Alexander Grothendieck

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Alexander Grothendieck

Alexander Grothendieck (Berlijn, 28 maart 1928Saint-Lizier, 13 november 2014) was een Frans wiskundige die geldt als een van de grootste wiskundigen van de twintigste eeuw.[1][2][3] Hij bereikte zijn top in de jaren zestig van de twintigste eeuw.

Leven[bewerken]

Familie en kindertijd[bewerken]

Alexander Grothendieck werd geboren in Berlijn uit een Duitse moeder uit een protestantse familie, de schrijfster en journaliste Johanna (Hanka) Grothendieck, en een Russische vader, Alexander (Sascha) Schapiro die gevlucht was en onder de schuilnaam Alexander Tanarow aan de kost kwam als fotograaf. Zijn ouders waren niet met elkaar getrouwd, want zijn moeder was nog niet gescheiden van haar vorige man. Beide ouders hadden in hun tienerjaren met hun ouderlijk milieu gebroken. Na de scheiding van zijn moeder van de Duitse journalist, Johannes Raddatz, nam hij de familienaam van zijn moeder aan; voortaan heette hij Alexander Grothendieck.

Omdat zijn vader Joods was en zowel zijn vader als moeder anarchisten waren, vluchtten zij na de machtsovername door de nazi's in 1933 naar Parijs. Alexander, die aanvankelijk in Hamburg bij een pleeggezin was achtergebleven, volgde zijn ouders in 1939, toen zijn pleegouders het te gevaarlijk vonden worden om nog langer te zorgen voor een Joods uitziend jongetje van een jaar of tien. Tijdens de Spaanse Burgeroorlog verbleven beide ouders in Spanje, waar zij vochten aan de kant van de Spaanse republikeinen.

Oorlogsjaren[bewerken]

Vanaf 1939 verbleef Grothendieck samen met zijn moeder in verschillende kampen voor ontheemde personen, eerst in het Camp de Rieucros. Daarna verbleef hij de rest van de oorlog in het dorp Le Chambon-sur-Lignon, waar hij verborgen zat in lokale pensions. Zijn Joodse vader werd vanuit Drancy naar Auschwitz gestuurd, waar hij in 1942 werd vergast. Terwijl Grothendieck in Chambon woonde, bezocht hij het Collège Cévenol (dat nu bekendstaat als het Le Collège-Lycee International Cévenol), een unieke middelbare school, die in 1938 door lokale protestantse pacifisten en anti-oorlogsactivisten was opgericht. Veel van de gevluchte kinderen die in Chambon zaten ondergedoken, bezochten Cévenol en het was op deze school dat Grothendieck voor het eerst gefascineerd raakte door de wiskunde.

Eerste jaren na de oorlog[bewerken]

Grothendieck begon na de oorlog aan een studie wiskunde in Montpellier, met het doel om leraar te worden, want hij had begrepen dat het wiskundig onderzoek 'af' was. Zijn talent werd echter ontdekt door zijn docenten, en vanaf 1948 studeerde hij in Parijs.

Wiskundig werk[bewerken]

Grothendiecks vroege wiskundige werk was op het gebied van de functionaalanalyse. Tussen 1949 en 1953 werkte hij in Nancy aan zijn proefschrift, "Produits tensoriels topologiques et espaces nucleaires" [4] over dit onderwerp Hij werd daarbij begeleid door Jean Dieudonné en Laurent Schwartz. Zijn belangrijkste bijdragen zijn onder ander topologische tensorproducten van topologische vectorruimten, de theorie van de nucleaire ruimten als het fundament van Schwartz-distributies, en de toepassing van Lp-ruimten in het bestuderen van lineaire afbeeldingen tussen topologische vectorruimten. In een paar jaar had hij zich tot een toonaangevende autoriteit op het gebied van de functionaalanalyse ontwikkeld – in die zin vergelijkt Dieudonné zijn invloed op dit gebied met die van van Banach.[5]

Tijdens verblijven in São Paulo en Kansas verschoof zijn interesse echter in de richting van de algebraïsche meetkunde en de topologie. Het is ook in de algebraïsche meetkunde en aanverwante gebieden dat Grothendieck zijn belangrijkste en meest invloedrijke werk verrichte. Vanaf ongeveer 1955 begon hij te werken aan de schooftheorie en de homologische algebra. Naar aanleiding daarvan schreef hij zijn invloedrijke "Tôhoku-publicatie" (Sur quelques points d'algèbre homologique, dat in 1957 in het Tohoku Mathematical Journal werd gepubliceerd). In dit artikel introduceerde hij abelse categorieën en paste hij de theorie toe om aan te tonen dat schoofcohomologie in deze context kan worden gedefinieerd als zekere afgeleide functoren.[6]

Homologische methoden en de schoventheorie waren al eerder door Jean-Pierre Serre en anderen in de algebraïsche meetkunde geïntroduceerd, dit nadat het concept van "schoven" eerder door Jean Leray was gedefinieerd. Grothendieck tilde echter beide gebieden naar een hoger niveau van abstractie en maakte zij tot een belangrijk ordenend principe van zijn theorie. Hij verschoof de aandacht van de studie van individuele variëteiten naar het relatieve oogpunt (van paren van variëteiten die aan elkaar gerelateerd waren door een morfisme), wat een brede generalisatie van vele klassieke stellingen toeliet.[7] De eerste belangrijke toepassing was de relatieve versie van de stelling van Serre, waaruit blijkt dat de cohomologie van een coherente schoof op een complete variëteit eindig-dimensionaal is; de stelling van Grothendieck laat zien dat de hogere directe afbeeldingen van coherente schoven onder een strikte kaart coherent zijn; Dit reduceert tot de stelling van Serre over een één-punt ruimte.

In 1956 paste hij dezelfde denkwijze toe op de stelling van Riemann-Roch, een stelling die onlangs al tot elke dimensie was veralgemeend door Hirzebruch. De stelling van Grothendieck-Riemann-Roch werd in 1957 door Grothendieck aangekondigd op de eerste Mathematical Arbeitstagung in Bonn.[7] Het verscheen in druk in een artikel dat samen werd geschreven werd door Armand Borel en Jean-Pierre Serre. Dit resultaat was Grothendiecks eerste werk in de algebraïsche meetkunde. Hij ging door met het plannen en uitvoeren van een programma voor de wederopbouw van de fundamenten van de algebraïsche meetkunde, een onderwerp dat op dat moment in een staat van flux verkeerde en onder ter discussie stond in een seminar dat werd geleid door Claude Chevalley; Grothendieck schetste zijn programma in 1958 in zijn toespraak op het vierjaarlijkse Internationaal Wiskundecongres in Edinburgh.

Zijn fundamentele werk op het gebied van de algebraïsche meetkunde ligt op een hoger abstractieniveau dan alle voorgaande versies. Hij paste het gebruik van niet-gesloten generieke punten toe, wat leidde tot de theorie van schema’s. Hij was ook een pionier in het systematisch gebruik van nilpotenten. Als 'functies' kunnen deze alleen de waarde 0 aannemen, maar zij dragen in puur algebraïsche settings oneindig veel informatie. Zijn theorie van schema’s wordt algemeen erkend als het beste universele raamwerk voor dit deelgebied van de wiskunde, zowel vanwege haar expressiviteit als ook om haar technische diepgang. In die setting kan men gebruik maken van de birationale meetkunde, technieken uit de getaltheorie, Galois-theorie en commutatieve algebra en nabije analogonen uit de methoden van de algebraïsche topologie, alles op een geïntegreerde manier.[6][8][9]

Grothendieck staat ook bekend vanwege zijn beheersing van de abstracte benaderingen van de wiskunde en zijn perfectionisme in zake formulering en presentatie.[10] Relatief weinig van zijn werk van na 1960 is, via de gebruikelijke weg in wetenschappelijk tijdschriften gepubliceerd. Aanvankelijk circuleerde zijn werk in gedupliceerde verslagen van seminars; zijn invloed was in aanzienlijke mate persoonlijk. Zijn invloed strekte zich uit tot vele andere takken van de wiskunde, bijvoorbeeld de hedendaagse theorie van de D-modulen. (Het lokte ook tegenreacties op, bijvoorbeeld met vele wiskundigen, die zochten meer concrete onderzoeksgebieden en problemen.)[11][12]

In 1959 werd hem een baan aangeboden aan het nieuw opgerichte Institut des hautes études scientifiques (IHES). Hier werkte hij, met mensen als Jean-Pierre Serre en Pierre Deligne, aan de nog altijd niet afgeronde boeken Éléments de géométrie algébrique (EGA)[13] en Séminaire de géométrie algébrique (SGA)[14], die als basis voor de hedendaagse algebraïsche meetkunde en getaltheorie worden gezien. Hij introduceerde onder meer de tegenwoordig veelgebruikte begrippen als schema, motieven en étale cohomologie.

Grothendieck kreeg in 1966 de Fields-medaille toegekend voor[15]

"Bouwde voort op werk van Weil en Zariski en beïnvloedde fundamentele vooruitgang in algebraïsche meetkunde. Hij voerde het begrip K-theorie in (de Grothendieck groep en Grothendieck ring). Bracht een revolutie in homologische algebra in zijn gevierde "Tôhoku-publicatie".

Met die publicatie bedoelde de jury: "Sur quelques points d'algèbre homologique", gepubliceerd in Tohoku Mathematical Journal[16] met de grondslagen van de Abelse categorie.

Latere leven[bewerken]

Vanwege zijn ervaringen tijdens de oorlog is Grothendieck altijd een fel pacifist geweest. Zo gaf hij, als protest tegen de Vietnamoorlog, lezingen in de bossen bij Hanoi toen deze stad werd gebombardeerd. In 1970 trok hij zich terug uit de academische wereld, nadat hij had ontdekt dat het IHES deels met militair geld werd betaald. Hij keerde echter een paar jaar later terug als hoogleraar in Montpellier, totdat hij in 1988 met vervroegd pensioen ging. Hij had toen veel kritiek op de wetenschappelijke wereld, wat onder meer leidde tot de weigering van de aan hem en Pierre Deligne in dat jaar voor hun "fundamentele bijdrage aan de analytische meetkunde"[17] toegekende Crafoord-prijs.[18] In 1991 verliet hij zijn huis en was lange tijd spoorloos. Hij leefde tot aan zijn dood in 2014 in de Pyreneeën.

In januari 2010 schreef Grothendieck een brief aan de Franse wiskundige Luc Illusie. In deze Déclaration d'intention de non-publication, merkt hij op dat in essentie alle materiaal dat in de laatste twintig jaar in zijn afwezigheid is gepubliceerd, zonder zijn toestemming is verschenen. Hij vraagt dat geen van dit werk in zijn geheel of gedeeltelijk wordt gereproduceerd en dat bibliotheken die dit werk in bezit hebben, dit uit hun collecties verwijderen[19]

Alexander Grothendieck overleed eind 2014 op 86-jarige leeftijd in het ziekenhuis van Saint-Girons bij Saint-Lizier.[20][21]

Externe links[bewerken]

Bronnen, noten en/of referenties
  1. http://www.spectator.co.uk/features/12036/the-einstein-of-maths/
  2. http://www.lemonde.fr/disparitions/article/2014/11/14/le-mathematicien-alexandre-grothendieck-est-mort_4523482_3382.html
  3. http://www.telegraph.co.uk/news/obituaries/11231703/Alexander-Grothendieck-obituary.html
  4. http://www.genealogy.ams.org/id.php?id=31245
  5. Dieudonné, 1990
  6. Citefout: Onjuiste tag <ref>; er is geen tekst opgegeven voor refs met de naam jackson1
  7. a b Piotr Pragracz. Notes on the life and work of Alexander Grothendieck
  8. Zie bijvoorbeeld. Deligne, (1998).
  9. {{cite web | laatste = Mclarty | eerste = Colin | title = title=The Rising Sea: Grothendieck on simplicity and generality I | url = http: //people.math.jussieu.fr/~leila/grothendieckcircle/mclarty1.pdf | format = PDF |
  10. Citefout: Onjuiste tag <ref>; er is geen tekst opgegeven voor refs met de naam artist
  11. Equality of Mathematicians
  12. The Einstein of maths
  13. http://www.numdam.org/numdam-bin/fitem?id=PMIHES_1960__4__5_0
  14. http://fr.arxiv.org/abs/math/0206203
  15. http://www.mathunion.org/o/General/Prizes/Fields/1966/
  16. http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0102537
  17. http://www.crafoordprize.se/download/18.10119fc11455d3c557d1ba6/1397648332773/crafoordprizes1982_2014
  18. https://web.archive.org/web/20060106062005/http://www.math.columbia.edu/~lipyan/CrafoordPrize.pdf
  19. (fr) Brief van Grothendieck
  20. www.liberation.fr
  21. http://www.nytimes.com/2014/11/16/world/europe/alexander-grothendieck-math-enigma-dies-at-86.html?_r=0