Riemann-zèta-functie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Riemann–zèta-functie ζ(s) in het complexe vlak. De kleur van een punt s codeert de waarde van ζ(s): de felle kleuren geven waarden in de buurt van nul aan, en de tint zelf codeert de waarde van het complexwaardige argument. Het witte punt bij s = 1 is de pool van de zèta-functie; de zwarte punten langs de negatieve reële as en op de kritieke lijn Re(s) = 1/2 zijn de nulpunten.

In de analytische getaltheorie, een deelgebied van de wiskunde, is de Riemann-zèta-functie, vernoemd naar de Duitse wiskundige Bernhard Riemann, een belangrijke functie vooral vanwege haar verband met de verdeling van priemgetallen. De functie heeft ook toepassingen op andere terreinen, zoals de natuurkunde, kansrekening en de statistiek.

De Riemann-zèta-functie werd als een functie van een reëel argument in de eerste helft van de achttiende eeuw geïntroduceerd en bestudeerd door Leonhard Euler. In die tijd bestond er nog geen complexe analyse. In 1859 breidde Bernhard Riemann in zijn publicatie "Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse" Eulers definitie uit naar de complexe variabelen. Ook bewees hij de meromorfe voortzetting, definieerde hij de functionaalvergelijking van de Riemann-zèta-functie en stelde hij een relatie vast tussen haar nulpunten en de de verdeling van priemgetallen.[1]

De waarden van de Riemann-zèta-functie op even positieve gehele getallen werden al berekend door Euler. De eerste ervan, ζ(2), biedt een oplossing voor het Bazel-probleem. In 1979 bewees Roger Apéry de irrationaliteit van ζ(3). De waarden op negatieve gehele getallen, ook gevonden door Euler, zijn rationale getallen en spelen een belangrijke rol in de theorie van de modulaire vormen. Er bestaan veel veralgemeningen van de Riemann-zèta-functie, zoals de Dirichlet-reeks, Dirichlet-L-functies en L-functies.

Definitie[bewerken]

De Riemann-zèta-functie ζ wordt voor elk complex getal s met een reëel deel > 1 gedefinieerd door de Dirichletreeks:

\zeta(s) =\sum_{n=1}^\infin \frac{1}{n^s}

De reeks convergeert in het genoemde domein en definieert daar een analytische functie. Riemann besefte dat de zèta-functie door analytische voortzetting slechts op één manier kan worden uitgebreid tot een meromorfe functie gedefinieerd voor alle complexe getallen s met s ≠ 1. Deze functie is het object van de Riemann-hypothese.

Identiteiten[bewerken]

De productformule van Euler[bewerken]

Leonhard Euler ontdekte een verband tussen de zèta-functie en de priemgetallen. Hij bewees de identiteit,


\begin{align}
\sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^s}& = \prod_{p \text{ priem}} \frac{1}{1-p^{-s}} = \\
& = \left(1 + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{4^s} + \cdots \right) \left(1 + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{9^s} + \cdots \right) \cdots \left(1 + \frac{1}{p^s} + \frac{1}{p^{2s}} + \cdots \right) \cdots,
\end{align}

waarbij het linkerlid per definitie ζ(s) is en het oneindige product in het rechterlid over alle priemgetallen p loopt (uitdrukkingen van deze vorm worden ook wel Euler-producten genoemd). Beide leden van deze identiteit convergeren voor Re(s) > 1. Het bewijs voor deze identiteit maakt alleen gebruik van de formule voor de meetkundige reeksen en de hoofdstelling van de rekenkunde. Aangezien de harmonische reeks, verkregen wanneer men s op 1 stelt, divergeert, houdt de formule van Euler in dat er oneindig veel priemgetallen zijn. Wanneer s een geheel getal is, kan het Euler-product worden gebruikt om de waarschijnlijkheid te berekenen dat s willekeurig gekozen gehele getallen relatief priem zijn. Het blijkt dat deze kans inderdaad gelijk is aan 1/ζ(s).

De functionaalvergelijking[bewerken]

De zèta-functie voldoet aan de volgende functionaalvergelijking:


\zeta(s) = 2^s\pi^{s-1}\sin\left(\frac{\pi s}{2}\right)\Gamma(1-s)\zeta(1-s)

waarbij s in \scriptstyle{C \setminus \lbrace 0,1 \rbrace}. Hierbij stelt Γ de gammafunctie voor.

Reciproke[bewerken]

De reciproke of de multiplicatieve inverse, van de Riemann-zèta-functie kan worden geschreven als een Dirichletreeks aan de hand van de Möbiusfunctie μ(n):


\frac{1}{\zeta(s)} = \sum_{n=1}^{\infin} \frac{\mu(n)}{n^s}

voor complexe getallen s met reële gedeelte > 1.

De Riemann-hypothese[bewerken]

1rightarrow blue.svg Zie Riemann-hypothese voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

De Riemann-zèta-functie heeft nulpunten in de negatieve even gehele getallen. Deze nulpunten zijn eenvoudig te vinden vertrekkende van de functionaalvergelijking en ze worden dan ook triviale nulpunten genoemd.

De zèta-functie heeft echter nog meer nulpunten en deze liggen noodzakelijkerwijze in de zogenaamde kritieke strook, de verzameling van alle complexe getallen met reële gedeelte strikt tussen nul en één. De beroemde Riemann-hypothese zegt dan dat alle niet-triviale nulpunten precies 1/2 als reële gedeelte hebben. Deze hypothese is nog niet bewezen en ze wordt zelfs als een van de belangrijkste (of in ieder geval een van de meest bekende) problemen in de wiskunde beschouwd.

Toch weet men redelijk veel over de structuur van de verzameling van alle niet-triviale nulpunten. Zo zijn er bijvoorbeeld oneindig veel niet-triviale nulpunten en ze zijn symmetrisch gelegen ten opzichte van de reële as (de complexe getallen met imaginaire gedeelte gelijk aan nul) en de as van de complexe getallen met reële gedeelte gelijk aan 1/2.

Enkele waarden[bewerken]

Hier zijn enkele vaak voorkomende waarden van de Riemann-zèta-functie.

\zeta(1) = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots = \infty; dit is de harmonische reeks.
\zeta(\tfrac32) \approx 2,\!612
\zeta(2) = 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6} \approx 1,\!645 ; het omgekeerde van dit getal (\frac{6}{\pi^2}) is gelijk aan de kans dat twee willekeurige gehele getallen onderling ondeelbaar zijn (copriem).
\zeta(\tfrac52) \approx 1,\!341
\zeta(3) = 1 + \frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^3} + \cdots \approx 1,\!202
\zeta(\tfrac72) \approx 1,\!127
\zeta(4) = 1 + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{90} \approx 1,\!0823
\zeta(-1) = 1 + 2 + 3 + 4+ \cdots = -\frac{1}{12} ; dit wordt ook gebruikt in de snaartheorie.

Voetnoten[bewerken]

  1. Deze publicatie gaf ook de eerste beschrijving van de Riemann-hypothese, een vermoeden over de verdeling van complexe nulpunten van de Riemann-zèta-functie, die door veel wiskundigen wordt beschouwd als het belangrijkste onopgeloste probleem in de zuivere wiskunde.Enrico Bombieri, De Riemann-hypothese-officiële probleembeschrijving, Clay Mathematics Institute|

Referenties[bewerken]

  • H.M. Edwards, Riemann's Zeta Function, Academic Press, 1974. herdruk door Dover Publications, 2001 ISBN 0-486-41740-9)
  • R. van der Veen, J. van de Craats, De Riemann-Hypothese: een miljoenenprobleem, Epsilon, 2011, ISBN 978-90-5041-126-4

Externe link[bewerken]