Coördinatenruimte

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de lineaire algebra, een deelgebied van de wiskunde, is de coördinatenruimte F^n het n-voudige Cartesische product van het lichaam (Ned) / veld (Be) F. De coördinatenruimte F^n bestaat uit de rijtjes (n-tupels) van n elementen van F. Een coördinatenruimte is het prototypische voorbeeld van een vectorruimte over een eindige indexverzameling.

Definitie[bewerken]

Voor een willekeurig lichaam (Ned) / veld (Be) F (zoals de reële getallen R of de complexe getallen C) en natuurlijk getal n wordt de ruimte F^n van alle n-tupels van elementen van F de n-dimensionale coördinatenruimte genoemd.

De coördinatenruimte is een n- dimensionale vectorruimte over F.

Een element x van F wordt geschreven als het rijtje

x = (x_1, x_2, \cdots, x_n),

waarin elke x_i een element is van F.

Optelling en scalaire vermenigvuldiging op F^n zijn gedefinieerd door

x + y = (x_1 + y_1, x_2 + y_2, \cdots, x_n + y_n)

en

\alpha x = (\alpha x_1, \alpha x_2, \cdots, \alpha x_n).

De nulvector is

0 = (0, 0, \cdots, 0)

en de additieve inverse van de vector x wordt gegeven door

-x = (-x_1, -x_2, \cdots, -x_n).

Matrixnotatie[bewerken]

De elementen van de coördinatenruimte F^n worden ook wel in matrixnotatie geschreven als kolomvectoren

x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix}

of soms als rijvectoren:

x = \begin{bmatrix} x_1 & x_2 & \dots & x_n \end{bmatrix}.

De coördinatenruimte F^n kan dan worden geïnterpreteerd als de ruimte van alle n×1-kolomvectoren of alle 1×n-rijvectoren, uitgerust met de gewone matrixoperaties van optellen en scalaire vermenigvuldiging.

Lineaire transformaties van F^n naar F^m kunnen dan worden geschreven als m×n-matrices, die via linkervermenigvuldiging (wanneer de elementen van F^n kolomvectoren zijn) of rechtervermenigvuldiging (als het rijvectoren zijn) inwerken op de elementen van F^n.

Standaardbasis[bewerken]

De coördinatenruimte F^n heeft als standaardbasis het stelsel eenheidsvectoren:

\mathbf e_1 = (1, 0, \ldots, 0)
\mathbf e_2 = (0, 1, \ldots, 0)
\vdots
\mathbf e_n = (0, 0, \ldots, 1)

waarin 1 de multiplicatieve identiteit in F aanduidt.

Isomorfie[bewerken]

Alle n-dimensionale vectorruimten over hetzelfde lichaam zijn met elkaar isomorf.

Zie ook[bewerken]