Duaal veelvlak

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Ruimtelijke voorstelling van de dualiteit tussen de kubus en de octaëder.

In de ruimtemeetkunde is het duale veelvlak van een veelvlak de figuur met als hoekpunten de middens van de zijvlakken van het oorspronkelijke veelvlak. De twee ruimtelijke figuren zijn bijgevolg erg verwant met elkaar; een voorbeeld is de kubus met als duaal veelvlak de octaëder.

De duale van de duale is congruent met het oorspronkelijke veelvlak. Klassen van veelvlakken komen dus voor in duale paren.

De meeste regelmatige veelvlakken, zoals de platonische lichamen en de Kepler-Poinsot-lichamen, worden gerangschikt in duale paren.

Wiskundige dualiteit wordt soms ook reciprociteit of polariteit genoemd.

Construeren van duale veelvlakken[bewerken]

Het construeren van een duaal veelvlak verloopt volgens een vast principe, de Dorman-Luke-constructie. In dit geval wordt de duale vorm van een kuboctaëder gezocht, namelijk de rombische dodecaëder.

DormanLuke.png


  • De middens van de ribben rondom 1 hoekpunt van een veelvlak worden met elkaar verbonden. De bekomen figuur is een vlakke figuur (ABCD), waarrond een omgeschreven cirkel wordt getekend.
  • De hoekpunten van de vlakke figuur liggen op de cirkel en dienen als referentiepunt voor de zijden van een nieuwe vlakke figuur (EFGH). De zijden van deze nieuwe vlakke figuur zijn de raaklijnen in de hoekpunten van de eerste vlakke figuur aan de cirkel.
  • Deze nieuwe vlakke figuur vormt een zijvlak van het duale veelvlak.

Zelf-duale veelvlakken[bewerken]

Een tetraëder is zelf-duaal.

Sommige veelvlakken, zoals de tetraëder, hebben geen echte duale vorm, maar zijn zelf-duaal. Dit impliceert dat de teraëder een duale vorm van zichzelf is. Dit wil echter niet zeggen dat deze figuur exact dezelfde is: de duale vorm van een teraëder is inderdaad opnieuw een teraëder, maar de figuur is omgekeerd.

Zelf-duale veelvlakken hebben de eigenschap dat ze evenveel hoekpunten als zijvlakken bevatten, zoals de verschillende soorten piramiden.

Externe link[bewerken]