Galoisgroep

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de galoistheorie, een deelgebied van de wiskunde, is een galoisgroep de groep, die volgens een gegeven definitie bij een polynoom hoort. De coëfficiënten van het polynoom zijn geheel of rationaal. De galoisgroepen zijn genoemd naar de Fransman Évariste Galois.

Volgens de hoofdstelling van de algebra liggen alle nulpunten van dit polynoom in het complexe vlak, zij vormen in het complexe vlak een lichaam (Nederlands) of veld (Belgisch) van algebraïsche getallen. De studie van de galoisgroepen van polynomen is begonnen met de studie van de uitbreidingen. De galoistheorie bestudeert welke groepen, die de nulpunten van een polynoom f permuteren, f invariant laten.

Het is een wet, dat bij iedere groep G er een polynoom f is, zodat G de galoisgroep G(f) van f is, dus zodat G=G(f).

Berekening[bewerken]

Het uitgangspunt van de definitie van de galoisgroep is een polynoom f. Stel dat E de uitbreiding van Q, van de rationale getallen, is, waarin alle nulpunten van f liggen. De galoisgroep G(f) van f bestaat uit de verzameling van alle automorfismen van E, zodanig dat ieder beeld van een nulpunt van f weer een nulpunt van f is. In de galoisgroep van een polynoom komen dus de permuaties van de nulpunten van die polynoom voor, die een automorfisme zijn.

Omdat de nulpunten van een polynoom niet altijd in de coëfficiënten van het polynoom zijn uit te drukken, maar soms alleen numeriek kunnen worden bepaald, kan met behulp van deze definitie niet altijd de galoisgroep van een polynoom worden berekend. Een dergelijke methode, dus om de galoisgroep van een polynoom in de coëfficiënten van de polynoom uit te drukken, is er wel.[1] Voor het geval dat de nulpunten van de polynoom wel in de coëfficiënten zijn uit te drukken, geeft deze methode hetzelfde antwoord als dat met behulp van directe berekening zou zijn bepaald.

Bij het berekenen van de galoisgroep G(f) van een polynoom f kan van de groepentheorie worden gebruikgemaakt.

Wortels[bewerken]

Om de nulpunten van een polynoom uit te drukken zijn in de wiskunde, behalve de rationale getallen en de vier basisbewerkingen, alleen wortels toegestaan. Om er abstract mee te rekenen mogen ze wel, net als iedere andere variabele, bijvoorbeeld worden aangeduid met een letter, maar daarmee zijn ze nog niet in de coëfficiënten van het polynoom uitgedrukt. Om ze te noteren worden voor de nulpunten van een polynoom meestal de griekse letters genomen.

Referenties[bewerken]

  1. (en) Mathematics of Computation, RP Stauduhar. "The Determination of Galois Groups", oktober 1973. 27, 124