Bazel-probleem

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Het zogenaamde Bazel-probleem is een beroemd probleem uit de getaltheorie, een deelgebied van de wiskunde. Het Bazel-probleem werd voor het eerst in 1644 aan de orde gesteld door Pietro Mengoli en werd bijna honderd jaar later, in 1735, opgelost door Leonhard Euler. Het probleem is naar de stad Bazel genoemd, de thuisstad van zowel Euler als de familie Bernoulli. Diverse Bernoulli's waren er eerder niet geslaagd om dit probleem op te lossen. Gezien het feit dat het probleem, drie generaties lang, ook voor de vooraanstaande wiskundigen niet oplosbaar was gebleken, bracht zijn bewijs Euler, op zijn achtentwintigste, ogenblikkelijke roem. Door gebruik te maken van reeksontwikkelingen gaf Euler een oplossing, waarmee meer kan worden bewezen dan alleen het Bazel-probleem. Zijn ideeën werden meer dan honderd jaar later, in 1859, door Bernhard Riemann opgepakt en verder uitgewerkt in diens vruchtdragende artikel Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe (Over het aantal priemgetallen minder dan een gegeven getal), waarin Euler de Riemann-zeta-functie definieerde en tevens de basale eigenschappen van deze zeta-functie bewees.

Het Bazel-probleem vraagt naar de precieze sommatie van de multiplicatieve inverse van de kwadraten van de natuurlijke getallen, dat wil zeggen de precieze som van een oneindige reeks:


\sum_{n=1}^\infin \frac{1}{n^2} =
\lim_{n \to +\infty}\left(\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \cdots + \frac{1}{n^2}\right).

Deze reeks is bij benadering gelijk aan 1,644 934 [1]. Het Bazel-probleem vraagt echter zowel naar de exacte som van deze rij (in gesloten vorm), als ook naar het bewijs dat deze som correct is. Euler vond dat de exacte som gelijk is aan

\frac{\pi^2}{6}

en maakte deze ontdekking in 1735 bekend. Zijn argumenten waren echter gebaseerd op manipulaties die ook in zijn tijd niet waren toegestaan. In 1741 gaf hij alsnog een wiskundig sluitend bewijs.

Eulers bewijs[bewerken]

De reeksontwikkeling van de sinus is de volgende:

 \sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots.

Door hier te delen door x krijgt men

 \frac{\sin(x)}{x} = 1 - \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} - \frac{x^6}{7!} + \cdots.

Nu doen de wortels (nullen) van sin(x)/x zich precies voor daar waar x = n\cdot\pi voor n = \pm1, \pm2, \pm3, \dots\,. Laat ons veronderstellen dat we deze oneindige reeks kunnen uitdrukken als een product van lineaire factoren die wordt bepaald door haar wortels, net zoals we dit doen voor eindige polynomen:


\begin{align}
\frac{\sin(x)}{x} & {} =
\left(1 - \frac{x}{\pi}\right)\left(1 + \frac{x}{\pi}\right)\left(1 - \frac{x}{2\pi}\right)\left(1 + \frac{x}{2\pi}\right)\left(1 - \frac{x}{3\pi}\right)\left(1 + \frac{x}{3\pi}\right) \cdots \\
& {} = \left(1 - \frac{x^2}{\pi^2}\right)\left(1 - \frac{x^2}{4\pi^2}\right)\left(1 - \frac{x^2}{9\pi^2}\right) \cdots.
\end{align}

Als wij dit product formeel uitvermenigvuldigen en vervolgens alle x2 termen verzamelen, zien we dat de x2 coëfficiënt van sin(x)/x gelijk is aan


-\left(\frac{1}{\pi^2} + \frac{1}{4\pi^2} + \frac{1}{9\pi^2} + \cdots \right) =
-\frac{1}{\pi^2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}.

Maar uit de oorspronkelijke oneindige rijen expansie van sin(x)/x volgt dat de coëfficiënt van x2 gelijk is aan −1/(3!) = −1/6. Deze twee coëfficiënten moeten echter gelijk zijn; dus geldt dat


-\frac{1}{6} =
-\frac{1}{\pi^2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}.

Beide kanten van de vergelijking vermenigvuldigen met -\pi^2 geeft de som van de reciproken van de positieve kwadratische gehele getallen.


\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}.

De Riemann-zeta-functie[bewerken]

De Riemann-zeta-functie \zeta(s) is een belangrijke functie in de wiskunde, vanwege haar relatie met de verdeling van de priemgetallen. De functie wordt voor elk complex getal s met reëel gedeelte > 1 gedefinieerd door de onderstaande formule:


\zeta(s) =
\sum_{n=1}^\infin \frac{1}{n^s}.

Als s = 2, dan is \zeta(2) gelijk aan de som van de reciprokes van de kwadraten van de positieve gehele getallen:


\zeta(2) =
\sum_{n=1}^\infin \frac{1}{n^2} =
\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6} \approx 1.644934.

convergentie kan worden bewezen met de onderstaande ongelijkheid:


\sum_{n=1}^N \frac{1}{n^2} < 1 + \sum_{n=2}^N \frac{1}{n(n-1)}
= 1 + \sum_{n=2}^N \left( \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n} \right)
= 1 + 1 - \frac{1}{N} \; \stackrel{N \to \infty}{\longrightarrow} \; 2.

Dit geeft ons de bovengrens \zeta(2) < 2, en omdat de oneindige som alleen positieve termen heeft, moet deze wel convergeren. Het kan worden aangetoond dat \zeta(s) een mooie uitdrukking in termen van de Bernoulli-getallen heeft, wanneer s een positief even geheel getal is. Met s=2n:


\zeta(2n)=\frac{(2\pi)^{2n}(-1)^{n+1}B_{2n}}{2\cdot(2n)!}

Een strikt bewijs[bewerken]

Het volgende argument bewijst de identiteit \zeta(2) = \frac{\pi^2}{6}, waar \zeta(s) de Riemann-zeta-functie is. Het is verreweg het eenvoudigste bewijs; terwijl veel bewijzen het resultaat zijn van geavanceerde wiskunde, zoals de Fourieranalyse, de complexe analyse en de multivariabele analyse. Dit bewijs vereist zelfs geen analyse in een variabele (hoewel aan het eind van het bewijs een enkele limiet wordt gebruikt).

Geschiedenis van het bewijs[bewerken]

Het bewijs gaat terug op Augustin Louis Cauchy (Cours d'Analyse, 1821, Voetnoot VIII). In 1954 verscheen dit bewijs in het boek van Akiva- en Isaak Yaglom "Nonelementary Problemen in een Elementary Exposition". Later, in 1982, kwam dit bewijs voor in het tijdschrift Eureka, waar het bewijs toegeschreven aan John Scholes, maar Scholes beweert dat hij het bewijs leerde van Peter Swinnerton-Dyer, en dat het bewijs hoe dan ook deel uitmaakte van de "gemeenschappelijke kennis in het Cambridge van de late jaren 1960".

Externe links[bewerken]

Bronnen, noten en/of referenties
  1. rij A013661 in OEIS