Riemann-hypothese

Het reële (rood) en imaginaire deel (blauw) van de Riemann zèta-functie langs de kritieke lijn Re(s) = 1/2. De eerste niet-triviale nulpunten zijn zichtbaar bij Im(s) = ±14.135, ±21.022 en ±25.011.

Deze grafiek toont de waarden van ζ(1/2+it) in het complexe vlak voor 0 ≤ t ≤ 34. (Voor t=0, ζ(1/2) ≈ -1.460 komt overeen met het uiterst linkse punt van de rode kromme.)

De Riemann-hypothese (RH) of het Riemann-vermoeden is het vermoeden dat het reële deel van alle niet-triviale nulpunten (de triviale nulpunten zijn $-2, -4, -6,\dots$) van de Riemann-zèta-functie gelijk is aan 1/2. Het vermoeden werd in 1859 door Bernhard Riemann geformuleerd en geldt als een van de belangrijkste onopgeloste problemen in de wiskunde.

Op de Riemann-hypothese (en haar generalisaties) steunen vele andere belangrijke resultaten. De meeste wiskundigen beschouwen de Riemann-hypothese als waar. Dit is een van zeven wiskundige vraagstukken waarvoor het Clay Mathematics Institute een Millennium Prize van $1.000.000 uitgeloofd heeft in 2000, voor het eerste juiste bewijs van de hypothese.

Relatie met priemgetallen

De Riemann-hypothese kan worden gezien als een verfijning van de priemgetalstelling. De priemgetalstelling geeft een nauwkeurige schatting voor het aantal priemgetallen en de Riemann-hypothese vertelt ons hoever de priemgetalstelling ernaast zit. Dit kunnen we preciezer schetsen aan de hand van de Tschebychev psi-functie $\psi(x)$ die sterk verwant is aan de zeta-functie. Voor deze functie geldt de formule:

$\psi(x) = x - \ln(2 \pi) - \sum_r \frac{x^r}{r}$

In deze formule loopt de som over alle niet triviale nulpunten r van de zeta-functie en moet gelden dat $x>1$. Er is een vergelijkbare formule voor de zeta-functie maar die is wat ingewikkelder. De priemgetallenstelling is equivalent met de opmerking dat de term x in de formule domineert, dus dat ongeveer $\psi(x) = x$. We zien dat dit alleen het geval is wanneer de niet-triviale nulpunten r allemaal reël deel kleiner dan 1 hebben. Hoe kleiner het reële deel van de nulpunten r, hoe beter de priemgetallen zich houden aan de schatting gegeven in de priemgetalstelling. De symmetrie van de zeta-functie rond reël deel 1/2 laat zien dat er voor elke r met reël deel < 1/2 ook een nulpunt met reël deel >1/2 moet zijn. Daarom is de situatie optimaal als alle nulpunten r reël deel 1/2 hadden. En dat is precies Riemanns hypothese. De best mogelijke situatie.

Literatuur

Inleidende boeken

• (en) John Derbyshire, Prime Obsession, Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics, London, 2003, ISBN 0-452-28525-9
• (en) Marcus du Sautoy, The Music of the Primes, why an unsolved problem in mathematics matters, London, 2003, ISBN 1-84115-580-2
• (nl) Roland van der Veen, Jan van de Craats, De Riemann-hypothese: een miljoenenprobleem, Epsilon, 2011, ISBN 978-90-5041-126-4

Historische artikelen

• (de) Bernhard Riemann, Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse, (1859) Monatsberichte der Berliner Akademie.
• (fr) Jacques Hadamard, Sur la distribution des zéros de la fonction ζ(s) et ses conséquences arithmétiques, Bulletin Société Mathématique de France 14 (1896), p. 199-220.

Moderne technische referenties

• (en) H.M. Edwards, Riemann's Zeta Function, Academic Press, 1974. (Herdrukt door Dover Publications, 2001 ISBN 0-486-41740-9)
• (de) Knauf, Andreas, Number theory, dynamical systems and statistical mechanics, MathSciNet, 1714352, 1999, Reviews in Mathematical Physics. A Journal for Both Review and Original Research Papers in the Field of Mathematical Physics, issn 0129-055X, deel 11, nr. 8, p. 1027–1060, doi 10.1142/S0129055X99000325
• (en) E.C. Titchmarsh, The Theory of the Riemann Zeta Function, second revised (Heath-Brown) edition, Oxford University Press, 1986
• (en) Jeffrey Lagarias (2002). An Elementary Problem Equivalent to the Riemann Hypothesis. American Mathematical Monthly 109: 534–543. DOI:10.2307/2695443.
• (en) (no author credited), Computation of zeros of the Zeta function (2004).
• (en) Schoenfeld, Lowell, Sharper bounds for the Chebyshev functions θ(x) and ψ(x). II. Mathematics of Computation 30 (1976), no. 134, 337-360.
• (en) Conrey, J. Brian, The Riemann Hypothesis, Notices of the American Mathematical Society, maart 2003, 341-353. (online)

Externe links

Inleiding

• Bewijzen van de RH op Wiskundemeisjes
• Op weg naar de Riemann-hypothese Doctoraalscriptie R.C. Pollé, Universiteit Leiden 2006
• (en) Website met pogingen om de RH te bewijzen
• (en) Zetagrid een geëindigd distributed computing-project dat de hypothese empirisch verifieerde.

Mislukte bewijzen

• Aron Palmer
• Louis de Branges
• Xian-Jin Li, preprint teruggetrokken 2008 [1]

Bronnen, noten en/of referenties