Schläfli-symbool

De dodecaëder is een regelmatig veelvlak met schläfli-symbool {5,3} met 3 regelmatige vijfhoeken rond ieder hoekpunt.

Het schläfli-symbool is een wiskundige notatie van de vorm $\{p,q,r,\ldots \}$ die regelmatige polytopen en betegelingen definieert.

Het symbool is genoemd naar de 19e-eeuwse Zwitserse wiskundige Ludwig Schläfli.

Voorbeelden

Schläfli ontwikkelde in de 19e eeuw een beknopte symbolische weergave voor regelmatige polytopen. Een licht gewijzigde vorm daarvan is de norm geworden. De notatie kan het best worden uitgelegd door per keer een dimensie toe te voegen.

In twee dimensies

Een convexe regelmatige veelhoek met $n$ zijden wordt aangeduid met $\{n\}$. Een gelijkzijdige driehoek is dus {3}, een vierkant {4}, en zo verder. Een regelmatige sterveelhoek die zich $m$ keer rond haar centrum windt, wordt aangegeven door de fractionele waarde $\{n/m\}$, waarbij $n$ en $m$ relatief priem zijn; een regelmatig pentagram wordt dus weergegeven door $\{5/2\}$.

In drie dimensies

Een regelmatig veelvlak met als zijvlakken regelmatige $n$-hoeken en waar $p$ zijvlakken samenkomen in een hoekpunt, wordt aangeduid met $\{n,p\}$. De vijf regelmatige veelvlakken worden aangeduid met {3,3}, {3,4}, {4,3}, {3,5} en {5,3}.

De vier kepler-poinsot-lichamen worden aangeduid met {5/2,5}, {5/2,3}, {3,5/2} en {5,5/2}. Bij de eerste twee lichamen zijn de zijvlakken vijfpuntige sterren; in de hoekpunten komen vijf resp. drie sterren bij elkaar. Bij de laatste twee lichamen doorsnijden in de hoekpunten de zijvlakken (resp. gelijkzijdige driehoeken en regelmatige vijfhoeken) elkaar 'stervormig'.

In vier dimensies

Een regelmatige polychoron of polycell met cellen $\{n,p\}$ waar $q$ cellen bij elkaar komen rond een rand, wordt aangeduid door $\{n,p,q\}$. De vertexfiguur van de polychoron is een $\{p,q\}$.

In vijf dimensies

Een vijfdimensionale regelmatige polytoop is een $\{n,p,q,r\}$. En zo verder.