Vermoeden van Mertens

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de wiskunde is het vermoeden van Mertens een bewering over het gedrag van een bepaalde functie als haar argument toeneemt.

In 1897 sprak Franz Mertens zijn vermoeden van Mertens uit. In 1985 werd dit vermoeden echter weerlegd. Als het vermoeden van Mertens waar zou zijn geweest zou tegelijk ook de Riemann-hypothese zijn bewezen.

Definitie[bewerken]

Als wij in de getaltheorie de Mertensfunctie definiëren als

M(n) = \sum_{1\le k \le n} \mu(k)

waar μ(k) de Möbiusfunctie is, dan luidt het vermoeden van Mertens dat voor alle n > 1 geldt dat

\left| M(n) \right| < \sqrt { n }.\,

Weerlegging van het vermoeden van Mertens[bewerken]

Stieltjes beweerde in 1885 een zwakker resultaat te hebben bewezen, namelijk dat {M(n)\over \sqrt{n}} begrensd was, maar hij publiceerde dit bewijs niet.

In 1985 weerlegden Andrew Odlyzko en Herman te Riele het vermoeden van Mertens. Later werd aangetoond dat het eerste tegenvoorbeeld kleiner moet zijn dan exp(3,21 x 1064) (Pintz 1987), maar groter dan 1014 (Kotnik en Van de Lune 2004). De bovengrens is inmiddels verlaagd tot exp(1,59 x 1040) (Kotnik en Te Riele 2006), maar er is nog geen expliciet tegenvoorbeeld bekend. Hoewel de begrensdheidsclaim van Stieltjes in het artikel uit 1985 nog als "zeer onwaarschijnlijk" werd betiteld, is deze hypothese nog niet weerlegd. De wet van de iteratieve logaritmen beweert dat als μ wordt vervangen door een willekeurige rij van 1s en -1s en dat de orde van groei van de partiële som van de eerste n termen is (met kans 1) over n1/2 log log n, hetgeen suggereert dat de orde van de groei van M(n)/n1/2 ergens rond log log n zou kunnen liggen.

Connectie met de Riemann-hypothese[bewerken]

De connectie met de Riemann-hypothese is gebaseerd op de Dirichletreeks voor de reciproke van de Riemann-zeta-functie,

\frac{1}{\zeta(s)} = \sum_{n=1}^\infty \frac{\mu(n)}{n^s},

die valide is in het gebied \Re(s) > 1. Wij kunnen dit herschrijven als een Stieltjes-integraal

\frac{1}{\zeta(s)} = \int_0^{\infty} x^{-s}\,dM(x)

en na partiële integratie verkrijgen wij de reciproke van de zetafunctie als een Mellin-transformatie

\frac{1}{s \zeta(s)} = \left\{ \mathcal{M} M \right\}(-s)
= \int_0^\infty x^{-s} M(x)\, \frac{dx}{x}.

Door gebruik te maken van de inversiestelling van Mellin kunnen wij M nu uitdrukken in termen van 1/ζ als

M(x) = \frac{1}{2 \pi i} \int_{\sigma-i\infty}^{\sigma+i\infty} \frac{x^s}{s \zeta(s)}\, ds

wat geldig is voor 1 < σ < 2, en geldig voor 1/2 < σ < 2 op de Riemann-hypothese. Hieruit volgt dat de Mellin-transformatieintegraal moet convergeren, en dat M(x) van de vorm O(xe) moet zijn voor elke exponent e groter dan 1/2. HIeruit volgt dat

M(x) = O(x^{\frac12+\epsilon})

voor elke positieve ε equivalent is aan de Riemann-hypothese, die daarom zou zijn gevolgd uit het sterkere vermoeden van Mertens en ook volgt uit de hypothese van Stieltjes dat

M(x) = O(x^\frac12).

Referenties[bewerken]