Regelmatig veelvlak

De vijf regelmatige veelvlakken op een rijtje: vier-, zes-, acht-, twaalf- en twintigvlak. De hoekpunten hebben steeds dezelfde afstand tot het middelpunt, zodat die aan hetzelfde boloppervlak raken.

Keplers model van de Platonische lichamen (afbeelding uit 1596).

Een regelmatig veelvlak of platonisch lichaam is een driedimensionaal object dat is opgebouwd uit congruente regelmatige veelhoeken en dat een ruimte geheel omsluit. Bovendien kunnen we eisen dat de hoeken tussen de vlakken gelijk zijn.

De kubus is het bekendste voorbeeld.

Geschiedenis

De regelmatige veelvlakken worden ook wel Platonische lichamen genoemd, omdat ze ontdekt zijn door Plato. Pythagoras wist 520 v.Chr. al van het bestaan van drie van de vijf regelmatige veelvlakken af: het viervlak, het zesvlak (kubus) en het twaalfvlak. Plato bracht de vijf regelmatige veelvlakken in verband met de vijf kosmische bouwstenen van de wereld: vuur, lucht, water, aarde en hemelmaterie. Kepler bracht ze twee millennia later – in de tussentijd waren de halfregelmatige veelvlakken al ontdekt – in verband met de structuur van het zonnestelsel. In die tijd waren behalve de aarde slechts vijf planeten bekend.

Kenmerken

Een kenmerk van een regelmatig veelvlak is dat in elk hoekpunt even veel vlakken samenkomen. Hierbij zijn drie, vier of vijf vlakken mogelijk. Het aantal hoekpunten van een veelvlak is gelijk aan het aantal vlakken maal het aantal zijden per vlak gedeeld door het aantal zijvlakken dat in een hoekpunt samenkomt. Het aantal ribben van een veelvlak (regelmatig of niet) is gelijk aan de helft van het aantal zijvlakken maal het aantal zijden per vlak (want elke ribbe wordt gedeeld door de twee aangrenzende vlakken).

De wiskundige Leonhard Euler stelde al vast dat voor elk veelvlak (regelmatig of niet) het aantal zijvlakken plus het aantal hoekpunten gelijk is aan het aantal ribben plus twee.

Het aantal verschillende regelmatige veelvlakken dat we kunnen maken, is beperkt. Ze staan allen in de volgende tabel:

Griekse benaming	Nederlandse benaming	zijden per vlak (z)	vlakken per hoekpunt (h)	vlakken (v)	ribben (r)	hoeken (p)
tetrahedron	tetraëder of viervlak	3	3	4	6	4
hexahedron	kubus of hexaëder	4	3	6	12	8
octahedron	octaëder	3	4	8	12	6
dodecahedron	dodecaëder	5	3	12	30	20
icosahedron	icosaëder	3	5	20	30	12

Het verband tussen v, z en h wordt gegeven door deze formule:

$v = \cfrac{2}{1 - z \times \left (\cfrac{1}{2} - \cfrac{1}{h} \right )}\, = \cfrac{4h}{2(h+z) - zh}\,$

Deze formule wordt verkregen uit de onderstaande 3 vergelijkingen (r = aantal ribben, p = aantal hoekpunten):

$v = r - p + 2\,$	(a)
$r = \cfrac{v \times z}{2}\,$	(b)
$p = \cfrac{v \times z}{h}\,$	(c)

Vervang in (a) r door (b) en p door (c). Na vereenvoudiging levert dat de bovengenoemde formule voor v op.

Onderlinge relatie

Er is een zekere relatie tussen de regelmatige veelvlakken:

Verbindt men de middens van de zijvlakken van een veelvlak met elkaar, dan vormen de verbindingslijnen de ribben van een ander veelvlak. Een kubus wordt een achtvlak en omgekeerd. Een twaalfvlak wordt een twintigvlak en omgekeerd. Een viervlak wordt opnieuw een viervlak.

Kiest men vier hoekpunten van een kubus, zodanig dat geen twee hoekpunten op dezelfde ribbe van de kubus liggen, en verbindt men ze met elkaar, dan vormen de verbindingslijnen de ribben van een regelmatig viervlak.

• 

  Viervlak

• 

  Zesvlak

• 

  Achtvlak

• 

  Twaalfvlak

• 

  Twintigvlak

Aantal verschillende veelvlakken

Euclides wist al dat dit de enige mogelijke regelmatige veelvlakken waren. Dit valt eenvoudig in te zien met het volgende bewijs:

Een regelmatig veelvlak wordt volledig bepaald door het soort van regelmatige veelhoek aan de zijkanten en het aantal van die veelhoeken dat in een hoekpunt bij elkaar komt. Bovendien moeten de hoeken die in 1 hoek samenkomen samen minder zijn dan 360°. Dit kunnen 3 driehoeken (3x60°=180°), 4 driehoeken (240°) of 5 driehoeken (300°) zijn, maar niet meer. Evenzo kunnen het 3 vierkanten (3x90°=270°) of 3 vijfhoeken (3x108°=324°) zijn, maar niet 4 vierkanten (4x90°=360°) of 3 zeshoeken (3x120°=360°).

Ontaarde veelvlakken

Er zijn ontaarde regelmatige veelvlakken denkbaar.

• Komen er in elk hoekpunt slechts twee vlakken samen, dan ontstaat er een regelmatig tweevlak. Een regelmatig tweevlak bestaat uit twee identieke veelhoeken die op elkaar zijn geplakt. De inhoud is nul.
• Laat men in elk hoekpunt zes driehoeken, vier vierkanten of drie zeshoeken samen komen, dan ontstaat er een vlakvulling, die men kan zien als een regelmatig oneindigvlak.

Deze constructies worden niet beschouwd als veelvlakken, omdat een veelvlak een positieve en eindige inhoud moet hebben.

Zie ook

• Halfregelmatig veelvlak