Riemann-hypothese

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Riemann-zèta-functie in het complexe vlak, horizontaal \Re(s) en verticaal \Im(s). Een rij van witte vlekken markeert de nulpunten op \Re(s)=½. Voor een volledige weergave van deze foto graag hier klikken.

In de getaltheorie, een deelgebied van de wiskunde, impliceert de Riemann-hypothese (RH) of het Riemann-vermoeden resultaten over de verdeling van de priemgetallen. Het vermoeden werd in 1859 door Bernhard Riemann geformuleerd. Het vermoeden houdt in dat het reële deel van alle niet-triviale nulpunten [1] van de Riemann-zèta-functie gelijk is aan 1/2. Wat dit precies betekent wordt in dit artikel in detail uitgelegd.

De Riemann-zèta-functie ζ(s) is een functie, waarvan het argument s elk complex getal kan zijn behalve 1, en waarvan de waarden ook complex zijn. De functie heeft nulpunten op de negatieve even gehele getallen, dat wil zeggen, ζ(s) = 0 als s gelijk is aan -2, -4, -6, ... . Deze getallen noemt men de triviale nulpunten. De negatieve even gehele getallen zijn echter niet de enige waarden waarvoor de Riemann-zèta-functie nul is; de anderen noemt men de niet-triviale nulpunten. De Riemann-hypothese gaat over de locaties van deze niet-triviale nulpunten en beweert dat:

Het reële deel van elk niet-triviaal nulpunt van de Riemann-zèta-functie is 1/2.

De niet-triviale nulpunten moeten dus op de kritieke lijn liggen die wordt gedefinieerd door de complexe getallen 1/2 + it, waar t een reëel getal is en i de imaginaire eenheid.

Op de Riemann-hypothese (en haar generalisaties) steunen vele andere belangrijke resultaten. De meeste wiskundigen beschouwen de Riemann-hypothese als waar.[2]

De Riemann-hypothese geldt als een van de belangrijkste onopgeloste problemen in de wiskunde.[3] De Riemann-hypothese maakte in 1900 samen met het vermoeden van Goldbach deel uit van het achtste probleem uit David Hilberts lijst van 23 onopgeloste problemen. Het is ook een van de zeven wiskundige vraagstukken waarvoor het Clay Mathematics Institute in 2000 een Millennium Prize van $1.000.000 heeft uitgeloofd voor het eerste correcte bewijs van de hypothese.[4]

Relatie met priemgetallen[bewerken]

Het reële (rood) en imaginaire deel (blauw) van de Riemann-zèta-functie langs de kritieke lijn Re(s) = 1/2. De eerste niet-triviale nulpunten zijn zichtbaar bij Im(s) = ±14.135, ±21.022 en ±25.011.

De Riemann-hypothese kan worden gezien als een verfijning van de priemgetalstelling. De priemgetalstelling geeft een nauwkeurige schatting voor het aantal priemgetallen en de Riemann-hypothese vertelt ons hoever de priemgetalstelling ernaast zit. Dit kunnen we preciezer schetsen aan de hand van de Tschebychev psi-functie \psi(x) die sterk verwant is aan de zeta-functie. Voor deze functie geldt de formule:[5]


\psi(x) = x - \ln(2 \pi) - \sum_r \frac{x^r}{r}

In deze formule loopt de som over alle niet triviale nulpunten r van de zeta-functie en moet gelden dat  x>1 . Er is een vergelijkbare formule voor de zeta-functie maar die is wat ingewikkelder. De priemgetalstelling is equivalent met de opmerking dat de term x in de formule domineert, dus dat ongeveer \psi(x) = x . We zien dat dit alleen het geval is wanneer de niet-triviale nulpunten r allemaal reël deel kleiner dan 1 hebben. Hoe kleiner het reële deel van de nulpunten r, hoe beter de priemgetallen zich houden aan de schatting gegeven in de priemgetalstelling. De symmetrie van de zeta-functie rond reël deel 1/2 laat zien dat er voor elke r met reël deel < 1/2 ook een nulpunt met reël deel >1/2 moet zijn. Daarom is de situatie optimaal als alle nulpunten r reëel deel 1/2 hadden. En dat is precies Riemanns hypothese. De best mogelijke situatie.

Riemann-zèta-functie[bewerken]

Deze grafiek toont de waarden van ζ(1/2+it) in het complexe vlak voor 0 ≤ t ≤ 34. (Voor t=0, ζ(1/2) ≈ -1.460 komt overeen met het uiterst linkse punt van de rode kromme.)
Nuvola single chevron right.svg Zie Riemann-zèta-functie voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

De Riemann-zèta-functie is gedefinieerd voor complex getal s met reëel deel groter dan 1 op de absoluut convergerende oneindige reeks

\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} = \frac{1}{1^s} + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \cdots.

Leonhard Euler liet zien dat deze reeks gelijk is aan het Euler-product

\zeta(s) = \prod_{p \text{ priem}} \frac{1}{1-p^{-s}}= \frac{1}{1-2^{-s}}\cdot\frac{1}{1-3^{-s}}\cdot\frac{1}{1-5^{-s}}\cdot\frac{1}{1-7^{-s}} \cdots \frac{1}{1-p^{-s}} \cdots

waar het oneindig product zich uitstrekt over alle priemgetallen p en weer convergeert voor complex getal s met een reëel deel groter dan 1. De convergentie van het Euler-product laat zien dat ζ(s) geen nulpunten in deze regio heeft, aangezien geen van de factoren nulpunten heeft.

De Riemann-hypothese bespreekt de nulpunten buiten het convergentiegebied van deze reeks, dus moet de reeks analytisch voortgezet worden naar alle complexe s. Dit kan gedaan worden door de reeks als volgt uit te drukken in termen van de Dirichlet-èta-functie. Indien het reële deel van s groter is dan één, dan voldoet de zèta-functie aan

\left(1-\frac{2}{2^s}\right)\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n^s} = \frac{1}{1^s} - \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} - \cdots.

De reeks aan de rechterkant convergeert echter niet alleen wanneer s groter is dan één, maar meer in het algemeen wanneer s een positief reëel deel heeft. Deze alternatieve reeks breidt de zèta-functie dus uit van Re(s)>1 naar het omvangrijkere domein Re(s)> 0, met uitzondering van de nulpunten s = 1 + 2\pi in/\ln(2) van 1-2/2^s (zie Dirichlet-èta-functie). De zèta-functie kan ook naar deze waarden worden uitgebreid door het nemen van limieten, gegeven een eindige waarde voor alle waarden van s met positief reëel deel behalve voor een enkelvoudige pool op s=1.

In het gebied 0 < Re(s) < 1 voldoet de zèta-functie aan de functionaalvergelijking

\zeta(s) = 2^s\pi^{s-1}\ \sin\left(\frac{\pi s}{2}\right)\ \Gamma(1-s)\ \zeta(1-s).

Men kan ζ(s) nu definiëren voor alle overige niet-nulzijnde complexe getallen s door aan te nemen dat deze vergelijking ook buiten dit gebied houdt, en door ζ(s) gelijk te laten zijn aan de rechterkant van de vergelijking wanneer s een niet-positief reëel deel heeft. Als s een negatief even getal is, dan is ζ(s) = 0, omdat de factor sin(πs/ 2) in dit geval verdwijnt; dit zijn de zogenaamde triviale nullen van de zèta-functie. (In het geval dat s een positief even geheel getal is, is dit argument niet van toepassing, omdat de nullen van sin worden geannuleerd door de polen van de gammafunctie in geval van negatieve geheelgetallige argumenten.) De waarde ζ(0) = -1/2 wordt niet bepaald door de functionaalvergelijking, maar is de grenswaarde van ζ(s) wanneer s tot nul nadert. De functionaalvergelijking houdt ook in dat de zèta-functie geen nullen heeft met negatief reëel gedeelte anders dan de triviale nullen, zodat alle niet-triviale nullen in het kritische gebied liggen, waar s een reëel deel tussen 0 en 1 heeft.

Geschiedenis[bewerken]

In zijn artikel uit 1859 Uber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse vond Riemann een expliciete formule voor het aantal priemgetallen π(x) onder een gegeven getal x (bijvoorbeeld alle priemgetallen onder de duizend). Zijn formule werd gegeven in termen van de gerelateerde functie

\Pi(x) = \pi(x) +\tfrac{1}{2}\pi(x^{\frac{1}{2}}) +\tfrac{1}{3}\pi(x^{\frac{1}{3}}) +\tfrac{1}{4}\pi(x^{\frac{1}{4}}) +\tfrac{1}{5}\pi(x^{\frac{1}{5}}) +\tfrac{1}{6}\pi(x^{\frac{1}{6}}) +\cdots

die priemgetallen telt waar een priemmacht pn als 1/n van een priemgetal telt. Het aantal priemgetallen kan uit deze functie worden bepaald door

 \pi(x) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\mu(n)}{n}\Pi(x^{\frac{1}{n}}) = \Pi(x) -\frac{1}{2}\Pi(x^{\frac{1}{2}}) -\frac{1}{3}\Pi(x^{\frac{1}{3}}) -\frac{1}{5}\Pi(x^{\frac{1}{5}})
+\frac{1}{6}\Pi(x^{\frac{1}{6}}) -\cdots,

waar μ de Möbiusfunctie is. De formule van Riemanns luidt dan

\Pi_0(x) = \operatorname{Li}(x) - \sum_\rho \operatorname{Li}(x^\rho) -\log(2) +\int_x^\infty\frac{dt}{t(t^2-1)\log(t)}

waarbij de som over de niet-triviale nulpunten van de zèta-functie is en waar Π0 een licht gewijzigde versie van Π is, die op haar punten van discontinuïteit haar waarde vervangt door het gemiddelde van de boven- en ondergrens :

\Pi_0(x) = \lim_{\varepsilon \to 0}\frac{\Pi(x-\varepsilon)+\Pi(x+\varepsilon)}2.

De sommatie in Riemanns formule is niet absoluut convergerend, maar kan worden geëvalueerd door de nullen ρ in de volgorde van de absolute waarde van het imaginaire deel te nemen. De functie Li, die in de eerste term voorkomt, is de (unoffset) logaritmische integraalfunctie, die wordt gegeven door de Cauchy-hoofdwaarde van de divergerende integraal

\operatorname{Li}(x) = \int_0^x\frac{dt}{\log(t)}.

De termen Li(xρ) die betrekking hebben op de ​​nulpunten van de zèta-functie moeten zorgvuldig worden gedefinieerd aangezien Li vertakkingspunten op 0 en 1 heeft. De termen Li(xρ) worden (voor x > 1) gedefinieerd door analytische voortzetting in de complexe variabele ρ in het gebied Re(ρ) > 0, dat wil zeggen dat zij moeten worden beschouwd als Ei (ρ ln x). De andere termen corresponderen ook met nulpunten: de dominante term Li(x) komt van de pool op s = 1, die kan worden beschouwd als een nulpunt van multipliciteit -1. De resterende kleine termen komen van de triviale nulpunten. Voor sommige grafieken van de sommen van de eerste paar termen van deze reeks zie Riesel en Göhl (1970) of Zagier (1977).

Deze formule zegt dat de nulpunten van de Riemann-zèta-functie de oscillaties van priemgetallen rond hun "verwachte" posities controleren. Riemann wist dat de niet-triviale nulpunten van de zèta-functie symmetrisch verdeeld waren over de lijn s = 1/2 + it, en hij wist dat al haar niet-triviale nulpunten in het bereik 0 ≤ Re(s) ≤ 1 moesten liggen. Hij controleerde dat voor een aantal van de nulpunten op de kritische lijn met de reëel gedeelte 1/2 en suggereerde vervolgens dat zij dat allemaal zouden doen; dit is de Riemann-hypothese.

Gevolgen van de Riemann-hypothese[bewerken]

De praktische toepassingen van de Riemann-hypothese omvatten vele proposities waarvan bekend is dat zij waar zijn onder de Riemann-hypothese en sommige waarvan is aangetoond dat zij equivalent zijn aan de Riemann-hypothese.

Verdeling van priemgetallen[bewerken]

Riemann's expliciete formule voor het aantal priemgetallen kleiner dan een bepaald getal in termen van een som over de nulpunten van de Riemann-zèta-functie zegt dat de omvang van de oscillaties van priemgetallen rondom hun verwachte positie wordt gecontroleerd door het reële gedeelte van de nulpunten van de zèta-functie. Met name de foutterm in de priemgetalstelling is nauw verwant aan de positie van de nulpunten: het supremum van het reële gedeelte van de nulpunten is bijvoorbeeld het infimum van getal β zodanig dat de fout gelijk is O(xβ) (Ingham (1932)).

Von Koch (1901) bewees dat de Riemann-hypothese equivalent is aan de "best mogelijke" grens voor de fout van de priemgetalstelling.

Een precieze versie van Kochs resultaat, te danken aan Schoenfeld (1976), zegt dat de Riemann-hypothesie equivalent is aan

|\pi(x) - \operatorname{Li}(x)| < \frac{1}{8\pi} \sqrt{x} \log(x), \qquad \text{voor alle } x \ge 2657.

Schoenfeld (1976)) toonde ook aan dat de Riemann-hypothese equivalent is aan

|\psi(x) - x| < \frac{1}{8\pi} \sqrt{x} \log^2(x), \qquad \text{voor alle } x \ge 73.2,

waar ψ(x) de de tweede Chebyshev-functie is.

Groei van rekenkundige functie[bewerken]

De Riemann-hypothese impliceert naast de priemgetal-telfunctie hierboven, sterke grenzen aan de groei van vele andere rekenkundige functies.

Een voorbeeld betreft de Möbiusfunctie μ. De stelling dat de vergelijking

\frac{1}{\zeta(s)} = \sum_{n=1}^\infty \frac{\mu(n)}{n^s}

valide is voor elke s met reëel gedeelte groter dan 1/2, waarbij de som aan de rechterkant convergeert, is equivalent aan de Riemann-hypothese. Hieruit kunnen we ook concluderen dat als de Mertens-functie wordt gedefinieerd door

M(x) = \sum_{n \le x} \mu(n)

dat dan de claim dat

M(x) = O(x^{\frac{1}{2}+\varepsilon})

voor elke positieve ε equivalent is aan de Riemann-hypothese (Titchmarsh (1986)). (voor de betekenis van deze symbolen, zie de Big-O-notatie). De determinant van de orde n Redheffer-matrix is gelijk aan M(n), zodat de Riemann-hypothese ook kan worden geformuleerd als een conditie op de groei van deze determinanten. De Riemann-hypothese legt een vrij strakke grens aan de groei van M, aangezien Andrew Odlyzko en Herman te Riele in 1985 het iets sterkere vermoeden van Mertens weerlegden.

|M(x)| \le \sqrt x.

De Riemann-hypothesis is equivalent aan vele andere vermoedens over de groeivoet van andere rekenkundige functies naast μ(n). Een typisch voorbeeld is de stelling van Robin (Robin (1984)), die stelt dat als σ(n) de delerfunctie is, gegeven door

\sigma(n) = \sum_{d\mid n} d

dat dan

\sigma(n) < e^\gamma n \log \log n

voor alle n > 5040 dan en slechts dan als de Riemann-hypothese waar is, waar γ de constante van Euler-Mascheroni is.

Literatuur[bewerken]

Inleidende boeken[bewerken]

Historische artikelen[bewerken]

Moderne technische referenties[bewerken]

  • (en) H.M. Edwards, Riemann's Zeta Function, Academic Press, 1974. (Herdrukt door Dover Publications, 2001 ISBN 0-486-41740-9)
  • (de) Knauf, Andreas, Number theory, dynamical systems and statistical mechanics, MathSciNet, 1714352, 1999, Reviews in Mathematical Physics. A Journal for Both Review and Original Research Papers in the Field of Mathematical Physics, issn 0129-055X, deel 11, nr. 8, p. 1027–1060, doi 10.1142/S0129055X99000325
  • (en) E.C. Titchmarsh, The Theory of the Riemann Zeta Function, second revised (Heath-Brown) edition, Oxford University Press, 1986
  • (en) Jeffrey Lagarias (2002). An Elementary Problem Equivalent to the Riemann Hypothesis. American Mathematical Monthly 109: 534–543 . DOI:10.2307/2695443.
  • (en) (no author credited), Computation of zeros of the Zeta function (2004).
  • (en) Schoenfeld, Lowell, Sharper bounds for the Chebyshev functions θ(x) and ψ(x). II. Mathematics of Computation 30 (1976), no. 134, 337-360.
  • (en) Conrey, J. Brian, The Riemann Hypothesis, Notices of the American Mathematical Society, maart 2003, 341-353. (online)

Externe links[bewerken]

Inleiding[bewerken]

Mislukte bewijzen[bewerken]

Bronnen, noten en/of referenties
  1. de triviale nulpunten zijn -2, -4, -6,\dots
  2. J. E. Littlewood en Atle Selberg zouden sceptisch zijn. Maar Selberg suggereerde in een artikel uit 1989 dat een analogon moet gelden voor een grotere klasse van functies, de Selberg-klasse.
  3. (en) Enrico Bombieri, The Riemann Hypothesis - official problem description, Clay Mathematics Institute.
  4. Keith J. Devlin, The Millennium Problems: The Seven Greatest Unsolved Mathematical Puzzles of Our Time, Basic Books, 2002, ISBN 0-465-01729-0.
  5. R. van der Veen, J. van de Craats, De Riemann-hypothese, Epsilon, 2011.