Analytische voortzetting

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de complexe analyse, een onderdeel van de wiskunde, is analytische voortzetting een techniek om het domein van de definitie van een gegeven analytische functie uit te breiden. Door gebruik te maken van analytische voortzetting slaagt men er vaak in om verdere waarden van een functie vast te stellen, bijvoorbeeld in een nieuw gebied, waar een weergave als een oneindige reeks in termen van zijn oorspronkelijke definitie divergeert.

De stapsgewijze voortzettingstechniek kan stuiten op moeilijkheden. Deze kunnen van topologische aard zijn, wat kan leiden tot inconsistenties (het definiëren van meer dan één waarde). De moeilijkheden kunnen ook te maken hebben met de aanwezigheid van wiskundige singulariteiten. In het geval dat er meer dan één complexe variabele is, is het anders, aangezien singulariteiten dan geen geïsoleerde punten kunnen zijn. Onderzoek daarnaar was een belangrijke reden voor de ontwikkeling van de schoofcohomologie.

Kernpunten[bewerken]

Analytische voortzetting van een natuurlijk logaritme (imaginair deel)

Stel dat f een analytische functie is die is gedefinieerd op een open deelverzameling U van het complexe vlak C. Als V een grotere open deelverzameling van C is, die bovendien U bevat, en wanneer F een analytische functie is die zo gedefinieerd is op V dat

F(z) = f(z) voor alle z in U,

dan wordt F een analytische voortzetting van f genoemd. Met andere woorden, de beperking van F naar U is de functie f, waarmee wij begonnen.

Analytische voortzettingen zijn in de volgende zin uniek dat als V het samenhangende domein van twee analytische functies F1 en F2 is, zodanig dat U is vervat in V en voor alle z in U geldt dat

F1(z) = F2(z) = f(z),

dan is

F1 = F2

op alle elementen van V. Dit is zo omdat F1 - F2 een analytische functie die verdwijnt op het open, samenhangende domein U van f en dus over haar gehele domein moet verdwijnen.

Toepassingen[bewerken]

Een veel voorkomende manier om functies in de complexe analyse te definiëren bestaat eruit de functie eerst alleen op een klein domein te definiëren om dit vervolgens met behulp van analytische voortzetting uit te breiden. In de praktijk wordt deze voortzetting vaak uitgevoerd door eerst een functionaalvergelijking op dit kleine domein vast te stellen en vervolgens met behulp van deze vergelijking dit domein uit te breiden. Voorbeelden daarvan zijn de Riemann-zeta-functie en de gamma-functie.

Het begrip, universele dekking is voor het eerst ontwikkeld om een natuurlijke domein voor de analytische voortzetting van een analytische functie te definiëren. Het idee om de maximale analytische voortzetting van een functie te vinden heeft op zijn beurt geleid tot de ontwikkeling van het idee van de Riemann-oppervlakken.

De hierboven beschreven machtserie wordt veralgemeend door het idee van een kiem. De algemene theorie van de analytische voortzetting en zijn veralgemeningen staan bekend als schoventheorie.

Voorbeelden van analytische voortzetting[bewerken]

L(z) = \sum_{k=1}^\infin \frac{(-1)^{k+1}}{k}(z-1)^k

is een machtsreeks die correspondeert met de natuurlijke logaritme in de nabijheid van z = 1. Deze machtreeks kan worden omgezet in een kiem

 g=(1,0,1,-\frac 1 2, \frac 1 3 , - \frac 1 4 , \frac 1 5 , - \frac 1 6 , \cdots)

Deze kiem heeft een convergentiestraal van 1, en dus is er een schoof S die met deze kiem correspondeert. Dit is de schoof van de logaritmische functie.