Galoistheorie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

De galoistheorie is een tak van de wiskunde, meer bepaald van de abstracte algebra. Ze is genoemd naar de Franse wiskundige Évariste Galois.

Galois ontwikkelde zijn theorie om nulpunten van polynomen te bestuderen. In haar oorspronkelijke vorm bestudeert de galoistheorie groepen van permutaties op de nulpunten van een polynoom, die het polynoom zelf invariant laten.

De moderne vorm van de galoistheorie is afkomstig van Richard Dedekind. In die vorm behandelt ze uitbreidingen van (commutatieve) lichamen door met ieder paar lichamen K\subset L een (niet noodzakelijk commutatieve) groep G[L/K] te associëren, galoisgroep van L over K genaamd. De elementen van G[L/K] zijn de automorfismen van L die de elementen van K stuk voor stuk invariant laten. De hoofdstelling van de galoistheorie brengt stijgende ketens van lichamen in verband met dalende ketens van normaaldelers in een groep.

De galoistheorie wordt vaak gebruikt om aan te tonen dat sommige wiskundige problemen geen oplossing kunnen hebben, bijvoorbeeld de driedeling van de hoek met passer en liniaal, de kwadratuur van de cirkel en de algemene vijfdegraadsvergelijking (stelling van Abel-Ruffini). De regelmatige n-hoek kan worden geconstrueerd met passer en liniaal dan en slechts dan als de euler-indicator van n een macht van twee is.

Definitie[bewerken]

Zij L een lichaam, K een deellichaam van L. Men noemt L een galois-uitbreiding van K als aan de volgende twee voorwaarden voldaan is, wanneer L het splijtlichaam van een polynomen met coëfficiënten in K is, in zekere zin het kleinste lichaam waarin de polynomen in factoren van de eerste graad kunnen worden ontbonden.

Deze definitie is gelijkwaardig met de eis dat er een verzameling G van automorfismen van L bestaat, zodat K precies uit de fixpunten van G bestaat:

K=\{x\in L|\forall g\in G:g(x)=x\}

Eindige lichaamsuitbreiding[bewerken]

Als K een deellichaam is van L, dan kan L altijd worden opgevat als een vectorruimte over K. De graad van de uitbreiding, genoteerd [L:K], is de dimensie van de vectorruimte. Men noemt de lichaamsuitbreiding eindig als ze een eindige graad heeft. Een normale lichaamsuitbreiding [L/K] is eindig als en slechts als L het splijtlichaam is van een eindig aantal polynomen (en dus ook van één enkel polynoom) met coëfficiënten in K.

Voorbeelden en tegenvoorbeelden[bewerken]

De volgende vier voorbeelden spelen zich af in karakteristiek 0, dus het probleem der separabiliteit komt niet aan de orde.

  • Het lichaam \mathbb{C} der complexe getallen is een galois-uitbreiding van het lichaam \mathbb{R} der reële getallen. Het is een uitbreiding van graad twee. Normaliteit volgt doordat \mathbb{C} het splijtlichaam is van het polynoom x^2+1=(x+i)(x-i). De Galoisgroep G[\mathbb{C}/\mathbb{R}] is isomorf met C2, de cyclische groep van twee elementen. Het enige niet-triviale element van deze groep is de afbeelding die met ieder complex getal zijn toegevoegd complex getal associeert.
  • De reële getallen zijn op hun beurt een oneindige uitbreiding van het lichaam \mathbb{Q} der rationale getallen. Dit is geen normale uitbreiding, omdat de meeste reële getallen niet kunnen geschreven worden als nulpunt van een polynoom met rationale coëfficiënten (zgn. transcendente getallen).
  • Het lichaam \mathbb{A} der algebraïsche getallen is een oneindige galois-uitbreiding van dat van de rationale getallen.
  • Het lichaam \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}) is de kleinste uitbreiding van de rationale getallen die de reële derdemachtswortel van 2 bevat. Het bestaat uit alle reële getallen die gevormd kunnen worden door een eindig aantal keren de vier hoofdbewerkingen toe te passen op de rationale getallen en op \sqrt[3]{2}. Dit is een eindige uitbreiding van de rationale getallen (graad 3). Men kan aantonen dat deze uitbreiding niet normaal is. In elk geval is \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}) niet het splijtlichaam van het polynoom X3-2, want het bevat geen van zijn twee toegevoegd complexe nulpunten.

Hoofdstelling van de galoistheorie[bewerken]

Zij L een lichaam, en G een eindige groep die bestaat uit automorfismen van L. Zij K het lichaam der elementen van L die door alle groepselementen invariant gelaten worden:

K=\{x\in L|\forall g\in G:g(x)=x\}

Beschouw voor ieder lichaam F tussen K en L, de ondergroep F* van G die bestaat uit de automorfismen die alle elementen van F invariant laten.

K\subset F\subset L,\ F^*=\{g\in G|\forall x\in F:g(x)=x\}

Beschouw voor elke ondergroep H van G het lichaam H* dat bestaat uit alle elementen van L die door de groepselementen van H invariant gelaten worden.

H^*=\{x\in L|\forall g\in H:g(x)=x\}

Het verband tussen F en F* bepaalt een bijectie tussen de verzameling deellichamen van L die K omvatten, en de verzameling ondergroepen van G. Het verband tussen H en H* bepaalt de omgekeerde bijectie.

Men kan bovendien aantonen dat [F/K] een normale uitbreiding is als en slechts als F* een normaaldeler is van G.

Oneindige galoistheorie[1][bewerken]

Een deel van de theorie blijft gelden voor oneindig-dimensionale lichaamsuitbreidingen en oneindige groepen. Men gaat nog steeds uit van een algebraïsche uitbreiding die normaal en separabel is, maar die eventueel oneindig-dimensionaal is over het grondlichaam. De automorfismengroep wordt voorzien van een topologie, en men beperkt zich tot de studie van gesloten deelgroepen.

Er geldt dan een bijectie tussen de verzameling gesloten deelgroepen van de automorfismengroep en de verzameling tussenlichamen. De normaaldelers van de automorfismengroep komen overeen met de normale uitbreidingen van het grondlichaam.

De gehanteerde topologie wordt voortgebracht door alle nevenklassen van normaaldelers van de automorfismengroep met eindige index. In die topologie bestaat de sluiting van een deelgroep van de automorfismengroep uit de automorfismen die alle fixpunten van de gegeven deelgroep ongemoeid laten.

Bronnen, noten en/of referenties
  1. P.M. Cohn, "Algebra Vol.2", John Wiley & Sons 1977, paragraaf 6.7