshoek van dezelfde lijn groter en groter. Het gedrag "op oneindig" van V(y& - x3) is verschillend van het gedrag "op oneindig" van V(y - x2). Wanneer men zich beperkt tot het werken in de affiene ruimte, is het echter moeilijk om het concept "op oneindig" een betekenisvolle inhoud te geven.

De remedie hiertegen is om in de projectieve ruimte te werken. De projectieve ruimte heeft eigenschappen die analoog zijn aan die van een compacte Hausdorff-ruimte. Naast andere dingen dwingt de projectieve ons om het begrip "op oneindig" concreet te maken door er extra punten in op te nemen. Het gedrag van een variëteit op die extra punten geeft ons dan meer informatie over die variëteit. Zo blijkt dat V(y - x3) op een van deze extra punten een singulariteit heeft, maar dat V(y - x2) een gladde functie is.

Hoewel de projectieve meetkunde oorspronkelijk was gefundeerd op een synthetisch meetkundig fundament, stond het gebruik van homogene coördinaten de invoering van algebraïsche technieken toe. Verder heeft de invoering van projectieve technieken vele stellingen in de algebraïsche meetkunde eenvoudiger en scherper: de stelling van Bézout over het aantal snijpunten tussen twee variëteiten kan in zijn scherpste vorm bijvoorbeeld alleen in de projectieve ruimte worden gesteld. Om deze reden speelt de projectieve ruimte een fundamentele rol in de algebraïsche meetkunde.

Geschiedenis[bewerken]

Prehistorie: voor de 19e eeuw[bewerken]

Sommige van de fundamenten van de algebraïsche meetkunde gaan terug tot werk dat werd gedaan in het klassieke Griekenland uit de 5e eeuw voor Christus. Het Delische probleem bestond er bijvoorbeeld uit een lengte x te construeren, zodat de kubus van de zijde x voor gegeven zijden a en b hetzelfde volume bevat als de rechthoekige doos a2b. Menaechmus (ca. 350 v.Chr.) beschouwde het probleem meetkundig door het paar van kegelsneden ay = x2 en xy =ab in het vlak te doorsnijden[1]

Het latere werk in de Hellenistische tijd (3e eeuw v.Chr.) van Archimedes en Apollonius bestudeerden problemen op kegelsneden op een meer systematische analyse,[2] waarbij zij ook gebruik maakten van coördinaten [1] De Arabische wiskundigen waren in staat louter door gebruik te maken van algebraïsche middelen bepaalde derdegraadsvergelijkingen op te lossen en de behaalde resultaten vervolgens meetkundig te interpreteren. Dit werd bijvoorbeeld in de 10e eeuw na Chr. door Ibn al-Haytham gedaan [3] Vervolgens ontdekte de Perzische wiskundige Omar Khayyám (geboren in 1048) de algemene methode voor het oplossen van derdegraadsvergelijkingen door een parabool te doorsnijden met een cirkel [4] Elk van deze vroege ontwikkelingen in de algebraïsche meetkunde hield zich bezig met vragen hoe de doorsneden van algebraïsche krommen te vinden en te beschrijven.

Dergelijke technieken om meetkundige constructies toe te passen op algebraïsche problemen werden ook door een aantal Renaissance wiskundigen, zoals Gerolamo Cardano en Niccolò "Tartaglia", overgenomen bij hun studies van de derdegraadsvergelijking. De meetkundige, in plaats van algebraïsche benadering bij constructieproblemen werd voorgestaan door de meeste 16e en 17e-eeuwse wiskundigen, zoals bijvoorbeeld Blaise Pascal die zich tegen het gebruik van algebraïsche- en analytische methoden in de meetkunde uitsprak.[5] De Franse wiskundigen François Viète en later René Descartes en Pierre de Fermat voerden een revolutie door in de conventionele manier van denken over constuctieproblemen. Zij introduceerden de "coördinaten"-meetkunde. Ze waren in de eerste plaats geïnteresseerd in de eigenschappen van algebraïsche krommen, zoals die worden gedefinieerd door Diophantische vergelijkingen (in het geval van Fermat), en de algebraïsche herformulering van de klassieke Griekse werken over kegelsneden en kubusvormen (in het geval van Descartes).

In dezelfde periode benaderden Blaise Pascal en Girard Desargues de meetkunde vanuit een ander perspectief. Zij ontwikkelden de synthetische noties van de projectieve meetkunde. Pascal en Desargues bestudeerden ook krommen, maar vanuit een zuiver meetkundig gezichtspunt: het analogon van de klassiek Griekse Constructie met passer en liniaal. Uiteindelijk won de analytische meetkunde van Descartes en Fermat, dit omdat de 18e eeuw wiskundigen van concrete kwantitatieve instrumenten voorzag die zij nodig hadden om de natuurkundige problemen met behulp van de nieuwe differentiaal- en integraalrekening van Newton studie en Leibniz te bestuderen. Aan het einde van de 18e eeuw, werd het grootste deel van het algebraïsche karakter van de "coördinaten"-meetkunde in calculus van de infinitesimalen van Lagrange en Euler.

Negentiende en vroege 20e eeuw[bewerken]

Er waren twee gelijktijdige 19e-eeuwse ontwikkelingen van de niet-Euclidische meetkunde en de Abelse integralen voor nodig om de oude algebraïsche ideeën terug te brengen in de mainstream van de meetkundige wereld. De eerste van deze nieuwe ontwikkelingen werd door Edmond Laguerre en Arthur Cayley opgepakt. Zij probeerden de algemene metrische eigenschappen van projectieve ruimten vast te stellen. Cayley introduceerde het idee van homogene veeltermvormen, en meer specifiek kwadratische vormen over de projectieve ruimte.

Vervolgens bestudeerde Felix Klein de projectieve meetkunde (samen met andere soorten van meetkunde) vanuit het oogpunt dat de meetkunde op een ruimte is gecodeerd in een bepaalde klasse van transformaties op deze ruimte. Tegen het einde van de 19e eeuw bestudeerden projectieve meetkundigen algemene soorten transformaties op figuren in de projectieve ruimte.

In plaats van projectieve lineaire transformaties, die normaal werden gezien als de fundamentele Klein-meetkunde gevend op projectieve ruimte, hielden de projectieve meetkundigen zich ook met hogere graads birationale transformaties bezig. Deze zwakkere notie van congruentie zette leden van de 20e eeuw Italiaanse school van de algebraïsche meetkunde er later toe aan een poging te ondernemen om algebraïsche oppervlakken op en naar ("upto") birationaal isomorfisme te classificeren.

De tweede begin 19e-eeuwse ontwikkeling, die van de Abelse integralen, zou Bernhard Riemann aanzetten tot de ontwikkeling van de Riemann-oppervlakken.

Twintigste eeuw[bewerken]

Bartel Leendert van der Waerden, Oscar Zariski, André Weil en anderen probeerden om een strikte basis voor de algebraïsche meetkunde te leggen, dit gebaseerd op de hedendaagse commutatieve algebra, waaronder de waarderingstheorie en de theorie van de idealen.

In de jaren 1950 en 1960 herschikten Jean-Pierre Serre en Alexander Grothendieck deze grondslagen. Zij maakten hierbij gebruik van de schoventheorie. Later, vanaf ongeveer 1960, en grotendeels aangevoerd door Grothendieck, werd het idee van schema's uitgewerkt, dit in samenhang met de zeer verfijnde apparatus van de homologische technieken. Na een decennium van snelle ontwikkeling stabiliseerde het veld zich in de jaren 1970. Nieuwe toepassingen werden gevonden, zowel in de getaltheorie als ook bij meer klassieke meetkundige vragen over algebraïsche variëteiten, singulariteiten en moduli.

Een belangrijke klasse van variëteiten, die niet gemakkelijk direct valt te begrepen uit de definitie van haar vergelijkingen, zijn de abelse variëteiten, eigenlijk projectieve variëteiten, waarvan de punten een abelse groep vormen. Prototypische voorbeelden zijn de, een rijke theorie kennende elliptische krommen. Elliptische krommen waren instrumentaal in het bewijs van de laatste stelling van Fermat en worden tegenwoordig ook gebruikt in de elliptische kromme-cryptografie.

Terwijl een groot deel van de algebraïsche meetkunde zich bezighoudt met abstracte- en algemene uitspraken over variëteiten, zijn er ook methoden voor de effectieve berekening met concreet gegeven veeltermen ontwikkeld. De belangrijkste is de techniek van Gröbner-basissen, die in alle computeralgebrasystemen worden gebruikt. Op basis van deze methoden kunnen verschillende oplossers alle oplossingen van een stelsel van veeltermvergelijkingen berekenen, waarvan de geassocieerde variëteit een dimensie nul heeft en dus uit een eindig aantal punten bestaat.

Toepassingen[bewerken]

De algebraïsche meetkunde vindt nu toepassing in de statistiek, de meet- en regeltechniek, de robotica, foutverbeterende codes, de fylogenetica en meetkundige modellering. Er zijn ook verbindingen naar de snaartheorie, de speltheorie, het matchen van grafen, solitonen en geheeltallige programmering. Google Scholar laat honderden studies over de algebraïsche meetkunde zien op de gebieden van de biologie, de scheikunde, de economie, de natuurkunde en natuurlijk ook in andere deelgebieden van de wiskunde.

Voetnoten[bewerken]

  1. a b Dieudonné, Jean (1972). The historical development of algebraic geometry (De historische ontwikkeling van de algebraïsche meetkunde). The historical development of algebraic geometry 79 (8): 827-866 (The American Mathematical Monthly, vol. 79, nr. 8).
  2. Kline, M. (1972) Mathematical Thought from Ancient to Modern Times (deel 1). Oxford University Press. blz. 108, 90
  3. Kline, M. (1972) Mathematical Thought from Ancient to Modern Times (deel 1). Oxford University Press. blz. 193
  4. Kline, M. (1972) Mathematical Thought from Ancient to Modern Times (deel 1). Oxford University Press. blz. 193-195.
  5. Kline, M. (1972) Mathematical Thought from Ancient to Modern Times (deel 1). Oxford University Press. blz. 279.